高二数学3月份月考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线与平行，则系数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．
【详解】解：直线与直线平行，
，解得．
故选：．
2. 将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有（ ）
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 48种
【答案】B
【解析】
【分析】先分析小明的分配方法，再将另外3名志愿者全排列，由分步乘法计数原理计算可得答案．
【详解】志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方法，
将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有种分配方法，
根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有种．
故选：B．
3. 如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在点O建立空间直角坐标系．观察图像可知，借助向量坐标法求解即可.
【详解】以过点O且垂直于平面的直线为x轴，直线分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，
则根据题意可得，
所以，
设异面直线与所成角为，
则．
故选：A.
4. 若的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中项的系数为（ ）
A 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】求出的展开式中前三项的系数、、，由等差数列知识求出，再利用通项公式求出项的系数即可．
【详解】解：因为的展开式中前三项的系数、、成等差数列，
所以，即，解得或（舍，
所以二项式展开式的通项为，
令可得，所以的系数为．
故选：B．
5. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立，
即对任意恒成立，故，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A
6. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系.
【详解】令，则，
在上单调递增，，即，，
，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
（当且仅当时取等号），，
即（当且仅当时取等号），，即；
综上所述：.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系.
7. 已知双曲线的左，右焦点分别是，，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线上，且满足.若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断出是的角平分线，然后结合三角形的内心、重心以及双曲线的定义等知识求得双曲线的离心率.
【详解】因为，所以PH是的角平分线，
又因为点H在直线上，且在双曲线中，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，
设的内切圆与轴的切点为，
根据三角形内切圆的知识可知，则是双曲线的右顶点，
所以的内切圆圆心在直线，即点H是的内心，
如图，作出，并分别延长HP、、至点，使得
，可知H为的重心，
设，由重心性质可得，
即，
又H为的内心，所以，因为，
则，所以双曲线C的离心率.
故选：C
【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，解题有两个方向，一个是求得，从而求得双曲线的离心率；另一个是求得的关系式或的关系式，然后转化成离心率.
8. 已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，设，，由三角形相似得到，得到圆锥的表面积为，令，由导函数得到当时，圆锥的表面积取得最小值，进而得到此时与，作出圆锥的外接球，设外接球半径为，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表面积.
【详解】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为，
则，，
因为⊥，⊥，所以∽，则，
设，，
故，由得：，
由得：，
故，所以，，
解得：，
所以圆锥的表面积为，
令，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在时取得最小值，，
此时，，
设圆锥的外接球球心为，连接，设，
则，
由勾股定理得：，即，
解得：，故其外接球的表面积为.
故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，多是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 函数，以下说法正确的是（ ）
A. 函数有零点 B. 当时，函数有两个零点
C. 函数有且只有一个零点 D. 函数有且只有两个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导函数研究函数的单调性，进而得到函数的最值，根据零点存在定理求解即可.
【详解】，定义域，所以，
令解得，令解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
则的图象如图所示：
故A错误；
又当时，，所以从图像可得，当时，函数有两个零点，B正确；
恒成立，
所以在上单调递减，
又，，所以函数有且只有一个零点，C正确，D错误；
故选：BC
10. 2022年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
A. 小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
B. 小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
C. 小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
D. 小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概型的概率公及条件概率的求法，求小明到处和小华会合一起到老年公寓的概率，小明经过且从到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.
【详解】由图可知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
对于A，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即共走3步，其中1步向上，所以最短路径的条数为条，所以A错误，
对于B，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即共走7步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以B正确，
对于C，小明到的最短路径走法有条，再从处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有35条，所以到处和小华会合一起到老年公寓的概率为，所以C正确，
对于D，由题意知：事件的走法有18条，即，事件，所以，所以D正确.
故选:BCD
11. 圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（ ）
A. 以AB为直径的圆必与准线l相切于M点
B. 为定值4
C. 为定值
D. 有最小值
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解.
【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为
证明如下：
由于点在抛物线上，
则，
联立
即，，
所以抛物线在其上一点
处的切线方程为
设，，设直线AB的方程为，
联立消去x得，
根据根与系数的关系可得，
又抛物线在点A处的切线方程为，即
同理可知，抛物线在点B处的切线方程为，
由题意知，，
直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，
，
所以，，即点M在以AB为直径的圆上，
联立，
解得，
所以点M的横坐标为，
所以点M在抛物线的准线上，即以AB为直径的圆必与准线l相切于M点，
故A正确;
当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 M为抛物线的准线与x轴的交点，
此时，则，，
又此时，则为定值4，
当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为，
直线MF的斜率为，
，
则，在中，，
又以AB为直径的圆与准线l相切于M点，
设以AB为直径的圆的圆心为，即得，
则点M坐标为，
则，
故B正确;
，
故C正确;
由题意知，，
则
又根据题意知，则无最小值.
故D错误.
故选：ABC.
12. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得，，结合条件中，，从而在各直角三角形中得到的正余弦表示，对选项逐一分析判断即可.
【详解】因为在矩形中，，
又，，面，所以面，
又面，所以，
因为在矩形中，，所以，即，
因为，，，面，
所以面，
又在矩形中，，所以面，
又面，所以，
同时，易知在矩形中，，
对于A，在中，，
在中，，
在中，，
所以，故A正确；
对于B，在中，，
在中，，
又，且在中，为的斜边，则，
所以，故B错误；
对于C，在中，，
在中，，
又，
所以，故C正确；
对于D，在中，，
又，，，
所以，
所以，即，故D正确
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题的突破口是利用线面垂直的判定定理与性质定理证得，，从而得到的正余弦表示，由此得解.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 等比数列中，，公比，则__________.
【答案】54
【解析】
【分析】根据等比数列的定义和性质即可得出的值.
【详解】根据等比数列的定义和性质可知，
则.
故答案为：54.
14. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由全概率公式即可处理.
【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应
）则,且两两互斥.
由题意可得：,
15. 设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而得解.
【详解】设，则，
因为，
所以，即是上的减函数，
又，
故可化为，即，
所以，
所以所求不等式解集为．
故答案为：．
16. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】原式变形得，构造，采用数形结合法，结合导数的几何意义即可求解.
【详解】变形得，即，
构造，易知为单减函数，，要使恒成立，
即恒在上方或恰有公共交点，如图：
由图可知时显然不成立，当时，与恰有一共切点时，临界条件，
设共切点为，，，
则满足，整理得，即或（舍去），
当时，，解得，显然要使恒成立，即.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 等差数列各项均为正数，，前n项和为，等比数列中，，且．
（1）求与；
（2）证明：．
【答案】（1）;
（2）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项列出方程组，解出公差和公比，从而求得数列的通项公式；
（2）先求出等差数列求和公式求得，再利用裂项相消法求和，从而证得结果．
【小问1详解】
设公差为，公比为，
则，
解得或（舍去），
则；
【小问2详解】
由（1）得，
则，
则，
则
.
18. 已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数在的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在的导数值，即切线斜率；代入直线的点斜式方程即可；（2）利用导数判断出函数在上的单调性，求出极大值和极小值，再分别求出端点处的函数值比较即可得出其最大值和最小值．
【小问1详解】
易知，函数的定义域为；
所以，则切点为
又，
则在点处的切线斜率，
所以，切线方程为，整理可得
即函数在点处的切线方程为.
【小问2详解】
由（1）可知，当时，，在上单调递减；
或时，，在或上单调递增；
函数在上的单调性列表如下：
1 3
极大值 极小值
所以，的极大值为，极小值为；
又，；
综上可得，函数在上的最大值为，最小值为
19. 某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：
X 0～6 7 8 9 10
P 0 0.2 0.3 0.3 0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.
（1）求该运动员两次都命中7环的概率；
（2）求的分布列；
（3）求的数学期望．
【答案】（1）0.04；
（2）分布列见解析； （3）9.07.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式计算作答.
（2）求出的所有可能值，再依次求出各个值对应的概率列出分布列作答.
（3）由（2）的分布列，求出的数学期望作答.
【小问1详解】
依题意，该运动员两次都命中7环的概率为.
【小问2详解】
的可能取值为7，8，9，10，
，，
，
所以分布列为：
7 8 9 10
P 0.04 0.21 0.39 0.36
【小问3详解】由（2）知，的数学希望为.
20. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠ABC=，AB=AP=2，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点.
（1）若G是直线PC与平面AEF的交点，试确定的值；
（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，求三棱锥C-EFG体积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）取BC的中点M，连接AM，分别以AM，AD，AP，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求得平面AEF的一个法向量，由求解；
（2）设，由，求得，先求得，再由求解.
【小问1详解】
解：取BC中点M，连接AM，则AM⊥AD，分别以AM，AD，AP，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，
设，
则
设平面AEF的一个法向量为，
则，所以，取，
易知，所以，
解得，此时；
【小问2详解】
设，则
则，
整理得，解得或（舍去），
，，设平面PCD的一个法向量为，
则， 所以，
取，又，
则点E到平面PCD的距离即点E到平面PFG的距离为
，
由已知条件，在PCD中，PC=PD=，CD=2，可得
所以，
.
因为，
所以.
21. 如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为 ，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意得到离心率，再结合距离公式即可得：，所求椭圆的方程为：.（2）易得直线的方程：，用点差法得到，设直线的方程为：，与椭圆方程联立得，由得到的取值范围；由弦长公式，点到直线的距离表示出面积，即可求出直线的方程．
试题解析：（1）由题：；
左焦点到点的距离为： .
由 可解得：.
所求椭圆的方程为：.
（2）易得直线的方程：，设.其中.
、椭圆上，
.
设直线的方程为：，
代入椭圆：.
显然.
且.
由上又有：.
.
点到直线的距离为：.
，
当且仅当时，三角形的面积最大，此时直线的方程.
考点：1、椭圆的性质；2、中点弦问题；3、最值问题．
【技巧点晴】本题考查的是椭圆的定义和性质、直线与圆锥曲线的位置关系、最值等综合知识，属于难题；圆锥曲线中有关三角形面积问题，解决方法一般有两种：第一种是利用公式求出弦长，表示出点到弦长所在直线的距离，用求面积；第二种是以轴（或者轴）为界，把三角形分成两部分，利用（或者），其中为三角形被轴（或者轴）解得的线段长度．
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，，且，求的取值范围.
【答案】（1）答案见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论即可求解；
（2）结合函数极值与导数零点关系进行转化后，结合题目特点进行合理的构造，然后结合导数与单调性关系即可求解.
【小问1详解】
因为函数，则，，
令，则，
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增，
②当时，即时，
令，得或，
∴在和上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
【小问2详解】
由（1）得，当时，有两极值点，，
由（1）得，为的两根，所以，，
不妨设，因为，故，
易知在单调递减，故，
所以，
将代入化简可得：，
即原不等式等价转化为，
令，构造，
，故在时单调递增，又因为，
故要使得，仅需，即，
又因为，
故，由上可知，故，
故的取值范围是.
【点睛】方法点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.高二数学3月份月考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线与平行，则系数（ ）
A. B. C. D.
2. 将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有（ ）
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 48种
3. 如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
4. 若的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中项的系数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
6. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线的左，右焦点分别是，，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线上，且满足.若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，多是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 函数，以下说法正确的是（ ）
A. 函数有零点 B. 当时，函数有两个零点
C. 函数有且只有一个零点 D. 函数有且只有两个零点
10. 2022年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
A. 小华到老年公寓选择最短路径条数为4条
B. 小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
C. 小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
D. 小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
11. 圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（ ）
A. 以AB为直径的圆必与准线l相切于M点
B. 为定值4
C. 为定值
D. 有最小值
12. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 等比数列中，，公比，则__________.
14. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为__________．
15. 设是定义在上函数，其导函数为，若，，则不等式的解集为________．
16. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是_____.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 等差数列各项均为正数，，前n项和为，等比数列中，，且．
（1）求与；
（2）证明：．
18. 已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数在的最大值和最小值．
19. 某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：
X 0～6 7 8 9 10
P 0 0.2 0.3 0.3 02
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.
（1）求该运动员两次都命中7环的概率；
（2）求的分布列；
（3）求数学期望．
20. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠ABC=，AB=AP=2，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点.
（1）若G是直线PC与平面AEF的交点，试确定的值；
（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，求三棱锥C-EFG体积.
21. 如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为 ，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，，且，求的取值范围.
