2022-2023学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 若幂函数的图象过点，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 下列命题中正确的是( )
A. 第一象限角一定不是负角 B. 钝角一定是第二象限角
C. 小于的角一定是锐角 D. 第一象限角一定是锐角
5. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
6. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
8. 已知，，若在区间上恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10. 对于定义在上的函数，下列判断正确的是( )
A. 若是偶函数，则
B. 若，则不是偶函数
C. 若，则函数是上的增函数
D. 若，则函数在上不是减函数
11. 关于函数，，下列命题正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 若，则
C. 函数的表达式可改写为
D. 的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称
12. 已知，是定义在上的增函数，，若对任意，，使得成立，则称是在上的“追逐函数”已知，则下列四个函数中是在上的“追逐函数”的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则 ______ ．
14. 设，，则 用，表示
15. 写出一个同时满足下列条件的函数，如 ．
函数是奇函数；
函数的最小正周期是．
16. 一半径为的水轮，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动圈，且当水轮上点从水中浮现时图中点开始计算时间如图所示建立平面直角坐标系，将点到水面的距离单位：在水面下，则为负数表示为时间单位：的函数，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设全集，集合，非空集合，．
若，求；
若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
18. 本小题分
已知函数．
用“五点法”画出函数一个周期的简图；
写出函数在区间上的单调递增区间．
19. 本小题分
已知定义在上的偶函数在区间上单调递减．
请利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上单调递增；
若，求的范围．
20. 本小题分
设为实数，函数．
若方程有实根，求的取值范围；
若不等式的解集为，求的取值范围．
21. 本小题分
设为实数，已知，且．
当时，求满足不等式成立时的取值范围；
若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
22. 本小题分
设为实数，已知函数．
若为奇函数，求的值和此时不等式的解集；
若关于的不等式在上有解，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，，
可得．
故选：．
利用并集的定义即可求得．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，可得且，
则由“”可得“”，但是不能由“”得到“”，
则“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
先化简，进而得到“”是“”的充分不必要条件．
本题主要考查了不等式的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设幂函数，
由题意得，解得，所以．
所以．
故选：．
设出幂函数的解析式，代入点求得解析式，进而求值即可．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，令，显然是第一象限角，同时也是负角，故A错误；
对于，不妨设是钝角，则，所以一定是第二象限角，故B正确；
对于，令，显然是小于的角，但不是锐角，故C错误；
对于，令，显然是第一象限角，但不是锐角，故D错误．
故选：．
对于，利用象限角、负角与锐角的定义，举反例排除即可；对于，利用钝角与象限角的定义判断即可．
本题主要考查象限角，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，可得；
由指数函数值域和单调性可知，即；
而，即，所以．
故选：．
根据指数函数和对数函数单调性可分别求得，，的范围大小，即可比较得出结果．
本题主要考查对数值的比较，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：“，”是真命题可知，
不等式，恒成立，
因此只需，，
易知函数在上的最小值为，
所以，
故实数的取值范围是．
故选：．
根据全称命题为真命题可得，，即可求得实数的取值范围．
本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：令，则为上增函数，
又，
则，则．
故选：．
构造函数，利用放缩法和函数的单调性即可得到．
本题主要考查不等式与不等关系，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题可知，若在区间上恰有个零点，
等价于方程在上有个不相等的实根，
又，所以时，，
由正弦函数图像性质可知需满足，
解得，
即实数的取值范围是
故选：．
根据零点定义和三角函数图象性质可知方程在上有个不相等的实根，利用整体代换即可求得实数的取值范围．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，当，，时，满足，故，故A错误；
对于，若，故，不等式两边同乘以，得到，故B正确；
对于，若，不等式两边同减去得：，C正确；
对于，当，时，满足，此时，D错误．
故选：．
可举出反例，可通过不等式基本性质得到求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A：若是定义在上的偶函数，则恒成立，
则有成立，判断正确；
选项B：定义在上的函数，若，则不恒成立，
则不是偶函数，判断正确；
选项C：定义在上的函数，满足，
但函数不是上的增函数．判断错误；
选项D：定义在上的函数，若，
则对任意，，时，不恒成立，
则函数在上不是减函数．判断正确．
故选：．
利用偶函数定义判断选项AB，举反例否定选项C；利用减函数定义判断选项D．
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性的判断，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，将代入可得，，所以函数的图象关于点对称；
对于，由可得，
即，是函数的零点，所以，相差半周期的整数倍，
即，所以B错误；
对于，利用诱导公式可得，
所以函数的表达式可改写为，故C正确；
对于，的图象向右平移个单位长度后可得为偶函数，
即所得图象关于轴对称，所以D正确．
故选：．
利用检验法将代入即可验证A正确；
根据三角函数图像性质可得，即B错误；
利用诱导公式可得，所以C正确；
的图象向右平移个单位长度后可以得到为偶函数，即D正确．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：为上的增函数，，值域为，
对任意，，使得成立，
值域为，在上的图像在的图像的上方，
选项A：在上的值域为，，定义域上当时等号成立，
则在上的图像在的图像的上方，符合要求，判断正确；
选项B：在上的值域为，定义域上当时等号成立，
则在上的图像在的图像的上方，符合要求，判断正确；
选项C：，
但，即时，，
则不是在上的“追逐函数”判断错误；
选项D：在上的值域为，
则时，不存在，使得成立，
则不是在上的“追逐函数”判断错误．
故选：．
是在上的“追逐函数”，则在上的图像在的图像的上方，进而判断选项AB；举反例否定选项CD．
本题考查新定义，函数的性质，恒成立问题，数形转化思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题给出的正弦、余弦的等式，求的正切值．着重考查了同角三角函数的基本关系的知识，属于基础题．
将已知等式去分母，化简整理得，再由同角三角函数的基本关系，可算出的值．
【解答】
解：，
去分母，得
解之得，可得
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
利用对数的运算即可求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】或答案不唯一
【解析】解：不妨令，，
故，解得，
故，
也可令，，
故，解得，
故．
故答案为：或答案不唯一．
由函数为奇函数，令，或，，由最小正周期求出，得到答案．
本题主要考查了正弦及正切函数的周期性，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，
水轮每分钟逆时针转动圈，则函数的最小正周期为，则，
由水轮的半径为，水轮圆心距离水面，可得，
又，则，又，则，
则．
故答案为：．
先设，再利用题给条件求得各参数值，进而求得函数的解析式．
本题主要考查三角函数的应用，考查函数解析式的确定，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：解集合对应的一元二次不等式可得，
所以，或，
当时，，
或；
若“是“的必要不充分条件，
等价于非空集是集合的真子集，
即，解得两端点不会同时取等号，所以等号符合题意，
故的取值范围为
【解析】先求出集合，，再结合补集、交集的定义，即可求解；
由必要不充分条件的定义可知集合，之间的关系，即可求得的取值范围．
本题主要考查集合的运算，以及充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
18.【答案】解：用“五点法”画出函数一个周期的简图，列表如下：
函数一个周期的简图，如图，
由，解得，
当时，得或，
所以函数在区间上的单调递增区间为，．
【解析】直接利用五点法列出表格，描点连线，在坐标系中画出图象即可；
利用正弦函数的性质求解即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
19.【答案】证明：因为偶函数，则，
任意，，，
则
又，则，结合在区间上单调递减，
则，即，
故函数在区间上单调递增；
解：为偶函数，则可转化为，
又在区间上单调递减，则，
即或，
又函数在上单调递增，
则或，
故的取值范围为或．
【解析】先任取，，，然后利用作差法比较与的大小；
结合偶函数性质及的单调性可得答案．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：若方程有实根，即方程有实根，
当时，方程化为，显然无根，不符合题意，
当时，则，解得或，
综上所述，的取值范围为，；
若不等式的解集为，即不等式的解集为，
当时，不等式化为，显然恒成立，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，的取值范围为．
【解析】分和两种情况，结合一元二次方程根的个数与的关系求解即可；
分和两种情况，结合二次函数的性质求出即可．
本题主要考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．
21.【答案】解：当时，，解得，
又，故，即的取值范围是
因为对任意恒成立，即恒成立；
设，在上恒成立．
当时，在上单调递减，
则，即，故．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，即，
又，所以恒成立，故．
当时，在上单调递增，
则，即，故．
综上，的取值范围为．
【解析】将代入可得，利用三角函数单调性和值域即可求解不等式；
利用换元法将不等式对任意恒成立转化成一元二次函数在某区间上恒成立问题，即可求得的取值范围．
本题主要考查函数恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：函数定义域为，
因为为奇函数，所以对恒成立，
即对恒成立，所以，
此时，即，
解得，
所以原不等式解集为．
关于的不等式，
可化为，化简得，
因为，即在上有解，
因为，设，则在上有解，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以的取值范围为．
【解析】先利用为奇函数求得，再将不等式转化为指数不等式即可求得其解集；
先将题给条件转化为在上有解，再求得在上的值域，进而求得的取值范围．
本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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