东莞市第四高级中学2022-2023学年高一下学期第九次测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，已知，则（ ）
A．或 B． C． D．或
3．如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．，且，则在内（ ）
A．至少有一个实数根 B．至少有一实根 C．无实根 D．有唯一实数根
5．若， ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则
A． B． C． D．
7．如图，在矩形的，边上各取一点，沿将翻折到，点恰好在边上，且，记，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在R上的函数是奇函数，且，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
二、多选题
9．在下列选项中，正确的是（ ）
A．
B．
C．存在角α，β，使得sin（α+β）
A．3 B．2 C． D．
11．若，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知，函数的零点从小到大依次为，若），请写出所有的所组成的集合___________.
14．已知，，则的最小值为________．
15．已知，，且，，求角的值.
16．已知，则______.
四、解答题
17．已知．
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
18．已知向量，.
（1）当时，求的值；
（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求的取值范围.
19．如图，已知，且．
（1）求；
（2）设与交于点P，求的值．
20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
(1)求角B的大小；
(2)若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求面积的最大值．
21．某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.
（1）求的值；
（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？
22．已知函数，，为参数.
(1)为何值时，函数恰有两个零点；
(2)设函数的最大值与最小值分别为与，求函数的表达式及最小值.
参考答案：
参考答案：
1．C
2．C
3．D
4．D
5．A
6．A
7．D
8．A
9．BC
10．BC
11．BCD
12．BC
13．
14．
15．
16．
17．(1)；
(2)
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式把式子中的各角都化成角的三角函数，根据同角三角函数基本关系式即可达到化简的目的；
（2）由于是第三象限角，所以，由可得，根据同角三角函数的平方关系即可求得的值.
（1）
；
（2）
，，是第三象限角，，.
18．(1) ；(2)
【分析】（1）由共线向量的坐标运算化简可得，将化切后代入即可（2）利用向量的坐标运算化简，利用正弦定理求,根据角的范围求值域即可.
【详解】（1）∵，，且；
∴，
∴；
∴；
（2）∵
；
在中，由正弦定理得，
∴，
∴，或；
又∵，∴，
∴
，
∵，∴；
∴，
∴；
即的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标运算，三角恒等式，型函数的值域，属于中档题.
19．（1）-4；（2）.
【分析】（1）首先用基底表示向量和，再利用数量积公式计算；（2）由图象可知，等于向量和的夹角，代入向量的数量积夹角公式求.
【详解】解：（1），
则．
（2）等于向量和的夹角．
，
，
则．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理得，而代入化简可得，从而可求出角B的大小，
（2）由点D在边AC上，且AD=2DC，可得，平方化简后可得，再利用基本不等式可得，从而可求出面积的最大值
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得,
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以
（2）因为点D在边AC上，且AD=2DC，
所以
，
所以,
所以，即，
因为，所以，即，当且仅当时取等号，
所以面积为，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为
21．（1）；（2）年.
【解析】（1）设今年碳排放量为，则由题意得，从而可求出的值；
（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，则，再把代入解关于的不等式即可得答案
【详解】解：设今年碳排放量为.
（1）由题意得，
所以，得.
（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，
则，
将代入得，
即，得.
故至少再过年，碳排放量不超过今年碳排放量的.
22．(1)当，函数恰有两个零点；
(2)，
【分析】（1）化简得，令，转化为，求解两个零点时的情况即可；
（2）分类讨论当，，，时，不同情况下的解析式，并求出对应最值，即可得到答案
（1）
=，
令，，
所以，
因为在区间上单调递增，所以函数在区间上恰有两个零点等价于关于的二次方程在区间上有两个根，
而方程的根为，，
所以只需要解得，
即当时，函数在区间上恰有两个零点；
（2）
由（1）可知函数图象开口向上，而且对称轴为，由二次函数的性质可得：
当即时，，
此时；
当即时，，
此时；
当即时，，
此时；
当即时，，
此时；
综上所述，，，此时
【点睛】关键点睛：本题借助三角函数考查了三角函数与函数之间的转化，并利用函数思想来求解关于零点的问题，在计算最值时需要通过分类讨论对称轴的取值不同，来确定不同情况下的最大值与最小值
