专题16 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
1．（2023山东济宁二模）已知实数，函数若，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·天津河东·二模）已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川凉山·二模）表示生物体内碳14的初始质量，经过t年后碳14剩余质量（，h为碳14半衰期）．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为，据此推算该生物是距今约多少年前的生物（参考数据）．正确选项是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河南郑州·统考二模）尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系式为：.北京时间2023年2月6日9时17分，土耳其发生7.8级地震，它所释放出来的能量为，2023年2月28日12时21分，塔吉克斯坦发生4.6级地震，它所释放出来的能量为.则大约是的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
5．（2023·河南郑州·统考二模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·贵州毕节·统考二模）已知，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·江苏南通·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）是定义在上的奇函数，当时，，，令，则函数的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2023·云南红河·统考二模）若函数与函数（且）的图像有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知函数，关于的方程有个不等实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知，，，其中，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（多选题）（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称
C．若则 D．有且仅有两个零点
13．（多选题）（2023·广东佛山·佛山一中校考二模）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．为奇函数
C．函数有8个不同的零点 D．
14．（多选题）（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（多选题）（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的值域是
C．若方程有5个解，则的取值范围为
D．若函数有3个不同的零点，则的取值范围为
16．（2023·北京朝阳·统考二模）函数的值域为________．
17．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）函数为定义在R上的奇函数，当时，，则______．
18．（2023·广东深圳·统考二模）定义开区间的长度为．经过估算，函数的零点属于开区间____________（只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）．
19．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）某公司工人甲生产第x件产品的所需时间（单位：h）满足：，其中且，若甲生产第2件产品的时间为3h，生产第件产品的时间为2h，则______．
20．（2023·广东·统考二模）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则___________.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题16 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
1．（2023山东济宁二模）已知实数，函数若，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数，
当时，由可得，即，解得；
当时，由可得，即，此时方程无解，
综上可得，实数的值为.
故选：A.
2．（2023·天津河东·二模）已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
，
所以.
故选：C.
3．（2023·四川凉山·二模）表示生物体内碳14的初始质量，经过t年后碳14剩余质量（，h为碳14半衰期）．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为，据此推算该生物是距今约多少年前的生物（参考数据）．正确选项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：，所以，
所以，所以，
所以.
故选：C.
4．（2023·河南郑州·统考二模）尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系式为：.北京时间2023年2月6日9时17分，土耳其发生7.8级地震，它所释放出来的能量为，2023年2月28日12时21分，塔吉克斯坦发生4.6级地震，它所释放出来的能量为.则大约是的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】D
【解析】由题设，，
所以，，故，则.
故选：D
5．（2023·河南郑州·统考二模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题设，，所以，故A错；
且，而，故B对；
，故C错；
，
设，则，则在上递增，
所以，故D错.
故选：B.
6．（2023·贵州毕节·统考二模）已知，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，根据指数函数在上单调递减得，
，根据幂函数在上单调递增知，则，
，根据对数函数在上单调递减得，
综上.
故选：D.
7．（2023·江苏南通·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：B.
8．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）是定义在上的奇函数，当时，，，令，则函数的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】由可得，的图象关于对称，
又由可得，
所以，所以以4为周期，
所以作出的图象如下，
的零点个数即为方程的根的个数，
也即的图象与图象的交点个数，
因为，
所以数形结合可得的图象与图象的交点个数为5个，
故选:B.
9．（2023·云南红河·统考二模）若函数与函数（且）的图像有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，由，得当时，的周期．
设，则，
做出分段函数的图像，如图
当时，
由图可知，显然成立．
当时，则，，即．
综上所述，且．
故选:C．
10．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知函数，关于的方程有个不等实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】作出函数的图象如图所示，
函数的图象与函数的图象最多三个交点，且有个实数根时，，
有个不等实数根等价于一元二次方程在上有两个不同的实数根，
，解得：或，
即实数的取值范围为.
故选：D.
11．（多选题）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知，，，其中，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】因为，所以，，，且，所以，故A错误；
因为，，即，故B错误，C正确；
因为，，即，故D正确.
故选：CD.
12．（多选题）（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称
C．若则 D．有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，
再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，
最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，
由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；
，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，
与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．
故选：ABD．
13．（多选题）（2023·广东佛山·佛山一中校考二模）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．为奇函数
C．函数有8个不同的零点 D．
【答案】AB
【解析】由，则函数关于直线对称，且，
由，则函数关于对称，且，
所以，故，则，故函数的周期为8，
当时，则，，
根据周期和对称性知：值域为，
由函数关于直线对称且关于对称，周期为8，
为向左平移1个单位得到，是偶函数，故A正确：
为向左平移3个单位得到，是奇函数，故B正确；
由在上递减，且，；在上递增，且，，
结合图象：看出和的图象有10个交点，即有10个不同的零点，故C错误：
由，，，，，，，，则，
所以，故D错误，
故选：AB
14．（多选题）（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以，所以．
设，则在上单调递增．
因为，所以，则A正确．
因为，，且，所以，所以，则B正确，
因为，取，则，所以C不正确.
因为，所以，所以，即，则D正确．
故选：ABD.
15．（多选题）（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的值域是
C．若方程有5个解，则的取值范围为
D．若函数有3个不同的零点，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】，
画出的图象，如下：
A选项，函数在和上单调递减，不能说在上单调递减，A错误；
B选项，函数在处取得最小值为，故值域是，B正确；
C选项，若方程有5个解，则要满足与有5个交点，
故，所以的取值范围为，C正确；
D选项，若函数有3个不同的零点，则，
令，解得：，
又，因为在上单调递增，
解得：，即，
，
故的取值范围为.
故选：BCD
16．（2023·北京朝阳·统考二模）函数的值域为________．
【答案】
【解析】因为当时，，
当时，，
所以函数的值域为，
17．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）函数为定义在R上的奇函数，当时，，则______．
【答案】
【解析】因为函数为定义在R上的奇函数，
所以，
又，且当时，，
所以
18．（2023·广东深圳·统考二模）定义开区间的长度为．经过估算，函数的零点属于开区间____________（只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）．
【答案】（不唯一）
【解析】因为都是减函数，
所以是减函数，
又，
即，
所以函数在上有零点，且，
19．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）某公司工人甲生产第x件产品的所需时间（单位：h）满足：，其中且，若甲生产第2件产品的时间为3h，生产第件产品的时间为2h，则______．
【答案】##
【解析】甲生产第件产品的时间为2h，则，解之得
则，
又甲生产第2件产品的时间为3h，则，解之得
则，则.
20．（2023·广东·统考二模）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则___________.
【答案】24
【解析】由为偶函数，则，故，
又是定义在上的奇函数，则，
所以，故，即有，
综上，的周期为8，且关于对称的奇函数，
由在上单调递减，结合上述分析知：在上递增，上递减，上递增，
所以在的大致草图如下：
要使在上恰好有4个不同的实数根，即与有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于对称，则.
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