2022-2023学年上海市普陀区重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设、、、为空间中的四个不同点，则“、、、中有三点在同一直线上”是“、、、在同一个平面上”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3. 已知曲线：，命题：曲线仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题：曲线上的点到原点的最大距离是则下列说法正确的是( )
A. 、都是真命题 B. 是真命题，是假命题
C. 是假命题，是真命题 D. 、都是假命题
4. 四面体的所有棱长都为，棱平面，则四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 半径为的球的体积是______．
6. 设正四面体的棱长为，则该正四面体的高为______．
7. 两条平行直线与之间的距离为______．
8. 若直线的一个法向量为，则过原点的直线的方程为______．
9. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中，则三角形的面积为______
10. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______．
11. 若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为______．
12. 已知直线：，，则直线的倾斜角的取值范围是______．
13. 已知正三棱台上、下底面边长分别为和，高为，则这个正三棱台的体积为______．
14. 已知圆：，直线：、不同时为，当、变化时，圆被直线截得的弦长的最小值为______．
15. 在棱长为的正方体，，，，分别为棱，，，的中点，三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为______ ．
16. 如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为______．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知圆经过、，且圆心在直线上．
Ⅰ求圆的方程．
Ⅱ若直线经过点与圆相切，求直线的方程．
18. 本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别为棱、的中点．
求证：直线平面；
若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小．
19. 本小题分
如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为、测得，以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上．
求码头点的坐标；
海中有一处景点设点在平面内，，且，游轮无法靠近．求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标．
20. 本小题分
如图，在长方体中，，，点在棱上运动．
证明：；
设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由；
求直线与平面所成角的取值范围．
21. 本小题分
已知椭圆，过动点的直线交轴于点，交于点、在第一象限，且是线段的中点，过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点设、
若点的坐标为，求的周长；
设直线的斜率为，的斜率为，证明：为定值；
求直线倾斜角的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设、、、为空间中的四个不同点，
则“、、、中有三点在同一条直线上”“、、、在同一个平面上”，
“、、、在同一个平面上”知“、、、中可以任意三点不在同一条直线上”，
“、、、中有三点在同一条直线上”是“、、、在同一个平面上”的充分非必要条件．
故选：．
“、、、中有三点在同一条直线上”“、、、在同一个平面上”，“、、、在同一个平面上”知“、、、中可以任意三点不在同一条直线上”，由此能求出结果．
本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查空间中四点共面等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：设，，，；
；
的最小值为．
故选：．
设，根据点的坐标求出，所以求关于的二次函数的最小值即可．
考查向量的坐标，椭圆的焦点，椭圆的标准方程，向量数量积的坐标运算，二次函数的最值求法．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，曲线：，
由于，则有，
则有，变形可得，即曲线上的点到原点的最大距离是，为真命题，
由于，即曲线内切于圆，
而圆内位于第一象限的整点只有，但，所以曲线在第一象限不过整点，
同理：曲线在二三四象限也不过整点；
曲线与坐标轴的交点为，是一个整点，
综合可得：曲线只过一个整点，为真命题；
故选：．
根据题意，由基本不等式可得，代入曲线的方程，变形可得，由此可得为真，由此可得曲线内切于圆，结合圆的整点，分析曲线经过的整点，可得为真，综合可得答案．
本题考查曲线的轨迹与方程，涉及命题真假的判断，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：四面体的所有棱长都为，四面体为正四面体，
将正四面体放置到棱长为的正方体中，设底面对角线，如图所示，
当平面与正方体的底面平行时，射影构成的图形面积最大，
此时射影构成的图形与正方形全等，又，
射影构成的图形面积的最大值为；
当平面与正方体的对角面平行时，射影构成的图形面积最小，
此时射影构成的图形与等腰三角形全等，又，
射影构成的图形面积的最小值为，
综合可得：所求射影构成的图形面积的取值范围是
故答案为：．
先将四面体放置到正方体中，再利用运动变化思想，求出射影构成的图形面积的最值，从而得解．
本题考查分割补形法的应用，运动变化思想的应用，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题意球体积为．
故答案为：．
根据球体积公式计算可得球的体积．
本题主要考查球的体积的求解，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，如图：设正四面体，其棱长为，
为底面三角形的中心，则为正四面体的高，
连接、，
易得，
则，
即该正四面体的高为；
故答案为：．
根据题意，设正四面体，为底面三角形的中心，连接、，求出的长，由勾股定理分析可得答案．
本题考查正四面体的结构特征，涉及距离的计算，属于基础题．
7.【答案】．
【解析】解：两条平行直线与之间的距离为．
故答案为：．
根据已知条件，结合两条平行直线间的距离公式，即可求解．
本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：直线的一个法向量为，且经过点，则直线的斜率为，
故直线的方程为：，即，
故答案为：．
直线的一个法向量为，可得直线的斜率，利用点斜式即可得出．
本题考查了直线的法向量、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，三角形为正三角形的直观图，其中，
则正三角形中，边，则有，
又由，计算可得，
故答案为：．
根据题意，求出正三角形的边长，进而可得的值，由于，计算可得答案．
本题考查平面图形的直观图，注意斜二测画法的步骤，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：圆锥的底面半径为，母线长为，
该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
利用圆锥的结构特征和侧面积公式直接求解．
本题考查圆锥的结构特征和侧面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：设椭圆的长轴长是，短轴长是，
又椭圆的长轴长是短轴长的倍，
则，
即，
则，
则椭圆的离心率，
故答案为：．
由椭圆的性质求解即可．
本题考查了椭圆的性质，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角为，．
则，
．
故答案为：．
设直线的倾斜角为，可得，即可得出．
本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：正三棱台上、下底面边长分别为和，
，，
又高为，
这个正三棱台的体积为．
故答案为：．
由已知求得棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解．
本题考查棱台体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】．
【解析】解：圆：，
圆心，半径，
直线：，即，
令，解得，
直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦长最小值时，圆心与定点的连线与直线垂直，
，
圆被直线截得的弦长的最小值为．
故答案为：．
根据已知条件，先求出直线的定点，再结合垂径定理，以及两点之间的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：三棱锥的顶点在同一个球面上，
由点为棱的中点，可得底面是等腰直角三角形，
那么底面的外接圆半径，
设球心到的外接圆的圆心的距离为，球半径，
则，
，
联立解得．
该球的表面积．
故答案为：．
求解的外接圆的半径，由球心与外接圆的圆心垂直，利用勾股定理求解球的半径，则球的表面积可求．
本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：设为椭圆的右焦点，
因为，分别为，的中点，
所以，，
，
所以的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，在圆内，
所以的最小值为，最大值为，
故的取值范围为
故答案为：
先求出点的轨迹，根据轨迹，结合圆的性质可求的取值范围．
本题主要考查了点的轨迹方程的求解，椭圆的性质及圆的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ圆心在直线上，
故可设圆心，半径为．
则圆的标准方程为．
圆经过、，
．
解得，．
圆的标准方程为
．
Ⅱ由Ⅰ知，圆的圆心为，半径．
直线经过点，
若直线斜率不存在，
则直线：．
圆心到直线的距离为
，故直线与圆相交，不符合题意．
若直线斜率存在，设斜率为，
则直线：，
即．
圆心到直线的距离为
．
直线与圆相切，
，即．
，
解得或．
直线的方程为或．
【解析】Ⅰ根据已知设出圆的标准方程，将点，的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆的方程．
Ⅱ根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质即可求出直线斜率，从而求出直线方程．
本题考查圆的标准方程，直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：证明：，分别是棱、的中点，
在中，，
平面，平面，
直线平面．
平面平面，平面平面，平面，
，
平面，
是直线与平面所成角，
直线与平面所成角为，
，，
平面，，平面，
，，
，，，平面，
平面，
是直线与平面所成角，
直线与平面所成角为，，
，，
设，则，，，，
为等腰直角三角形，，
，，
是二面角的平面角，
二面角的大小为．
【解析】根据，即可证明直线平面；
证明平面，平面，进而结合已知条件证明为等腰直角三角形，，再根据二面角的定义能求出二面角的大小．
本题考查线线平行、线面平行的判定与性质、二面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：由题意得，直线方程为，
设，，
由题意得，
解得，
故；
因为直线的方程为，即，
由可得，，
故B，
则直线方程为，
点到直线的垂直距离最近，设垂足为，
因为，且，，
所以，直线的方程为，
联立可得，，
故C．
【解析】由已知先求出所在的直线方程，然后结合点到直线的距离公式可求；
由题意可先求出的坐标，进而求出所在的直线方程，结合点到直线距离的几何意义可求．
本题主要考查了直线的交点坐标，点到直线的距离公式，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．
20.【答案】解：证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
设，，则，
，E.
若是的中点，则，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设，，，，
若平面，平面，
则，，
是的中点，．
，
设，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，，
，
，，，，
直线与平面所成角的取值范围是
【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法能证明；
利用向量法列方程，能求出的值；
利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，结合不等式的性质能求出直线与平面所成角的取值范围．
本题考查线线垂直、线面平行、线面角、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：因为椭圆，可得，，，
点的坐标为，所以是椭圆的左焦点，
设与的交点为，，
是线段的中点，为的中点，
为椭圆的右焦点，的周长为．
证明：设，由可得，，
所以直线的斜率，的斜率，所以，
所以为定值．
设，直线的方程为，直线的方程为，
联立方程，整理得，
根据根与系数可得，可得，所以，
同理，，
所以，
，
所以由，，可得，
所以，当且仅当，即时，取得等号，
所以，解得，
所以直线倾斜角的最小值为．
【解析】利用椭圆的标准方程可得，，，进而判断是椭圆的左焦点，进而可得过椭圆的右焦点，从而可求的周长．
设，由可得，，求出直线的斜率，的斜率，推出为定值．
设，直线的方程为，直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，求解，坐标，然后求解的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线倾斜角的最小值．
本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属难题．
第1页，共1页
