2022-2023学年上海市重点高中高一（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，则下列集合中与相等的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知，则“”是“”成立的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3. 函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数，有下列两个结论：
的值域为；
对任意的正有理数，存在奇数个零点
则下列判断正确的是( )
A. 均正确 B. 均错误 C. 对错 D. 错对
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 设全集，，则______．
6. 若函数是偶函数，则该函数的定义域是____________．
7. 函数的反函数是______．
8. 方程，的解集是______．
9. 已知扇形的圆心角为，其面积是，则该扇形的周长是______．
10. 已知角的终边过点，则______．
11. 已知，，则的值为______．
12. 设，则方程的解集为______．
13. 设，，且，若的最小值为，则实数的值为______．
14. 如图，在平面直角坐标系的电场中，一带电粒子从点射出，落入轴上的区间，粒子的运动轨迹是函数的图像的一部分，则使取最小值的区间是______．
15. 已知集合，且关于的不等式至少有一个负数解，则集合中的元素之和等于______．
16. 已知函数，，其中，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设集合，
若，求和；
若，求实数的取值范围．
18. 本小题分
幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
求的表达式；
对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19. 本小题分
通过对方舱隔离室的调查研究发现，一天中病毒污染指数与时刻时的关系为，，其中是与环境有关的参数，且若用每天的最大值作为当天方舱隔离室的病毒污染指数，并记作．
令，，求的取值范围；
按规定，每天方舱隔离室的病毒污染指数不得超过，则环境参数需要控制在什么范围？
20. 本小题分
已知函数．
Ⅰ判断函数的单调性，并用定义给出证明；
Ⅱ解不等式：；
Ⅲ若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围．
21. 本小题分
若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数
为“函数”．
试判断函数是否是“函数”，并说明理由；
若函数为“函数”，求实数的取值范围；
若函数为“函数”，且，
求证：对任意，都有．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
A.，A错误；
B.，B正确；
C.，C错误；
D.可以等于，集合中的，所以两集合不相等，D错误．
故选：．
可得出：，通过求定义域可判断出A错误，B正确，显然，D错误．
本题考查了函数定义域的求法，集合的描述法的定义，分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：当，时，满足，但不成立，充分性不成立，
或或，
成立，必要性成立，
则 是 成立的必要不充分条件，
故选：．
利用举实例判断充分性，利用不等式的性质判断必要性．
本题考查了不等式的性质，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：因为与在上都是增函数，
故在上是增函数，
因为，，所以，
故只在上存在唯一零点．
故选：．
显然，在上是单调递增的，再结合零点存在性定理判断即可．
本题考查函数的单调性以及函数零点存在性定理，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，显然为无理数时，，则的值域中不包含负无理数，故错；
对于，的零点为，
当为有理数时，必有为解；
当为无理数时，，必有或无解，
所以的零点个数为个或个，故对．
故选：．
根据函数的定义，以及，为无理数；，为有理数时的运算结果，分别判断即可．
本题考查分段函数的性质以及函数值域的求法，同时考查了函数零点的判断方法，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：全集，
则，
故．
故答案为：．
先求出全集，再结合补集的定义，即可求解．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，注意函数的奇偶性的定义，属于较易题．
根据题意，由函数奇偶性的定义可得，分析可得的值，即可得，据此分析函数的定义域即可得答案．
【解析】
解：函数，由函数为偶函数，则，
则有，
解可得，
则函数，
有，解可得，
则函数的定义域为．
故答案为：．
7.【答案】
【解析】解：当时，由可得，
故的反函数是．
故答案为：．
由已知函数解析式先求出，然后把与互换可求．
本题主要考查了函数反函数的求解，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，
或，
故答案为：
利用正切函数的性质可得答案．
本题考查正切函数的图象与性质，考查运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设扇形的半径为，
因为扇形的圆心角为，其面积是，
则有，解得，
故扇形的周长为．
故答案为：．
设扇形的半径为，利用扇形的面积公式求出，然后求扇形的周长即可．
本题考查了扇形的面积公式和扇形的弧长公式，考查了运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为角的终边过点，
所以，，
则．
故答案为：．
由已知利用任意角的三角函数的定义可求，的值，进而利用诱导公式化简所求即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：当时，则方程为，即恒成立，则满足；
当时，则方程为，解得，舍去；
当时，则方程为，解得，；
当时，则方程为，即恒成立，时满足．
综上所述，方程的解集为．
利用绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，分别求解即可．
本题考查了含有绝对值方程的求解，解题的关键是利用绝对值的定义去掉绝对值，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，且，
，，
，
当且仅当，又，即，取等号，
此时的最小值为，则．
故答案为：．
利用“”的代换思想，求的最小值，并验证等号成立的条件，即可求．
本题考查基本不等式“”的代换思想，属于基础题．
14.【答案】．
【解析】解：因为，所以，
又，所以，解得，
当时，可得，，
所以，解得，
即落入轴上的区间为最小区间，
所以使取最小值的区间是．
故答案为：．
由，可求得，结合的范围，可求得的范围，由，可求出，从而可得的范围，即可得解．
本题主要考查对数函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：作出和的图像，如图，
的顶点是，
向右平移函数的图象，当其左边射线过点时，，
向左平移函数的图象，当其右边射线与的图象相切时，，
满足题意的取值范围是，其中整数有，，，，，，它们的和为．
故答案为：．
作出和的图像，向右平移函数的图象，向左平移函数的图象，得到满足题意的取值范围是，即可求解．
本题考查了元素与集合的关系，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：依题意，，可等价于，
令，
则问题等价于对任意的，总存在，使得成立，其中，
所以的值域是的值域的子集，
又当，时，，
当，时，，
所以，依题意可知，与同号，
当时，解式可得，；
当时，此时式无解．
综上，；
故答案为：．
问题可转化为对任意的，总存在，使得成立，其中，即的值域是的值域的子集，然后求出函数以及函数的值域，建立不等式组，即可得解．
本题考查不等式的恒成立问题，考查转化思想，集合思想以及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：当时，，
或，
故A，；
，
则，
，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
【解析】根据已知条件，先求出集合，，再结合交集、并集的定义，即可求解；
根据已知条件，结合集合的包含关系，对分类讨论，即看求解．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
18.【答案】解：依题意，，解得，
所以；
不等式，即，
又在上是增函数，则在上是减函数，
而在上为增函数，则在上为减函数，
所以，则，
所以实数的取值范围为．
【解析】根据题意可得，由此求得的值，进而得解；
依题意，对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解．
本题考查幂函数的性质以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：当时，，
当时，，当且仅当时等号成立，
，
即的取值范围是；
当时，记，
则
在上是严格减函数，在上是严格增函数，
且，，，
故
当时，由，解得；
当时，由，解得，
当且仅当时，．
故环境参数需要控制在
【解析】当时，，当时，根据基本不等式求出取值范围，即可求出的取值范围；
当时，记，则，根据的单调性，得到，分情况讨论，求解环境参数需要控制的范围即可．
本题考查函数模型的应用，属于中档题．
20.【答案】解：根据题意，在上单调递增；
证明：任取，，且，则；
又由，则有，
故函数在上单调递增；
根据题意，函数则，
，
又函数在上单调递增，则有
故不等式的解集为．
Ⅲ根据题意，若关于的方程只有一个实根，
即方程有且只有一个实数解．
令，则，问题转化为：
方程有且只有一个正数根，
当时，，不合题意，
当时，
若，则或，
若，则，符合题意；
若，则，不合题意，
若，则或，
由题意，方程有一个正根和一个负根，即，解得；
综上，实数的取值范围是．
【解析】Ⅰ根据题意，利用作差法分析可得结论；
Ⅱ由函数的解析式可得，则有，结合函数的单调性分析可得答案；
Ⅲ根据题意，原问题等价于方程有且只有一个实数解．利用换元法分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数与方程的关系，属于中档题．
21.【答案】解：对于函数，当，时，，，
又，所以，
故是“函数”；
当，时，由是“函数“，
可知，即对一切正数恒成立，
又，可得对一切正数恒成立，所以，
由，可得，
即
，
故，又，故，
由对一切正数，恒成立，可得，即，
综上可知，的取值范围是；
证明：由函数为“函数”，可知对于任意正数，，都有，，且，
令，可知，即，
故对于正整数与正数，都有
，
对任意，可得，又，
所以．
【解析】根据定义判断即可；
根据定义可知，即对一切正数恒成立，可得，由，可得，得出，最后求出的范围；
由函数为“函数”，可知对于任意正数，，都有，，且，令，可知，即，利用累乘法即可得证．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
第1页，共1页
