2023届崇明区高三二模考试数学试卷
2023.04
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．若不等式，则x的取值范围是 ．
2．设复数z满足（i为虚数单位），则 ．
3．已知集合，，若，则实数 ．
4．已知函数，的最小正周期为1，则 ．
5．已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ．
6．在的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
7．以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的第80百分位数是 ．
8．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．
气温（℃） 14 12 8 6
用电量（度） 22 36 34 38
由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为 ℃．
9．已知抛物线上的两个不同的点A、B的横坐标恰好是方程的根，则直线AB的方程为 ．
10．在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 ．
11．设平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是 ．
12．若函数的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】
13．下列函数在其定义域上既是严格增函数，又是奇函数的是
A．； B．； C．； D．．
14．设两个正态分布和的正态密度函数图像如图所示，则
A．， B．， C．， D．，
15．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在堑堵中，，且．下列说法错误的是
A．四棱锥为“阳马”；
B．四面体为“鳖臑”；
C．四棱锥体积的最大值为；
D．过A点作于点E，过E点作于点F，则平面AEF．
16．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…在，之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则
A．当时，数列严格减； B．当时，数列严格增；
C．当时，数列严格减； D．当时，数列严格增．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）
如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为20π，，．
（1）求直线与平面ABP所成角的大小；
（2）求点A到平面的距离．
18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）
在△ABC中，a、b、c分别是内角A，B，C的对边，，，．
（1）求角B大小；
（2）设，当时，求的最小值及相应的x的值．
19．（本题满分15分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分5分）
某校工会开展健身健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信运动步数信息，下图是职工甲和职工乙微信运动步数情况：
（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信运动步数都不低于10000的概率；
（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信运动步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信运动步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
20．（本题满分17分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分）
已知椭圆Γ：，点A、B分别是椭圆Γ与y轴的交点（点A在点B的上方），过点且斜率为k的直线l交椭圆Γ于E、G两点．
（1）若椭圆Γ焦点在x轴上，且其离心率是，求实数m的值；
（2）若，求△BEG的面积；
（3）设直线AE与直线交于点H，证明：B、G、H三点共线．
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）
已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
（1）若，，求实数a的取值范围；
（2）证明：方程至多只有一个实根：
（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．
2023届崇明区二模数学参考答案
一、填空题
1． 2． 3．0； 4．2π； 5．4； 6．45； 7．90.5；
8．40；
9．
10．①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；
11．；
12．
11．【答案】
【解析】由题意得因为，，
设，，，得到，
又因为，所以可以另，得终点轨迹在小圆上所以，所以．
12．【答案】
【解析】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点．
由时，；得其关于原点对称后的解析式为．
问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，
化简得，即与在上有两个交点．
对于，求导，令，解得：，
即：当时，单调递增；
令，解得：．
即：当时，单调递减，
∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像：
欲使与在时有两个交点，则，即．
二、选择题
13．D； 14．A； 15．C； 16．D；
15．【答案】C
【解析】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵中，，侧棱平面ABC，
A选项，∴，又，且，则BC⊥平面，∴四棱锥为“阳马”，故A正确；
B选项，由，即，又且，
∴平面，∴，则为直角三角形，
又由BC⊥平面，得为直角三角形，山“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，
∴四面体为“鳖膈”，故B正确；
C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，
，最大值为，故C错误；
D选项，因为，，，所以平面AEF，故D正确；
故选：C
16．【答案】D
【解析】数列是各项为正数的等比数列，则公比为，
由题意，得
时，，有，，数列单调递增，A选项错误；
时，，，若数列单调递增，则，即，由，需要，故B选项错误；
时，，解得，
时，，由，若数列单调递减，则，即，而不能满足恒成立，C选项错误；
时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确．
故选：D
三、解答题
17．【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由题意知，直线与平面ABP的夹角，即为，
易知，，又，故，进而有，，
由圆柱的表面积为，可得，
故，故直线与平面ABP的夹角为．
（2）设点A到平面的距离为h，
则，，
，
因为平面ABP，，
所以BP⊥平面，即，
在中，，
故，
所以，即点A到平面的距离为．
18．【答案】（1）；（2）当时，有最小值－2．
【解析】
（1）由已知条件得，
由正弦定理得，
即，，
则，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）
，
∵，
∴，，
则的最小值－2，其中，即当时，有最小值－2．
19．【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）3月3日
【解析】
（1）令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，
从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，
甲乙微信记步数都不低于10000，
故．
（2）由（1）知：，1，2，
，，，
X的分布列为：
X 0 1 2
P
（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在，，，，（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，
人，人，人，
由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，
根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日．
由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，
根据折线图知：只有3月3日和3月6日，
所以3月3日符合要求．
20．（1） （2）； （3）略；
21．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）由题意知，，故，在恒成立，解得：
（2）令，故，即函数是严格减函数，故至多只有一个实根；
（3）设的最大值为M，最小值为m
在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值
设，
因为函数是周期为2，且，
则
若，则成立
若，可设，则
所以成立
综上可知，对任意实数，都成立，原式得证．
