专题2 三角恒等变换与解三角形
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，
则，
故选：A．
2．（2023·广西柳州·统考三模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为
所以
由，所以，
所以，即
所以，即
故选：A
3．（2023春·甘肃白银·二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】B
【解析】由得,
由二倍角公式可得或，
由于在，,所以或,
故为等腰三角形或直角三角形，故选：B
4．（2023春·吉林·二模）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得，，，，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，在中，由余弦定理可得，
，
因为，所以，
在中，由正弦定理，
即，解得.
故选：C.
5．（2023·江苏南京二模）在 中，角、、所对的边分别为、、，设为的面积，且，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】由余弦定理知： ，由条件： ，
，即 ， ，
，
， 时取最大值1；
故选：B．
6．（多选题）（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知，且，是方程的两不等实根，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由，是方程的两不等实根，
所以，，
，
由，，均为正数，
则，当且仅当取等号，等号不成立
，当且仅当取等号，
故选：BCD
7．（多选题）（2023·辽宁丹东·统考二模）若，则（ ）
A．是图象的对称中心
B．若和分别为图象的对称轴，则
C．在内使的所有实数x值之和为
D．在内有三个实数x值，使得
【答案】AC
【解析】由，
A：，故是图象的对称中心，正确；
B：若为对称轴，则，所以和分别为图象的对称轴，不一定成立，错误；
当，则，故在上图象如下，
由图知：内使的所有实数x关于对称，且仅有两个值，故它们的和为，C正确；
显然只有两个实数x值，D错误.
故选：AC
8．（多选题）（2023·湖南永州·统考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若为锐角三角形且，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，则符合条件的有两个
【答案】AC
【解析】若为锐角三角形，则，即
∵，则，A正确；
，则或，即或
∴为等腰三角形或直角三角形，B错误；
∵
根据正弦定理
∴，C正确；
，即，即
符合条件的只有一个，D错误；
故选：AC．
9．（多选题）（2023·辽宁辽阳·统考二模）黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比）.在顶角为的黄金中，D为BC边上的中点，则（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．是方程的一个实根
【答案】ABD
【解析】设，则，解得，则，
则，A正确.
，，B正确.
依题意可设，则，
则由余弦定理得，
过B作，垂足为E，
则在上的投影向量为，C错误.
由图可知，
则
，
设，则，整理得，D正确.
故选：ABD
10．（多选题）（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A．为定值 B．
C． D．的最大值为30°
【答案】AD
【解析】
是定值，A正确；
由得，所以，B错；
，
，时等号成立，C错，
，BC边上的中线，在以为圆心，4为半径的圆上（除去直线与圆的交点），
，所以，即，记，即，
，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是，即的最大值是，D正确．
故选：AD．
11．（2023·陕西商洛·校考三模）我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图"巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形若直角三角形中较小的锐角记为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则_________.
【答案】
【解析】根据已知条件四个直角三角形全等，
所以设直角三角形的短的直角边长为，则较长的直角边长为，
所以，整理得，
解得或（负值舍去），
所以，则
．
故答案为：．
12．（2023·吉林白山·统考三模）已知，则__________．
【答案】
【解析】
．
故答案为：．
13．（2023·河南开封·统考二模）已知中，AB=5，AC=7，，则的面积为______．
【答案】
【解析】由得，即，
则，即，
因为，所以，
因此，
由于,所以，
故的面积为,
故答案为：.
14．（2023·广西·统考模拟预测）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积为.若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】因为,
所以由正弦定理得,
所以,
所以由余弦定理得,
而,
所以,
所以,
所以,
由得,
所以，当且仅当时取等号,
所以,
故面积的最大值为.
故答案为：
15．（203·黑龙江双鸭山二模）如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道，作为观光路线，则当取最大值时，___________.
【答案】##
【解析】设，，则，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，，
又，所以时，有最大值.
16．（2023·河南郑州·统考二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
(1)求角A的值；
(2)若，求的值以及．
【解析】（1）在△ABC中，由，得，
由正弦定理，得
结合已知条件得，A为△ABC中的一个内角，
∴，解得．
（2）由，平方得①
由余弦定理，得②
联立①②解得，∴．由，，结合正弦定理，可得
，．
联立解得．
17．（2023·江苏南通·二模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）在中，，所以．
因为，所以，
所以，即（*），
又．
所以，即，
又，所以，由（*）知，，
所以；
（2）因为，由正弦定理，得．
又，所以.
所以的面积为.
18．（2023·辽宁丹东·统考二模）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
(1)证明；△ABC是钝角三角形；
(2)在四个条件① ② ③ ④中，哪三个条件同时成立能使△ABC存在？请说明理由．
【解析】（1）因为，由正弦定理可知．
由余弦定理可得，所以．
于是△ABC是钝角三角形．
（2）由（1）知，若①成立，则；若②成立，则．
因为，所以①与②不能同时成立．③④将同时成立，
由正弦定理可得：．
若①③④同时成立，则，由（1）可知．从而，△ABC存在．
若②③④同时成立，则，△ABC不存在．
综上，条件①③④同时成立能使△ABC存在．
19．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若________．
在以下两个条件中任选一个补充在横线上：①；②，并解答下列问题．
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】（1）若选①：因为，
所以由正弦定理得，
即，
又由余弦定理得，所以，
又因为，所以．
选②：由得，
则由正弦定理得，
因为A，，所以，所以，
所以．
（2）由（1）可知，则由余弦定理得
，当且仅当时取等号，
又，所以，
所以，
所以面积的最大值为．
20．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，为半圆（为直径）上一动点，，，，记.
(1)当时，求的长；
(2)当周长最大时，求.
【解析】（1）在中，，，，
∴，，且在以为直径的圆上，
∴，
在中，，，
由正弦定理，，解得.
（2）在中，，，
由余弦定理，
即，
∴，∴，
当且仅当时取等号，
∴，∴，
即当时，周长最大，此时
∴.
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专题2 三角恒等变换与解三角形
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东菏泽·统考二模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·甘肃白银·二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
4．（2023春·吉林·二模）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得，，，，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏南京二模）在 中，角、、所对的边分别为、、，设为的面积，且，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（多选题）（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知，且，是方程的两不等实根，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选题）（2023·辽宁丹东·统考二模）若，则（ ）
A．是图象的对称中心
B．若和分别为图象的对称轴，则
C．在内使的所有实数x值之和为
D．在内有三个实数x值，使得
8．（多选题）（2023·湖南永州·统考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若为锐角三角形且，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，则符合条件的有两个
9．（多选题）（2023·辽宁辽阳·统考二模）黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比）.在顶角为的黄金中，D为BC边上的中点，则（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．是方程的一个实根
10．（多选题）（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A．为定值 B．
C． D．的最大值为30°
11．（2023·陕西商洛·校考三模）我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图"巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形若直角三角形中较小的锐角记为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则_________.
12．（2023·吉林白山·统考三模）已知，则__________．
13．（2023·河南开封·统考二模）已知中，AB=5，AC=7，，则的面积为______．
14．（2023·广西·统考模拟预测）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积为.若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为__________.
15．（203·黑龙江双鸭山二模）如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道，作为观光路线，则当取最大值时，___________.
16．（2023·河南郑州·统考二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
(1)求角A的值；
(2)若，求的值以及．
17．（2023·江苏南通·二模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求；
(2)若，求的面积．
18．（2023·辽宁丹东·统考二模）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
(1)证明；△ABC是钝角三角形；
(2)在四个条件① ② ③ ④中，哪三个条件同时成立能使△ABC存在？请说明理由．
19．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若________．
在以下两个条件中任选一个补充在横线上：①；②，并解答下列问题．
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
20．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，为半圆（为直径）上一动点，，，，记.
(1)当时，求的长；
(2)当周长最大时，求.
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