2023届高考数学小题狂刷卷： 空间的垂直关系
一、选择题（共20小题）
1. 已知 ， 是互不垂直的异面直线，平面 ， 分别经过直线 ，，则下列关系中不可能成立的是
A. B. C. D.
2. 下列命题正确的是
A. 平面 内的一条直线 垂直于平面 内的无数条直线，则
B. 若直线 与平面 内的一条直线平行，则
C. 若平面 ，且 ，则过 内一点 与 垂直的直线垂直于平面
D. 若直线 与平面 内的无数条直线都垂直，则不能说一定有
3. 设 ， 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，则以下结论正确的是
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则
4. 已知平面 与平面 相交，直线 ，则
A. 内必存在直线与 平行，且存在直线与 垂直
B. 内不一定存在直线与 平行，不一定存在直线与 垂直
C. 内不一定存在直线与 平行，但必存在直线与 垂直
D. 内必存在直线与 平行，不一定存在直线与 垂直
5. 已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则
6. 已知 ，．下列结论中正确的是
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
7. 已知 ，，若 ，则下列结论正确的是
A. 或 B.
C. D.
8. 过直线 外的两点作与 平行的平面，则这样的平面
A. 不可能作出 B. 只能作一个
C. 能作出无数个 D. 以上情况都有可能
9. 空间四边形 的四边相等．则它的两对角线 ， 的关系是
A. 垂直且相交 B. 相交但不一定垂直
C. 垂直但不相交 D. 不垂直也不相交
10. 在正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，给出下列四个推断：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中推断正确的序号是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
11. 设 ，，， 均为实数，记关于 的两个方程 与 的解集分别为 ，，则“”是“”的
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
12. 设 ，则“”是“”的
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
13. 设 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则
14. 设 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 ，，则 ；②若 ，，，则 ；③若 ，，则 ；④若 ，，则 ．其中正确命题的序号是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
15. 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，则“”是“ 为锐角”的
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
16. 如图，在正方体 中，， 分别为 ， 的中点，则下列直线中与直线 相交的是
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
17. 已知 ， 是两条直线，，， 是三个平面，则下列命题正确的是
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，，则
D. 若 ，，则
18. 空间中直线 和三角形的一边 及另一边 的中线同时垂直，则这条直线和三角形的第三边 的位置关系是
A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 不确定
19. 若 ，， 是互不相同的空间直线，， 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则
20. 设 ， 是空间中不同两条直线，， 是空间中两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的是
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，，则
D. 若 ，，，，则
二、填空题（共6小题）
21. ， 是两个不同的平面，， 是 ， 之外的两条不同直线，给出以下四个论断：① ；② ；③ ；④ ．
以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论写出你认为正确的一个命题是： （填写一个即可）．
22. 如果空间四边形的两条对角线相互垂直，那么顺次连接四边中点的四边形一定是 ．
23. 代数式 中省略号“”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令 ，则 ，则 ，取正值得 ，用类似方法可得 ．
24. 在正方体 中， 是底面 的中心，，，， 分别是 ，，， 的中点，请写出一个与 垂直的平面： ．
25. 已知 ， 是平面 外的两条不同直线．给出三个论断：① ；② ；③ ．以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题（论断用序号表示）： ．
26. 已知 垂直于正方形 所在平面，连接 、 、 、 、 ，则下列垂直关系中正确的序号是 ．
① ② ③
三、解答题（共8小题）
27. 如图， 是 的直径， 垂直于 所在的平面， 是圆周上异于 ， 的任意一点，求证：．
28. 已知矩形 ，，，点 是 的中点．求证：．
29. 如图，正方体 的棱长为 ， 是 的中点， 是 上一点，且 ， 与 交于 ．
（1）求证：．
（2）求点 到平面 的距离．
30. 已知正方体 是棱长为 的正方体， 是棱 的中点，过 ，， 三点作正方体的截面，作出这个截面图并求出截面的面积．
31. 如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 垂直于底面，， 分别是 ， 的中点，．求证：
（1）；
（2）．
32. 在如图所示的空间几何体中，，，，， 都是等边三角形．
（1）证明：．
（2）已知 ，求四棱锥 的高．
33. 有一根旗杆 高 米，它的顶端 挂一条长 米的绳子，拉紧绳子并分别把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上），．如果这两个点和旗杆脚 的距离都是 米．那么旗杆就和地面垂直．为什么
34. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，， 是 的中点，已知 ，，，求：
（1）三角形 的面积；
（2）三棱锥 的体积．
答案
1. C
【解析】若 ，则 垂直于面 内的任意一条直线，则 ，与已知条件矛盾．
2. D
【解析】A项，平面 内的一条直线 垂直于平面 内的任意一条直线，则 ，故A错误；
B项，直线 与平面 内的一条直线平行，也可能 ，故B错误；
C项，平面 ，且 ，则过 内一点 与 垂直的直线，只有当此直线在 内时才垂直于 ，故C错误；
D项， 与平面 内的任意一条直线都垂直可以推出 ，故D正确．
3. C
4. C
【解析】如图，
若平面 内的直线与 ， 的交线 平行，则有 与之垂直，但在 内不一定有与 平行的直线，只有当 时才存在．
故选C．
5. B
【解析】A．若 ，，则 ， 相交或平行或异面，故A错；
B．若 ，，则 ，故B对；
C．若 ，，则 或 ，故C错；
D．若 ，，则 或 或 ，故D错．
6. D
【解析】A选项：若 ，则 或 ，故A错误；
B选项：若 ，则 或 与 相交，故B错误；
C选项：若 ，则 与 相交，故C错误；
由面面垂直判定定理得，D选项：因为 ，若 ，则 ．
故选D．
7. A
【解析】对于A，，，则 或 ，A正确；
对于B，，，且 ，则 或 与 相交或 与 异面，所以B错误；
对于C，，且 ，则 或 与 相交或 或 ，所以C错误；
对于D，，，且 ，则 或 与 相交或 与 异面，所以D错误．
8. D
9. C
10. A
【解析】因为在正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，，
所以 ，故①正确；
因为 ， 与平面 相交，
所以 与平面 相交，故②错误；
因为 ，， 分别是 ，， 的中点，
所以 ．
因为 ，，
所以 ，故③正确；
因为 与平面 相交，
所以平面 与平面 相交，故④错误．
11. B
12. B
13. B
【解析】直线垂直于一个平面的两条相交直线，直线才和平面垂直，
所以 A 不正确；
若直线垂直平面，则和直线平行的直线也垂直于这个平面，
所以 B 正确；
和一个平面都平行的两条直线可能平行或异面或直线相交，
所以 C 不正确；
垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能相交，
所以 D 错误．
14. A
15. A
16. D
【解析】根据异面直线的概念可看出直线 ，， 都和直线 为异面直线； 和 在同一平面内，且这两直线不平行．
所以直线 和直线 相交，即选项D正确．
17. C
18. B
19. C
【解析】对于选项C，若 ，则在 内必有直线 与 平行，从而 ；于是 ．
20. D
【解析】对于A，由 ，，，可得 或 与 相交或 与 异面，故A错误；
对于B，由 ，，可得 或 ，故B错误；
对于C，由 ，，，可得 或 ，故C错误；
对于D，由 ，，，，得 ，故D正确．
21. ①③④ ②或②③④ ①
22. 矩形
23.
24. 平面 （平面 、平面 、平面 均可，答案不唯一）
25. 若①③，则②（或若②③，则①）
26. ①②
【解析】易证 ，则 ：又 ，故 ，则 ．
27. 连接 ，，则 ，
因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
28. 由 ，得 ，
由 知 为等腰直角三角形，
又点 是棱 的中点，故 ．
由题意知 ，
又 是 在面 内的射影，
故 ，从而 ，故 ．
因 ，，
所以 ．
29. （1） 在正方形 中，
因为 ，且 ，
所以 ．
又 ，
所以 ，又 ，
所以 ．
（2） 由棱长为 可得，等腰 的面积 ，等腰 的面积 ，设所求距离为 ，即为三棱锥 的高．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
30. 如图所示，截面为 ．
．
31. （1） 因为 ，
所以 ．
又矩形 中，，且 ，
所以 ，
所以 ．
（2） 取 的中点 ，连接 ，，．
又因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 且 ，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ．
因为 ， 是 的中点，
所以 ，
所以 ，
因为 ，．
所以 ．
所以 ．
因为 ，
所以 ．
32. （1） 由题意知，， 都是等边三角形，
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，，，
则 ，，
又因为 ，，
所以 ，
同理 ，
所以 ，
又因为 ，， 都是等边三角形，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，，
所以 ．
（2） 分别取 ， 为 ， 的中点，连接 ，，，
因为 ，，
所以 ，，
由（）可知 ，且 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
过点 作 ，交 于点 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
故 为四棱锥 的高，
其中 ，，，
在 中，，
可得 ，
所以四棱锥 的高为 ．
33. 在 和 中，
因为 ，，，
所以 ，，
所以 ．
即 ，．
又因为 ，， 不共线，
所以 ，即旗杆和地面垂直．
34. （1） 易证 ，，
所以 ，
故 是一个直角三角形，
所以 ．
（2） 如图，设 的中点为 ，则 ，
而 ，
所以 为三棱锥 的高，
因此可求
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