2023年江西省九江市高考数学二模试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3. 已知实数，满足条件，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4. 已知命题：，，若为假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5. 已知，，则( )
A. B. C. D.
6. 执行下边的程序框图，如果输入的是，，输出的结果为，则判断框中“”应填入的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知变量的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下由表可得线性回归方程，则( )
A. B. C. D.
8. 如图，正方体的棱长为，是面内一动点，且，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
9. 青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同长度为的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁若筷子的中点离桌面的最小距离为，则该抛物线的通径长为( )
A. B. C. D.
10. 在中，三内角，，所对的边分别是，，，已知，当取最小值时，的面积为( )
A. B. C. D.
11. 已知双曲线的左右焦点分别为，，双曲线左支上一点，且，点关于直线对称的点在轴上，则的离心率为( )
A. B. C. D.
12. 设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的展开式中，常数项是______．
14. 已知非零向量，满足，且，则，的夹角为 ．
15. 函数的所有零点之和为 ．
16. 根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等如图所示，一个容器是半径为的半球，另一个容器是底面半径和高均为的圆柱内嵌一个底面半径和高均为的圆锥，这两个容器的容积相等若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同如图，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为 注：
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，记．
求的通项公式；
求前项和的最值．
18. 本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，为棱的中点．
求证：平面；
在棱上是否存在异于点的一点，使得与平面所成的角为？若存在，求出的值若存在，请说明理由．
19. 本小题分
现有编号为至号的黑色、红色卡片各一张从这张卡片中随机抽取三张，若抽取的三张卡片的编号和等于且颜色均相同，得分；若抽取的三张卡片的编号和等于但颜色不全相同，得分；若抽取的三张卡片的编号和不等于，得分．
求随机抽取三张卡片得分的概率；
现有甲、乙两人从中各抽取三张卡片，且甲抽到了红色号卡片和红色号卡片，乙抽到了黑色号卡片，求两人的得分和的分布列和数学期望．
20. 本小题分
如图，已知椭圆的离心率为，直线与圆相切于第一象限，与椭圆相交于，两点，与圆相交于，两点，．
求椭圆的标准方程；
当的面积取最大值时为坐标原点，求直线的方程．
21. 本小题分
已知函数，．
若直线与曲线相切，求的值；
用表示，中的最小值，讨论函数的零点个数．
22. 本小题分
在直角坐标系中，已知直线的方程为，曲线的参数方程为为参数以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；
设直线与曲线相交于点，，与直线相交于点，求的最大值．
23. 本小题分
已知函数．
若的最小值为，求的值；
若恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
在两边乘以即可求出，进而求出即可．
本题考查了复数的乘法运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，或，
或．
故选：．
求解函数定义域化简，再由补集与交集运算得答案．
本题考查交、并、补集的混合运算，考查函数定义域的求法，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由约束条件可得可行域的区域，如图所示，
因为，可转化为，平移直线，
结合图像可得，当直线过点时，取得最大值，
且，解得，即点，
所以．
故选：．
根据题意，作出可行域，结合图像可知，当经过点时，最大，即可得到结果．
本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为命题：，，
所以：，，
又因为为假命题，所以为真命题，
即，恒成立，
所以，即，
解得．
故选：．
先由为假命题，得出为真命题，即，恒成立，由，即可求出实数的取值范围．
本题主要考查了符合命题真假关系的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，且，
，，
，
．
故选：．
根据题意，将原式两边平方结合二倍角公式即可求得，再求出．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据程序框图，输入，，则，满足循环条件，，，满足循环条件，，，，
不满足循环条件，输出结果．故A，，D错误．
故选：．
利用程序框图的循环结构，不断循环直到满足为止．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由表格数据知，即样本中心点为，
由，得，
即，
所以，即，可得，
故选：．
根据样本中心点在回归方程上可得，再利用对数运算法则即可得，所以．
本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，易知平面，
，平面，即在线段上，
将沿着展开，使得，，，四点共面，如图，
又因为正方体的棱长为，故此时，
由平面内二点间的直线距离最短得，
故选：．
先由确定在线段上，再将沿着展开，使得，，，四点共面，由平面内二点间的直线距离最短求解即可．
本题考查了空间中两点间距离的最值问题，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线的方程为，焦点，
设，，
设线段中点为，
，，，
可得，
由题意瓷碗底座高为，筷子的中点离桌面的最小距离为，
可知，的最小值为，，，
该抛物线的通径长为，
故选：．
设出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合图形，转化求解，然后求解抛物线的通径长．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：由正弦定理得，即，
，即，
，
，故A，为锐角，
又，仅当时等号成立，
三角形内角最小时，取最小值，此时，
为等腰三角形，，，
．
故选：．
由正弦边角关系、三角形内角性质、正切和角公式可得，即，为锐角，利用基本不等式得最小时最小值，即知为等腰三角形，应用三角形面积公式求面积即可．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设点关于直线对称的点为，连接，
则为正三角形，，
又，，，
由双曲线的定义知，
解得，
故选：．
根据题意，由双曲线的定义结合离心率的计算公式，即可得到结果．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：将用变量替代，则，，，其中，易证，
令，则，，
，，
，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
又，，，在上单调递增，
，即，，
综上，．
故选：．
可将用变量替代，从而得出，，，其中，可看出，从而得出令，则得出，，可得出，使得，再根据，即可得出在上恒成立，从而得出在上单调递增，从而得出，进而得出，从而得出，，的大小关系．
本题考查了基本初等函数的求导公式，根据导数符合判断函数单调性的方法，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：的展开式中，通项公式为，令，求得，
可得展开式中常数项为，
故答案为：．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设向量，的夹角为，
，且，
，即，
又，．
故答案为：．
可设的夹角为，进行数量积的运算可得出，从而可求出的值，进而求出的值．
本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：令，得，
令，，
可知的周期，对称轴，，
且的对称轴，
作出和的图象如图所示：
显然，在和上各存在一个零点，
在处的切线为轴，在上存在零点，
同理在上存在零点，所以在上存在个零点，
因为和的函数图象关于对称，则零点关于对称，
所以的所有零点之和为．
故答案为：．
将零点问题转换成，两个函数的交点问题，作图即可求出零点，且和的函数图象关于对称，零点也关于对称，即可求出所有零点之和．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设铁球沉到容器底端时，水面高度为，
由图可知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，
由图知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于相应圆柱的体积，
故容器内水的体积等于相应圆台的体积，
容器内水的体积为，
相应圆台的体积为，
--，解得．
故答案为：．
利用祖暅原理，可得--，求解即可．
本题考查空间几何体的体积，考查转化能力，属中档题．
17.【答案】解：，，
，，成等比数列，，
即，
化简得，
由解得或舍去，
．
由，
可知
，
设的前项和为，
，
当为偶数时，，单调递增，，
当为奇数时，，单调递减，，
前项和的最大值为，最小值为．
【解析】求出数列的首项与公差，然后求解通项公式即可．
化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，推出数列前项和的最值即可．
本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法，数列的应用，是中档题．
18.【答案】解：证明：平面，平面，
，
，
由已知得，，
，同理可得，
，即，
又，，平面，
平面，
连接，，，，
，
平面，
，
以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系，
则，
设，则，
，
由知平面的一个法向量为，
，
化简得，解得或舍去，
故在棱上存在异于点的一点，使得与平面所成的角为，且．
【解析】根据题意，分别证明，，结合线面垂直的判定定理即可证明；
根据题意，连接，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算结合线面角的求法即可得到结果．
本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量研究线面角问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：三张卡片编号和等于有种可能，分别为：，，，
其中，三张卡片编号均不同的情况共有：种，
有两张卡片编号相同的情况共有：种，
设“随机抽取三张卡片得分为分”为事件，
，
即随机抽取三张卡片得分的概率为；
得分和的可能值为，，，，，
若，则甲乙各得分，
即甲为红红红，乙为黑黑黑，有种情况，
，
若，则甲得分乙得分，
即甲为红红红，乙为黑红黑有种情况，
；
若，则甲得分乙得分或乙得分甲得分，
若甲得分乙得分，则甲为红红红，对应乙有种情况：黑黑黑，黑黑红，黑黑黑，黑红黑，
若乙得分甲得分，则乙为黑黑黑，对应甲有种情况：红红红，红黑红，
；
若，则乙得分甲得分，
即乙为黑红黑，对应甲有种情况：红黑红，红黑红，
；
若，则甲和乙均得分，
，
得分和的分布列为：
．
【解析】先研究三张卡片编号和等于的情况，然后根据对立事件之间的概率关系得出所求概率；
得分和的可能值为，，，，若，则甲乙各得分；若，则甲得分乙得分；若，则甲得分乙得分或乙得分甲得分；若，则乙得分甲得分；若，则甲和乙均得分．根据以上分析求出对应概率，进而得到的分布列及数学期望．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
20.【答案】解：依题意得，，
又，，，
，，，
椭圆的标准方程为；
依题意可设直线的方程为，，，
直线与圆相切，，即，
联立方程组消去整理得，
，，
，，即，
当且仅当即时取等号，此时，
直线的方程为，即．
【解析】根据和离心率的定义求出、，即可求解；
设直线的方程为，，，根据直线与圆的位置关系可得将直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，结合弦长公式化简计算可得，由基本不等式计算可得，当且仅当时取等号，求出即可求解．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：设切点为，
，，得，
直线与曲线相切，
，得，，
；
当时，，，在上无零点；
当时，，．
若，，此时，是的一个零点，
若，，此时，不是的零点；
当时，，此时的零点即为的零点．
令，得，令，则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，且当时，，
若，即时，在上无零点，即在上无零点；
若，即时，在上有一个零点，即在上有一个零点；
若，即时，在上有两个零点，即在上有两个零点；
若，即时，在上有一个零点，即在上有一个零点．
综上所述，当或时，在上有唯一零点；
当或时，在上有两个零点；
当时，在上有三个零点．
【解析】设切点为，由题意列关于与的方程组，求解得答案；
当时，，在上无零点；当时，，，然后根据与的大小分析；当时，，此时的零点即为的零点．令，得，令，利用导数求最值，再对分类分析得答案
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查分类讨论思想，属难题．
22.【答案】解：由极坐标与直角坐标的关系：，代入，
可得，即有；
曲线的参数方程为为参数，可得，
即曲线的普通方程为；
解法一：直线的极坐标方程为，
设，则，，
由，极坐标与直角坐标的关系：，
可得曲线的极坐标方程为，
所以，
则；
又，即有，
所以，
则的最大值为．
解法二：联立方程组解得其中，
所以，
联立方程组解得，
所以，
，
令，则，
当且仅当，即时取等号，
即的最大值为．
【解析】由极坐标与直角坐标的关系可得直线的极坐标方程；由同角的基本关系式可得曲线的普通方程；
方法一、由直线的极坐标方程，曲线的极坐标方程，结合三角函数的恒等变换和正弦函数的最值，可得所求最大值；
方法二、分别联立直线和曲线的普通方程、直线的直角坐标方程求得交点，由两点的距离公式，结合基本不等式可得所求最大值．
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，解得或．
令，依题意恒成立，即恒成立．
当且时，，
要使恒成立，则必须，即，
当时，
，，
综上所述，的取值范围是．
【解析】通过绝对值三角不等式，转化求解最小值，然后求解的值．
利用不等式恒成立，转化为函数的最值，通过去掉绝对值符号，结合函数的图象，求解即可．
本题考查绝对值不等式的应用，不等式恒成立问题的应用，函数的最值的求法，考查数形结合的应用，是中档题．
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