机密★2023年 4月 8日
江西省名校协作体联盟第二次联考模拟考试
数 学 ( 理 科 ) 试 卷
座 位
题 号 一 二 三 四 五 六 总分 累分人
号
得 分
说明： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡
上。将条形码 横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂
改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本大题包括 12小题，每小题 5分，共 60分。在每题给出的
四个选项中，只有一个是正确的。
1. 若 z =(i+ 1)2023,则 z的虚部是
A． 21011 B．-21011 C． 21011i D．-21011i
2. 已知A：{y|y= ln(2sin2x)}，B： x∈ Z|(x- 3) (x+ 3) ≤ 0 ，则A B为
A． 1,-2,-3 B． -1,2,3 C． -3,-2,-1,0 D． -3,-2,-1,1
3. 记全集为U，p 为 p 的否定，q为 q的否定，且 p 的必要条件是 q的必要条件,则
A ．存在 q的必要条件 B． p∪ q=U C． 任意 q的必要条件 D．存在 q的充分条件
是 q的充分条件 是 p的必要条件 是 p的必要条件
4. 2022 北京冬奥会顺利召开,滑雪健将谷爱凌以 2 金 1 银的优秀成绩
书写了自己的传奇，现在她从某斜坡上滑下,滑过一高度不计的滑板后
2
落在另一斜坡上，若滑板与水平地面夹角的正正切值为 3 ,斜坡与水平
4
地面夹角的正正切值为 3 ,那么她最后落在斜坡上速度与水平夹角的正正切值为
·1·
(不计空气阻力和摩擦力)
A． 3 B 10 C 11． ． D． 43 3
5. 生物中DNA转录为 RNA时服从碱基互补配对原则，即：A→U，C→G，G→C，T→ A，
但许多化学因子能修饰碱基，使其转录出不同的产物，比如 X标记处理后的碱基互补配
对原则变为：AX→G，CX→G，GX→ A，T X→ A，现在小明将 2个 A，两个C，两个G，两个 T，
一个 X标记组成一个DNA分子，则其转录出的 RNA有 种
A． 8400 B． 6720 C． 5880 D． 4200
6. 在直角△ABC，中 AC = 2，∠C = 90°，AB上有一动点 P，将△ACP沿CP折起使得二面
角 A' -CP- B= 60°，则当 A'B最小值最小时，BC为 A A'
P
C B
A 3 B 8． 2 ．
C． 2
3 D
5
． 2
7. 李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无
效碰撞，李华有 3 个小球 a和 3个小球 b，当发生有效碰撞时，a，b上的计数器分别增加 2
1
计数和 1 计数，a，b球两两发生有效碰撞的概率均为 2 ，现在李华取三个球让他们之间
两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为 2，则李华一开始取出的三个球里，
小球 a个数的期望是 个
A． 1.2 B． 1.6 C． 1.8 D． 2
8.实数 a,b> 0，满足：a3+b3+7ab= 9,则 a+ b的范围是
3
A． 2, 7 B． [2, 7 ) C． 2, 9 D． 2,
3 9
3 3
9. 在△ABC中 2sinA+ sinB= 2sinC 5 9，则 + 的最小值为
sinA sinC
A． 14 B． 16 C． 18 D． 20
x2 - y
2
10. 已知双曲线 E： 2 2 = 1，其左右顶点分别为 A1，A2，P在双曲线右支上运动，若a b
∠A1PA2的角平分线交 x轴于D点，A2过 PD的对称点为 A3，若仅存在 2 个 P使 A3D与 E
仅有一个交点，则 E离心率的范围为
·2·
A． 1, 2 B． 2,2 C． 2,+∞ D． 2,+∞
11. a= ln2，b= 1 13 ，c= ln3- 3 ，则 3 15
A． a> b> c B． b> a> c C． c> a> b D． b> c> a
12. f x = ex+1-e1-x-ax- asinx+ ecosa，f x 上存在 A,B,C,D四点使得四边形 ABCD为
正方形，则 a的取值可以是以下的几个
① 3 ② e+ 1 ③ 4 ④ e+ 2 ⑤ 5
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．平面向量 a，b，c，d满足 a = b = c = d = 1，a+ b+ c= 0，则 d- a + d- b +
d- c 的取值范围为____。
14．若存在 x使 a2sin2x+acos2x≥ 2，则 a的取值范围为 ____。
15．圆O：x2+y2= 4，P 3,4 过 P作圆O的切线 PM，PN，过 P作斜率为 1 的直线 l与圆
O交于点 Q(Q在△PMN内)，线段MN上有一点D使∠DQN+∠PQM= 180°，则 D的坐
标为____。
x-1
16．若 f x = x + x x-2-e x，设 f x 的零点分别为 x1，x2， ，xn，则 n = ____，lnx
n
xi =____。 其中 a 表示 a的整数部分，例如： 2.1 = 2， π = 3)
i=1
三、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。
17． 12分
在 △ABC 中，∠A，∠B ,∠C 对应的边分别为 a，b，c，a = 2，sin2B + sin2C -
3sinBsinC = 14
1 若存在 B≥ 120°，求 A
2 在 1 的条件下，若 P是△ABC内一点，过 P作 AB,BC,AC垂线，垂足分别为 D，E，
F T=
AB + 4 BC + AC ，求 的最小值.
PD PE PF
·3·
18． 12分
正四棱锥 P- ABCD中，PA= AB= 2，E为 PB中点，AF = λAP，CG= μCP，面 EFG
面 ABCD= l，面 EFG∩ AD=K
1 证明：当面 EFG 面 PBD时，l⊥面 PBD
2 当 λ= μ= 13 时，T为 P- ABCD表面上一动点 包括顶点 ，若有且仅有 5 个 T满足
2 2|TP|2+ TA 2+ TB 2+ TC 2+ TK 2=m，求m P
E
F
B
A
G
19． 12分 D C
: x
2
+ y
2
已知椭圆 E = 1，圆C： x- 1 2+y22 2 = 1，圆C与椭圆 E有且仅有三个交点，直a b
2
线 l过点 - 3 ,0
4 2
与 E交于 A，B两点，当 l斜率不存在时， AB = 3
1 求椭圆 E的方程
2 过 A，B分别作 AC，BD，与圆C相切交椭圆 E分别于C，D 1两点，若 k2CD= 48 ，求直线
CD
20． 12分
已知 f x 1 = 2 + ln 2axlnx+
1
x a
1 若 a= 1，讨论 f x 单调性
2 若 f x ≥ 1，求 a的范围
21． 12分
小刚在闲暇之时设计了如下一个 "数列 " an 满足：a1= 1，当 an为偶数时，an+1= 1，
1 1
当 an为奇数时，an+1有 2 的几率为 an+1，有 2 的几率为 an+2
1 求 a5的分布列和数学期望
2 求 an的前 n项和 Sn的数学期望
四、选考题：共 10分.请考生在第 22、2 3题中任选一题作答.如果多做，
·4·
则按所做的第一题计分.
22 极坐标与参数方程 ． 10分
研究某点轨迹时，数学上常常用向量来表示一个点。例如：M是车轮边缘的一点，初始态
在原点，车轮半径为 r，轮子沿着 x轴滚动，M点的轨迹(x, y)即为摆线
1 若以车轮旋转角度为参数，请写出M轨迹的参数方程
2 若坐标原点处固定一半径为 r的轨道，现在让车轮沿着该轨道转一圈，M初始态在
r,0 点，试写出M轨迹的参数方程
23 不等式选讲 ． 10分
已知 a+ b+ c= 3，a，b，c> 0
1 求证 a2b+ b2c+ c2a< 4
2 求 a2b+ b2c+ c2a+ a2c+ b2a+ c2b的范围
·5·江西省名校协作体联盟第二次联考模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，共60分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C D B C A B D B D B B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
5- 1
13. 2 3,4 14. 0, 2 ]∪ [1,+∞)
12 1615. 25 , 25 16. 3 4
三、解答题。
2 - + 3 2 = 1 2
2
17．解： 1 sin B 3sinBsinC 4 sin C 4 cos C = sinB-
3
2 sinC
① sinB= 3 12 sinC + 2 cosC = sin C+ 30°
B=C+ 30° 舍 或 B+C= 150° 即 A= 30°
3
② sinB= 2 sinC -
1
2 cosC = sin C- 30°
B=C- 30° 舍 或 B+C= 210° 舍
综上 A= 30°
c2 4a2= + + b
2
≥
b+ c+ 4 2 = 2 b+ c+ 42 T
2
c PD a PE b PF 2S△ABC bc
又由余弦定理可知：b2+c2-4= 3bc
b+ c 2-4
bc=
2+ 3
T≥ ( 2 b+ c+ 42 2+ 3)
2
b + c+ 4 = m 2(2+ 3)
b+ c 2-4
1
m2 m
= k
1 1
m2- =8m+ 12 12k2-8k+ 1 6k- 1 2k- 1
b+ c 2-4 b+ c 2
又 bc= ≤ 4 b+ c≤ 4 2+ 3 = 2 2+ 62+ 3
k∈ 1 , 1 T≥ 12+ 4 3+ 4 2+ 4 6 2 2+ 2 6+ 4 6 7+ 4 3
= 36- 20 2- 20 3+ 12 6
当且仅当 b= c= 2+ 3时取等
18．解： 1 设 AC交 BD于O
以O为原点，OC为 x轴，OB为 y轴，OP为 z轴建立直角坐标系
2 2
则 E 0, 2 , 2 ，G 2 1- μ ,0, 2μ ，F - 2 1- λ ,0, 2λ
设 n1，n2分别为面 BDP，面 EFG的一个法向量
易知 n1= 1,0,0 ,n2= μ- λ,s,t
μ- λ= 0
FG AC
又 AC BD，AC PB，BD PB= B AC 面 BDP
即 l 面 BDP
2 易证 μ= λ= 13 时，K=D
TB 2+ TD 2= TO 2+ OB 2+2 TO OB cosα+ TO 2+ OD 2-2 TO OD| cosα
= 2 TO 2+2 OB 2
m= 4 TO 2+4 OB 2+2 2 TP 2= 4 TO 2+2 2 TP 2+8
过C作CO'平分∠POC交 PO于O'
PO'OO' = 2 4 TO
2+2 2 TP 2= 2 2+ 4 TO' 2+2 2 O'P 2+4 OO' 2
m= 2 2+ 4 TO' 2+ 8( 2+ 1) 3+ 2 2 + 8
又有且仅有五个 T满足条件，O'为 P- ABCD内切圆圆心
TO' 2 = 2
2+ 2
m= 4 2+ 8
19．解 1 由题意 a= 2
AB = 4 2又
2 3
E x： + y24 = 1
2 1- t2x=
2)E: 1+ t2 2t t为参数 y= 1+ t2
2 1- A2 2 1- B2 2
x= 1+ A2 x=
2 1-C
2 x=
设 A： ，B： 1+ B ，C： 1+C2 ，D：y= 2A y= 2A y= 2C1+ A2 1+ A2 1+C2
x= 2 1-D
2
1+D2 2D 其中 ABCD均不位于左顶点 y= 1+D2
则易证 AB: 1- AB2 x+ A+ B y- 1+ AB = 0过 -
2
3 ,0
AB=-2
同理 AC: 1- AC2 x+ A+C y- 1+ AC = 0与圆O相切
3AC+ 1 = 1
1- AC 2+4(A+C)2
2 2
2A2C2= A2+C2 A2= C D2- ，同理 B
2=
2C 1 2D22 2 -1
A2B2= C D
2C2-1 2D2- = 41
15C2D2+4= 8 C2+D2 ≥ 16CD 令CD= t)
t≥ 2 t≤ 23 或
k =- 1
5
又 CD 2
1-CD
C+D 2
2 1 t- 1 2 t+ 1
2
k 1CD= 4 = =15t2+4 + 2t 15t
2+16t+ 4 48
8
t= 2 46或 81 舍
CD= 2 2 C+D=±2 3C +D2= 8
CD:-x± 4 3y- 6= 0
20．解 1 f x 1 = 2 + lnx 2xlnx+ 1
' = x
3+x3lnx- 2xlnx- 1
f x 2 x3 2xlnx+ 1
令 g x = x3+x3lnx- 2xlnx- 1
2 x- 1 2
x< 1时有 lnx< x -1
3 x+ 1
，lnx> 2x
3 2x x- 1 g x < x +
2x x- 1
x+ 1 - x
2+1- 1< 0 x+ x+ 1 - 1< 0
3x2-2x- 1= x- 1 3x+ 1 < 0成立
f ' x < 0
同理 x> 1时有 f ' x > 0
故 f x 在 0,1 上递减，在 1,+∞ 递增
2 由 f 1 = 1+ ln 1a ≥ 1可知a∈ (0,1]
a> 1时 f 1 > 1，不成立
a< 0时，显然存在 x0使得 2axlnx+
1
a → 0，此时 f x →-∞，不成立
下证 a∈ (0,1]时原式成立
令 h a 1 1 = 2 + ln 2axlnx+x a
2xlnx- 12
h' a a = 1 ，a∈ (0,1]2axlnx+ a
① 2xlnx≤ 1时，h' a ≤ 0
h a ≥ h 1 = 1 2 + ln 2xlnx+ 1
1 x
由 1 知 x2
+ ln 2xlnx+ 1 ≥ 1
② 2xlnx> 1时
h a ≥ h 1 12xlnx = 2 + ln 2 2xlnxx
令 F x = 1 + ln 2 2xlnxx2
x2-4 lnx+ x2 F' x = 2x3lnx
x≥ 2时 F' x 显然大于 0
2 x- 2x< 2 时有 lnx< x+ 2 + ln2
x2-4 lnx+ x2> 2(x- 2)2+ln2 x2-4 + x2= 3+ lnx x2-8x+ 8- 4ln2
△= 216 ln2+ ln 2- 2 < 0
x2-4 lnx+ x2> 2(x- 2)2+ln2 x2-4 + x2= 3+ lnx x2-8x+ 8- 4ln2> 0
F' x > 0
令 2tlnt = 1
F t ≥ 1 1下证 ，即 2 + ln2> 1
1 2
t t2
+ 3 > 1 t< 3显然成立
故 F x > F t > 1
当且仅当 a∈ (0,1]时原式成立
21.解: 1 分布列如图：
a5 1 2 3 4 5 8 9
P 3 1 1 1 1 1 1
8 8 8 8 8 16 16
E 51 a5 = 16
2
S1= 1，S2= 1+
5 7
2 = 2
= S
n
S n-2 + Sn-3 + + S1 + 4i- 3 1
i-1
由题意可知： n 2 4 2n-2 2 i=1
= Sn-2 + Sn-32 4 + +
S1 4n+ 5
2n-2
+ 10- n-1 n≥ 3
S -10+ 4n+ 5
2
S n- n-1
S -S = n 1 2 4n+ 1n+1 n 2 - 2 + n n≥ 32
S = Sn + Sn-1n+1 2 2 + 5-
4
n n≥ 3 S
25 1 7 25
2
，又 3= 4 = 2 + 4 + 4= 4 成立，故 n≥ 2
2n+1S = 2nS +2 2n-1S +5 2n+1n+1 n n-1 -8
令 bn= 2nSn 则 bn+1= bn+2bn-1+5 2n+1-8 n≥ 2
bn+1+bn-8 = 2 bn+bn-1-8 + 5 2n+1 n≥ 2
令 cn= bn+1+bn-8 则 c n+1n= 2cn-1+5 2 n≥ 2
cn = cn-1 + c b +b -8n 10
1
， = 2 1 = 4
2 2n-1 2 2
cn= 4+ 10 n- 1 2n= 10n- 6 2n= bn+1+bn-8 n≥ 1
b nn+1=-bn+ 10n- 6 2 +8
-1 n+1b = -1 nn+1 bn+ -1 n+1 10n- 6 2n+8
令 dn= -1 nbn，d1=-2，d2= 14
n
dn+1= dn+ -1 n+1 10n- 6 2n+8 d nn+1=-2- -1 10n- 6 2n+8
i=1
= 2 + 30n- 8 -2
n+1
9 + 4 -1
n+1
S = 2
9
n
- 1 + 30n- 38 1n 9 2 9 + 2n-2
经检验，n= 1，2，3，4时均成立
22解： 1 OM =OA+ AB+ BM
由摆 线 定义可知 AM =OA= rφ
OM = rφ,0 + 0,r + -rsinφ,-rcosφ
= rφ- rsinφ,r- rcosφ
: x= rφ- rsinφM y= r- φ为参数)rcosφ
2 设两圆相切于 A，B r,0
则由外摆线定义可知 AB= AM
∠BOA=∠AO'M= φ
过O'作O'C x轴 C在O'右侧
∠ M O'C = π- 2 φ
OM =OO' +O'M = 2rcosφ,2rsinφ + rcos π- 2φ ,-rsin π- 2φ
= 2rcosφ- rcos2φ,2rsinφ- rsin2φ
: x= 2rcosφ- rcos2φM = φ为参数)y 2rsinφ- rsin2φ
23：解 1 不妨设 a≥ b≥ c
则 a2b+ b2c+ c2a≤ a2b+ 2abc< a2b+ 2abc+ b2c= b a+ c 2= 12 2b a+ c
2
2
≤ 1 a
3
2 3 = 4
2 a2 3- a ≤ 9 a= 27 原式= 4 4 其中 x 3- x ≤
9
4
又 a,b,c≥ 0，无法取等
又显然原式＞ 0
故范围为 0, 274
