2023届高考数学小题狂刷卷： 三角函数的图象与性质（含解析）

2023届高考数学小题狂刷卷： 三角函数的图象与性质
一、选择题（共16小题）
1. 函数 的最小正周期为
A. B. C. D.
2. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是
①函数 的图象关于点 对称；
②函数 的图象关于直线 对称；
③函数 在 单调递减；
④该图象向右平移 个单位可得 的图象．
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④
3. 函数 的图象是
A. B.
C. D.
4. 以下各式中错误的是
A. B.
C. D.
5. 的值等于
A. B. C. D.
6. 的值为
A. B. C. D.
7. 设函数 ，给出下列结论：
① 的最小正周期是 ；
② 在区间 内单调递增；
③将函数 的图象向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
8. 方程 的曲线是
A. 线段 B. 圆 C. 抛物线 D. 半圆
9. 将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度，所得函数的图象关于 轴对称，则 的最小值是
A. B. C. D.
10. 下列各式正确的是
A. B.
C. D.
11. 若点 在第一象限，则在 内 的取值范围是
A. B.
C. D.
12. 方程 上有解，则 的取值范围是
A. B. C. D.
13. 若 时，函数 取得最小值，则 等于
A. B. C. D.
14. 若函数 在 上有 ，则
A. 在 上是增函数 B. 在 上是减函数
C. 在 上是增函数 D. 在 上是减函数
15. 已知点 ，， 是函数 ， 的图象和函数 ， 图象的连续三个交点，若 是锐角三角形，则 的取值范围为
A. B. C. D.
16. 的值是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题）
17. 函数 的值域是 ．
18. 若 是方程 的解，其中 ，则 ．
19. 设函数 ，其中 ．若函数 在 上恰有 个零点，则 的取值范围是 ．
20. 函数 的奇偶性是 ，单调递增区间是 ．
21. 已知函数 的一部分图象如图所示，如果 ，，，那么以下结论：① ；② ；③ ；④ 中，正确的是 ．
三、解答题（共10小题）
22. 求函数 的递减区间．
23. 怎样由函数 的图象变换得到 的图象，试叙述这一过程．
24. 已知函数 ，．
（1）求函数 在 上的单调递增区间；
（2）在 中，内角 ，， 所对边的长分别是 ，，，若 ，，，求 的面积 的值．
25. 已知函数 （， 是常数），且 ，．
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，判断 的单调性并用定义证明．
26. 解方程：（ 为锐角）．
27. 解方程 ．
28. 解方程 ．
29. 根据下列条件，求角 ：
（1）已知 ，；
（2）已知 ， 是第三象限角．
30. 已知函数 ．
（1）求证：函数 在 上是严格增函数；
（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若函数 在 上的值域是 ，求实数 的取值范围．
31. 已知集合 ，其中 ．，称 为 的第 个坐标分量．若 ，且满足如下两条性质：
① 中元素个数不少于 个；
② ，存在 ，使得 ，， 的第 个坐标分量都是 ；
则称 为 的一个好子集．
（1）若 为 的一个好子集，且 ，，写出 ，．
（2）若 为 的一个好子集，求证： 中元素个数不超过 ．
（3）若 为 的一个好子集，且 中恰好有 个元素时，求证：一定存在唯一一个 ，使得 中所有元素的第 个坐标分量都是 ．
答案
1. A
【解析】函数 的最小正周期为 ．
2. A
【解析】由图知 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 的点为图象的最高点，
所以 ，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
① ，
所以①对；
②
所以 是对称轴，②对；
③因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 在 先减后增，③错；
④ 右移 ，
得到 ，
即 ，不是 ，④错．
所以①②对．
3. C
4. D
5. A
6. B
【解析】根据反三角函数的定义可得 ，，，
所以 ．
7. A
8. D
【解析】方程 ，
由反三角函数的定义，可得 ，，， 的值域为 ，
由 的值域为 ，
可得方程 ，
的范围为 ，可得 ，
化为 ，
即为上半圆．故选：D．
9. D
【解析】．
将函数的图象沿 轴向右平移 个单位长度，
可得 ，此函数图象关于 轴对称，
则 ，解得 ，
因为 ，则当 时， 取得最小值 ．
10. C
【解析】，
因为 ，，
．
11. B
【解析】由已知可得
解得
即 或 ．
12. C
13. B
【解析】，
其中 ，．
若 时， 取得最小值，
则 ，，
即 ，，
则
14. C
15. A
【解析】因为 为对称图形，
所以 ， 为 中点，
若 为锐角三角形，
所以 ，
，
，
，，
，
，（ 和 关于 对称），
， 代入 中，
，
所以根据对称性 ，
所以 ，即 ，
解得 ．
16. A
【解析】，
.
两式相加得：
.
17.
18.
19.
20. 偶函数，，
21. ③
22. ，．
23. 由 的图象通过变换得到函数 的图象有两种变化途径：
① ．
② ．
24. （1） 因为
由 ，，得 ，，
又 ，所以 或 ，
所以函数 在 上的递增区间为 ，．
（2） 因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，，所以 ，，
因为 ，所以 ，所以 ．
在三角形 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
．
25. （1） 因为 ，．
所以
（2） 由（）知 ，
在 上单调递增，证明如下：
设 ，
因为 ，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 在 上单调递增．
26. ．
27. 解法一：
原方程即 ．
显然 ，则有 ，即 ，
所以 或 ，
所以 或 ．
解法二：
原方程即 ．
整理，得 ，于是 （其中 ），
所以 ，
故 ．
28. 令 ，则 ，原方程可化为 ，
即 ，也即 ．
所以 （舍去）或 ．
所以 ，即 ，故 ．
29. （1） 或 ．
（2） ，．
30. （1） 略
（2） 若 在 上恒成立，得 ，即 ．
记 ，在 上是严格增函数，得 ，
所以 ，即 的取值范围是 ．
（3） 函数 的定义域为 ．
①当 时， 在 上是严格增函数，所以 所以 ；
②当 时， 在 上是严格减函数，所以 所以 ．
综上所述，．
31. （1） ，．
（2） 对于 ，考虑元素 ，
显然，，，，，对于任意的 ，，， 不可能都为 ，
可得 ， 不可能都在好子集 中，
又因为取定 ，则 一定存在且唯一，而且 ，
且由 的定义知道，，，
这样，集合 中元素的个数一定小于或等于集合 中元素个数的一半，
而集合 中元素个数为 ，
所以 中元素个数不超过 ．
（3） ，
定义元素 ， 的乘积为：，
显然 ．
我们证明：“对任意的 ，，都有 ．”
假设存在 ，使得 ，
则由（）知，，
此时，对于任意的 ，，， 不可能同时为 ，矛盾，
所以 ．
因为 中只有 个元素，我们记 为 中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道 ，显然这个元素的坐标分量不能都为 ，不妨设 ，根据 的定义，可以知道 中所有元素的 坐标分量都为 ，下面再证明 的唯一性：若还有 ，即 中所有元素的 坐标分量都为 ，所以此时集合 中元素个数至多为 个，矛盾．所以结论成立．
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