2022-2023学年北京市通州区高一（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. ( )
A. B. C. D.
2. 设，，，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
3. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则( )
A. B. C. D.
4. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5. 将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，然后再使曲线上各点的横坐标变为原来的得到曲线，最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍得到曲线，则曲线对应的函数是( )
A. B.
C. D.
6. “”是“是第一象限角”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 函数与的图象( )
A. 关于轴对称 B. 关于轴对称
C. 关于原点对称 D. 关于直线对称
8. 函数的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
9. 已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
10. 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔测量一次茶水温度，得到数据如下：
放置时间
茶水温度
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：
，．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为( )
参考数据：，
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 半径为，圆心角为弧度的扇形的面积为______．
12. 的值为______ ．
13. 若函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式为______．
14. 已知，则的最大值为______，最小值为______．
15. 已知函数，当方程有个实数解时，的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知，是第四象限角．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求，的值．
17. 本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的定义域；
Ⅱ求函数的最小正周期；
Ⅲ求函数的单调区间．
18. 本小题分
已知函数的最小正周期为．
Ⅰ求的值；
Ⅱ从下面四个条件中选择两个作为已知，求的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．
条件：的值域是；
条件：在区间上单调递增；
条件：的图象经过点；
条件：的图象关于直线对称．
19. 本小题分
已知函数，．
Ⅰ求函数的定义域；
Ⅱ若函数为偶函数，求的值；
Ⅲ是否存在，使得函数是奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20. 本小题分
某一扇形铁皮，半径长为，圆心角为工人师傅想从中剪下一个矩形，如图所示．
Ⅰ若矩形为正方形，求正方形的面积；
Ⅱ求矩形面积的最大值．
21. 本小题分
已知函数的零点是．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ判断函数的单调性，并说明理由；
Ⅲ设，若不等式在区间上有解，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可得解．
本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合表示终边在轴的角的集合；
表示终边在轴非负半轴的角的集合；
表示终边在轴非正半轴的角的集合；
所以，，正确，错误，
故选：．
分析各个集合所表示的角的范围，可得答案．
本题考查的知识点是集合的表示法，集合的交集并集，正确理解各个集合表示的角的范围，是解答的关键．
3.【答案】
【解析】解：角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，
，且，求得，
则，
故选：．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：是奇函数，当时，函数为增函数，满足条件
B.函数的定义域为，当时，函数为减函数，不满足条件．
C.为偶函数，不满足条件．
D.函数的定义域为，关于原点不对称，
函数为非奇非偶函数，不满足条件．
故选：．
分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线：，
然后再使曲线上各点的横坐标变为原来的得到曲线：，
最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍得到曲线，
则曲线对应的函数是
故选：．
利用函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查三角函数的图象变换规律，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：时，为第一或第三象限角，充分性不成立；
为第一象限角时，，必要性成立；
所以“”是“是第一象限角”的必要不充分条件．
故选：．
分别判断充分性和必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由于函数，即函数，
故函数与的图象关于轴对称，
故选：．
化简函数的解析式，从而得出结论．
本题主要考查对数函数的图象的对称性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，，
，
显然满足，
故函数的零点所在的区间为
故选：．
可得，，由零点判定定理可得．
本题考查函数零点的判定定理，涉及对数值得运算和大小比较，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
则，，的大小关系为．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
由表中数据可得，每分钟茶水的温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，故选用模型，更符合实际的模型，将，代入可得，模型的函数，再结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】
解：由表中数据可得，每分钟茶水的温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，
故选用模型，更符合实际的模型，
将，代入可得，，解得，
故，
令，即，
故，即，
刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据扇形的面积公式求即可．
本题考查了扇形的面积公式，考查了计算能力，属于简单题．
12.【答案】
【解析】解：根据对数的运算性质可得，
原式．
首先由对数函数的运算性质，可将原式化简为，再根据二倍角的正弦的公式，进一步化简可得，进而可得答案．
本题考查对数的运算性质以及二倍角的正弦的公式，初学时，要特别注意对数的运算性质的特殊性与对数函数的定义域．
13.【答案】
【解析】解：有图可得，
则函数，
结合图象，可得，．
再结合五点法作图，可得，，
故函数，
故答案为：
由周期求出，由五点作图求出，可得函数的解析式．
本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由周期求出，由五点作图求出，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
可令，，
所以
故答案为：，．
令，，然后结合辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质可求．
本题主要考查了辅助角公式及正弦函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：方程有个实数解，等价于函数的图象与直线有个公共点，
因当时，在上单调递减，在，上单调递增，，，当时，单调递增，取一切实数，
在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图：
由图象可知，当时，函数的图象及直线有个公共点，方程有个解，
所以的取值范围为．
故答案为：．
根据给定条件将方程的实数解问题转化为函数的图象与直线的交点问题，再利用数形结合思想即可作答．
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，注意数形结合思想的运用，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ已知，是第四象限角，
则，
又，
又，，
则，，
则；
Ⅱ由Ⅰ可得：，
．
【解析】Ⅰ由同角三角函数的关系求解即可；
Ⅱ由两角和的三角函数求解即可．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和的三角函数，属基础题．
17.【答案】解：Ⅰ由函数可得，，
求得，，
故函数的定义域为．
Ⅱ由函数的解析式，可得它的最小正周期为．
Ⅲ令，，
求得，，
可得函数的增区间为，；该函数没有减区间．
【解析】Ⅰ由题意，根据正切函数的定义域，得出结论．
Ⅱ由题意，根据正切函数的周期性，得出结论．
Ⅲ由题意，根据正切函数的单调性，得出结论．
本题主要考查正切函数的图象和性质，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ因为，所以．
Ⅱ方案一：
选择，
因为的值域是，
所以．
所以．
因为的图象经过点，
所以，
即．
又，所以．
所以的解析式为．
因为，
所以．
当，
即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值．
方案二：
选择条件，
因为的值域是，
所以．
所以．
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以．
又，所以．
所以的解析式为．
以下同方案一．
方案三：
选择条件，
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以．
又，
所以．
因为的图象经过点，
所以，
即．
所以的解析式为．
以下同方案一．
【解析】由周期可得；
由中确定，由得出，的关系式，由可确定，条件不能得出确定的值，在区间上单调递增，没有说就是单调增区间，由它可能确定参数的范围．因此考虑方案：；；分别求解．
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ由题意，得，所以，
所以，，所以，，
故函数的定义域为；
Ⅱ，
若为偶函数，则，
所以，所以，
因为不恒为，故，
因为，所以；
Ⅲ不存在，使得函数是奇函数，理由如下：
当时，为偶函数，
当时，
，
故，
所以不是奇函数．
【解析】Ⅰ由题意，得，然后结合余弦函数的性质求出定义域；
Ⅱ由已知结合偶函数的定义即可求解；
Ⅲ结合奇函数的定义即可求解．
本题主要考查函数的定义域的求解和函数奇偶性的判断，属于中档题．
20.【答案】解：连接，设，则，
．
Ⅰ若矩形为正方形，则，即，
，则正方形的面积
；
Ⅱ矩形的面积
，
当，即时，面积取到最大值为．
【解析】连接，以角为变量，把、用表示．
Ⅰ若矩形为正方形，则，再由正方形面积公式求解；
Ⅱ矩形的面积，变形后利用三角函数求最值．
本题考查三角函数的性质，三角函数的最值的求法，是中档题．
21.【答案】解：Ⅰ因为函数的零点是，所以，解得；
Ⅱ函数，令，解得，所以的定义域为，
在定义域上单调递减，用定义证明如下：
任取，，，
因为，所以，所以，所以，
即，在定义域上是减函数；
Ⅲ时，不等式可化为，
即，所以，
因为，所以，
设，其中，
所以，所以，
所以不等式在区间上有解，所以，
又因为，所以的取值范围是．
【解析】Ⅰ根据函数零点的定义代入求值即可；
Ⅱ求出函数的定义域，判断的单调性，用定义证明即可；
Ⅲ不等式化为，得出，求出在的最大值即可．
本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了转化思想与运算求解能力，是中档题．
第1页，共1页
