因式分解
（测能力）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.多项式的公因式是( )
A. B. C. D.
2.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
3.化简所得的结果为( )
A. B. C. D.
4.当n为自然数时，一定能( )
A.被5整除 B.被6整除 C.被7整除 D.被8整除
5.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
6.多项式可以因式分解成，则的值是( )
A.0 B.3 C.3或-3 D.1
7.下列因式分解：
①；
②；
③，
其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.仅③
8.若a、b、c、为的三边长，且满足，则的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
9.已知M是含有字母x的单项式，要使多项式是某一个多项式的平方，则这样的M有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.已知三个实数a,b,c满足，，则( )
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.若多项式分解因式的结果为，则的值为__________.
12.计算：________.
13.分解因式：_______.
14.已知，，则_____.
15.已知（m为任意实数），则P,Q的大小关系为________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）已知，，求的值.
17.（8分）仔细阅读下面例题，解答问题.
【例题】已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为，得，
则，
，解得，
另一个因式为，m的值为-21.
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值.
18.（10分）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式.
19.（10分）能被45整除吗？为什么？
20.（12分）先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
(一)例题：分解因式：
解：将“”看成整体，设，则原式，
再将“M”换原，得原式；
上述解题目用到的是：整体思想，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法；
(二)常用因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前面两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整分解了.
过程：
，
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法.
利用上述数学思想方法解决下列问题：
(1)分解因式：
(2)分解因式：
(3)分解因式：；
21.（12分）阅读下列材料，解决问题：
三位数的“衍生数” 一个三位正整数x，它的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若从x的三个数位上的数字中任选两个组成一个新的两位数，我们称这样的两位数为x的“衍生数”.如654，任选其中两个数字组成的所有两位数分别是：65，64，56，54，46，45.它们都是654的“衍生数”.
(1)整数789所有的“衍生数”为________；
(2)若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为a，十位数字为1，个位数字为4.用含a的代数式表示这个三位数为______；
(3)请从A，B两题中任选一题作答.
A.用含a的代数式表示(2)中那个三位数的所有衍生数”，并说明它的所有“衍生数”的和能被22整除.
B.一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，请说明它的所有“衍生数”的和能被22整除.
答案以及解析
1.答案：D
解析：在多项式中，系数4、6的最大公约数为2，相同字母的最低次幂是，所以多项式多项式的公因式是.
故选：D.
2.答案：B
解析：A、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B、是与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；
C、是三项不能用平方差公式分解因式；
D、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式.
故选：B.
3.答案：B
解析：
，
故选：B.
4.答案：D
解析：
一定能被8整除.
故选D.
5.答案：B
解析：A、不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是因式分解，故此选项符合题意；
C、不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：B.
6.答案：C
解析：可以因式分解成，，，或，，则或.故选C.
7.答案：D
解析：①，①错误；
②，②错误；
③，③正确，
故选D.
8.答案：B
解析：a、b、c、为的三边长，
，
，
，
，
是等腰三角形.
故选：B.
9.答案：C
解析：当M是完全平方式的中间项时，，所以，当是完全平方式的中间项时，，所以.综上，符合题意的M有3个.
10.答案：D
解析：，，，，，，即.故选D.
11.答案：-3
解析：因为，所以，，则.
12.答案：198
解析：.
13.答案：
解析：
14.答案：12
解析：，，
，
故答案为：12.
15.答案：
解析：因为(m为任意实数),所以,所以.
16.答案：.
，，原式.
17.答案：设另一个因式为，得，
则，
，解得，
另一个因式为，k的值为20.
18.答案：见解析
解析：设原多项式为（其中a、b、c均为常数，且）.
，
，；
又，
.
原多项式为，将它分解因式，得
.
19.答案：能.理由如下：
.
能被45整除，
能被45整除.
20.答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：(1)设，，代入原式，
则原式，
把M、N还原，即得：
原式
，
故答案为：；
(2)原式
，
故答案为：；
(3)设，则
原式
把还原，得
原式，
故答案为：.
21.答案：(1)78，79，87，89，97，98
(2)
(3)见解析
解析：(1)任选其中两个数字组成的所有两位数分别是78，79，87，89，97，98
(2)略
(3)A.(2)中三位数的所有衍生数为：
，，，，，
它们的和为：
因为a为正整数，所以也是正整数，
所以它的所有“衍生数”的和可以被22整除
B.设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，
且a，b，c为小于10的互不相等的整数.
这个三位数所有衍生数的和为：
因为a，b，c均为正整数，所以是正整数.所以能被22整除，
即它的所有“衍生数”的和可以被22整除.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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