2022-2023学年江苏省重点中学高一第一学期期末考试数学试卷
1. 如果，且，则是( )
A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角
2. 已知，集合，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
3. 已知为奇函数，为偶函数，则( )
A. B. C. D.
4. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，其中方田一章给出计算弧田面积所用的公式为：弧田面积弦矢矢矢其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差如图，现有圆心角为的弧田，其弦与半径构成的三角形面积为，按照上述公式计算，所得弧田面积是( )
A. B. C. D.
5. 已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 若函数在区间内存在最小值，则的值可以是( )
A. B. C. D.
7. 若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 若，是锐角的两个内角，则点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 下列说法中正确的有( )
A. 函数的值域是
B. 幂函数的图像一定不会出现在第四象限
C. 在锐角三角形中，不等式恒成立
D. 函数是最小正周期为的周期函数
10. 已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，，且，都有，若，则下列结论正确的是( )
A. 是偶函数 B.
C. 的图象关于点对称 D.
11. 对于函数，下列结论正确的是( )
A. 是以为周期的函数
B. 的单调递减区间为
C. 的最小值为
D. 的解集是
12. 对于任意两个正数，，记曲线与直线，，轴围成的平面图形的面积为，规定和已知，，，且已知．
A. B.
C. D.
13. 若函数的值域为，则函数的值域是 ．
14. 若扇形的周长为定值，则当该扇形的圆心角 时，扇形的面积取得最大值，最大值为 ．
15. 已知函数的定义域为集合函数的值域为集合，若，则实数的取值范围为 ．
16. 设，，，则的最大值为 ．
17. 计算与化简：
化简
计算．
18. 设，为实数，已知定义在区间上的函数的最大值为，最小值为，求，的值．
19. 已知函数为奇函数．
求实数的值；
设，证明：函数在上是减函数；
若函数，且在上只有一个零点，求实数的取值范围．
20. 已知函数．
怎样将函数的图象平移得到函数的图象？
判断并证明函数在上的单调性，并求函数在上的值域．
21. 已知集合，集合，记集合中最小元素为，集合中最大元素为．
求及，的值；
证明：函数在上单调递增，并用上述结论比较与的大小．
22. 设函数．
若且，求的值；
问：是否存在正实数，，使得函数的定义域为时，值域为？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数值的符号特征，属于基础题．
根据三角函数值的符号特征，判断是哪一象限角即可．
【解答】
解：，是第二、第三象限角或非正半轴角，
又，是第一或第三象限角，
是第三象限角．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集、并集运算和集合之间的关系，属于基础题．
化简集合，逐个分析即可求出结果．
【解答】
解：由，
，
，．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
由为奇函数可得，由此可得的值；又由为偶函数，由此可得的值，根据的值，代入函数的解析式，计算可得答案．
【解答】
解：因为为奇函数，且定义域为，
所以，
解得，经验证，符合题意
因为为偶函数，且定义域为，
所以，即，
解得，经验证，符合题意
所以，
故．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据三角形的面积解得，即可求得，的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求解．
【解答】
解：如图，
由题意可得：，
在中，可得，，，，
因为，
解得，，
可得矢，
弦，
所以弧田面积弦矢矢矢．
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数单调性与奇偶性的综合应用，属于中档题．
利用的奇偶性与单调性将不等式转化为成立，求出的最大值即可求得的取值范围．
【解答】
解：因为函数为奇函数，且在上单调递增，
所以不等式成立等价于成立，
所以成立，
即，即，解得，
即实数的取值范围是．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的最值的求法，是基础题．
求出函数在时，第一次取得最小值时的值，即可判断选项．
【解答】
解：函数，在时，，函数在时，第一次取得最小值，
所以，
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数恒成立问题，考查转化思想与数形结合思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
将不等式恒成立转化为在上恒成立，可判断，作出函数与的图象，数形结合即可求解的取值范围．
【解答】
解：不等式在上恒成立，
即当时，恒成立，
即当时，恒成立．
易得，作出函数与的图象，
如图所示，
要使不等式在上恒成立，
则，即，
即，解得，
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查诱导公式的应用，属于基础题．
由锐角三角形角的范围，结合诱导公式可得答案．
【解答】
解：为锐角三角形，
，
，，且在上单调递增．
，，
，，
，，
在第二象限．
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查幂函数的性质，考查诱导公式与三角函数的周期，属于中档题．
直接利用幂函数的性质，诱导公式与三角函数的周期判断、、、的结论．
【解答】
解：对于，作出函数的图象如图：
函数的周期是，的值域是，故A错误；
对于，对于幂函数，当时，，所以幂函数图象一定过点，
因为当时，，所以幂函数的图像一定不会出现在第四象限，故B正确；
对于：在锐角三角形中，由于，所以，
所以，即，同理，
故不等式恒成立，故C正确；
对于：函数的最小正周期为，故D正确．
故选BCD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是抽象函数的奇偶性，周期性和对称性，以及单调性，属于中等题．
由函数的图象关于直线 对称，得即为偶函数，可判断；根据已知条件得函数是以为周期的周期函数，再由可得出的值，可判断；因为以及则得该函数的图象关于对称，可判断；根据以及，可判断．
【解答】
解：对选项A因为函数的图象关于对称，所以即 ，即为偶函数，故A正确；
对选项B，由，可得，故函数为周期的周期函数，则，故B正确；
对选项C，因为，所以，，则，则根据中点坐标公式得该函数的图象关于对称，故C正确；
对选项D，，由，所以，而，所以，所以D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查三角函数的图象和性质等基础知识，体现了分类讨论、数形结合的数学思想，考查运算求解能力，是中档题．
由题意先化简解析式，画出其图象，由图象和正弦，余弦函数的性质，分别判断四个命题的真假．
【解答】
解：函数
对于，函数的最小正周期为，故A正确；
对于，当 ，时，，
减区间为，；
当 ，时，，
减区间为，；
的单调递减区间为，，故B错误；
对于，当 ，时，
当 ，时，
函数的值域为，
的最小值为，故C错误．
对于，作出函数
的图象，
数形结合得的解集是，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的新定义问题，考查计算能力，属于较难题．
根据梯形的面积公式可判断；根据圆形面积的四分之一可判断；根据所给新定义运算可判断；取特殊值判断．
【解答】
解：对于，曲线与直线，，轴围成的平面图形为梯形，故，故A正确；
对于，由，即，所以曲线与直线，，轴围成的平面图形为半径为的圆形面积的四分之一，
故 ，故B错误；
由题意，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当或时，也成立，
综上，，
对于，，
，故，故C正确；
对于，取，，则，故D错误．
故选AC．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的值域，涉及到对勾函数单调性，属于基础题．
利用换元法将问题转化为求对勾函数值域问题，再利用对勾函数的单调性，即可求得值域．
【解答】
解：
令，则问题转化为求在上的值域，
由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
又因为，则，即所求函数的值域为
故的值域是．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查弧长及扇形面积公式的应用，考查二次函数的最值，属于中档题．
设扇形的半径为，则，扇形的面积，利用二次函数的性质分析即得解．
【解答】
解：设扇形的半径为，则扇形的弧长为，
故，
扇形的面积，
由二次函数的性质易得当时，面积取得最大值为，
此时，．
故答案为：；．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查具体函数的定义域与正弦型函数的值域，考查含参数的集合关系问题，属于中档题．
根据条件求出的定义域，以及的值域，根据，建立不等式关系进行求解即可．
【解答】
解：有意义，即，
解得，
即
所以
解得，
，
，
，
即，
，
，
解得，
则实数的取值范围为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的性质，考查分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
设，通过对的分类讨论，结合不等式的性质可求解．
【解答】
解：设，
当时，，
不妨设，，
当时，
当时，，
若，则；
若，则；
当时，，，
；
当时，，，
同理，当时，可以证明
综上所述：的最大值为．
故答案为．
17.【答案】解： 原式
；
．
【解析】本题主要考查了指数和对数的运算，属于基础题．
利用指数的运算法则可得答案；
利用对数的运算法则可得答案．
18.【答案】解：设，，
则是上的单调函数，
当时，的最大值是，
最小值是，
函数的最大值为，
最小值为，
解得，
当时，的最小值是，
最大值是，
函数的最大值为，
最小值为，
解得，；
综上，当时，，
当时，，．
【解析】本题考查了三角函数的最值 ，属于中档题．
讨论和时，的最大，最小值，结合题设即可求出、的值．
19.【答案】解：为奇函数，，
即，
，整理得，使无意义而舍去．
由，故，
设，
时，，，，
，在上是减函数；
由知，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知在递增，
又在上单调递增，在递增，
在区间上只有一个零点，
，解得
【解析】本题主要考查了函数奇偶性的应用及函数单调性的判断，还考查了零点判定定理的应用，属于中档题．
结合奇函数的定义，代入即可求解；
先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；
先判断的单调性，然后结合函数零点判定定理可求．
20.【答案】解：函数．
将函数的图象向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到函数的图象；
证明：，
任取，且，
则
，
因为，
所以，，，
所以即，
所以在上单调递减．
同理可得在上单调递减．
所以，
所以在上的值域是．
【解析】本题考查函数图象平移，函数单调性，值域，对数函数性质，属于中档题．
化简函数可得将函数的图象向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到函数的图象；
，任取，，且，化简可得，根据单调性定义得在上单调递减同理可得在上单调递减得，利用对数函数性质可得在上的值域．
21.【答案】解：因为，，
所以，，即，
因为，
所以，
证明：设为上任意两个实数，且，则，，则，即，
所以在上单调递增，
所以，所以．
【解析】本题考查对数的运算性质，考查函数单调性的证明，属于中档题．
根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出；
根据单调性的定义即可证明函数在上单调递增，再根据单调性以及对数的性质即可比较出大小．
22.【答案】解：
由题意知，
在上单调递减，在上单调递增，
且，，
，
；
设存在正实数，，满足题意．
当时，在上单调递减，
，当且仅当，时取得最小值；
当时，在上单调递增，
，矛盾，不合题意；
当时，，，，
而，，又矛盾，不合题意；
综上所述，存在正实数，满足题意，且的最小值为．
【解析】本题考查分段函数，考查分类讨论的思想与基本不等式求最值，属于较难题．
由在上单调递减，在上单调递增，且，推得， 从而分别求得，，根据其关系得到结论；
先假设存在满足条件的实数，，由于是分段函数，则分当时，当时，时三种情况分析．
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