沪科版八年级数学下册 第十八章 勾股定理 单元自测题
一、单选题
1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
2．的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（ ）
A． B． C． D．
4．下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C．：：：： D．，
5．如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，，，以为边向下作等边，以为底边向上作等腰，当的长度变化时，与的面积差S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
6．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）.
A．90° B．150° C．135° D．120°
7．如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．22
8．如图，在中，，于点D，E是上一点，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形，如果一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10dm B．12dm C．13dm D．15dm
10．如图，长、宽、高分别为2，1，1的长方体木块上有一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题
11．中，，，点P为上一个动点，则的最小值为 .
12．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.
13．如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的长为 ．
14．如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 cm.
三、计算题
15．如图， 中， 于D．求 及 的长．
16．如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．
四、解答题
17．如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号）
18．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．
19．已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13，
求证：△ACD是直角三角形.
20．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
21．如图，直角梯形中，，，，过点B作于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
① （填“是”或“不是”）；
② （填“是”或“不是”）
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积.
23．定义：三角形一边上的点到三角形的另两条边的距离相等，称此点为这个三角形这边上的雅实心，如：
如图1，当点P在的边上时，若于点D，于点E，且，则称点P为的边上的雅实心，各边上的三个雅实心为顶点构成新三角形，叫做的雅实三角形.
（1）如图2，中，，，求边上的雅实心P到的距离.
（2）如图3，等边的边长为，求等边的雅实三角形的面积.
（3）如图4，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y轴上，且，，求的斜边上的雅实心P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得：，
∴，
即为直角三角形，故A选项不符合题意；
设，
∴，
即不为直角三角形，故B选项符合题意；
∵，
∴，
即为直角三角形，故C选项不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
即为直角三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理结合所给的条件判断出△ABC中最大内角的度数，若最大内角为90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断A、D选项；根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形是直角三角形，据此判断B、C两个选项.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
A、A代表的正方形的面积为；
B、B代表的正方形的面积为；
C、C代表的正方形的面积为；
D、D代表的正方形的面积为.
故答案为：A.
【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案．
4．【答案】C
【解析】【解答】解： A、 由 无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
B、 ，
，无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
C、 ： ： ： ： ， ，
最大角 ，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D、 ， ， ， ，
，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而只要找出三角形最大内角的度数，即可判断该三角形是不是直角三角形，据此判断A、B、C；根据勾股定理的逆定理，只需要判断一个三角形的较小两边的平方和是否等于最大边长的平方即可，据此可判断D.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：过点F作于点H，过点E作于G
∵是等等边三角形，，
∴， ，
∵等腰，，，
∴，都为等腰直角三角形，
∴，
设，则，，
∴
，
∵当的长度变化，则的长度变化时，S始终保持不变
∴，解得；
故答案为：A.
【分析】过点F作FH⊥AD于点H，过点E作EG⊥AD于G，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得AH、FH，易得△BEG、△DEG都为等腰直角三角形，则EG=BG=DG=b，设BC=x，则AB=a-x，CD=b-x，根据三角形的面积公式可表示出S△CDF-S△ABE，然后由面积之差不变就可得到a与b的关系.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图
设BD=x，则CD=8-x
在Rt△ADB中，由勾股定理得：；
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
则得方程：
解得：
即
∵，AD⊥BC
∴∠BAD=30°
∴∠ABD=90°-∠BAD=60°
∴∠BAC+∠C=180°-∠ABD=120°
∵BC>AC>AB
∴∠BAC>∠ABD>∠C
故最大角与最小角的和为120°
故答案为：D.
【分析】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ADB与Rt△ADC中，分别用勾股定理表示出AD2，从而建立方程，求解得出x的值，根据含30°角直角三角形性质的逆用可得∠BAD=30°，可得∠ABD=60°，进而根据大边对大角及三角形的内角和定理即可求出答案.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵a、b、c都是正方形，
∴，，
∵，
即，，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
即，故B正确.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得AC=CD，∠ACD=90°，根据同角的余角相等得∠BAC=∠DCE，从而用AAS判断出△ACB≌△CDE，根据全等三角形对应边相等得AB=CE，BC=DE，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2最后结合正方形的面积计算方法即可得出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：在中，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：B.
【分析】根据，求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，可得，再利用线段的和差求出EC的长即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD＝6dm，BD＝6+9＝15（dm），
AB＝ ＝3 （dm）；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，
AC＝6+6＝12（dm），BC＝9dm，AB＝ ＝15（dm），
③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得AB＝ ＝15（dm），
由于 ，
所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm.
故答案为：D.
【分析】①将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD＝6dm，BD＝6+9＝15（dm），利用勾股定理可得AB；②将长方体的正面和右面展开在同一平面内，同理求出AB的值；③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理求出AB的值，然后进行比较即可得到最短路程.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：展开图如下
∵AD=AC+CD=2+1=3，BD=1，
∴；
∵CB=1+1=2，AC=2
∴；
∵BE=2+1=3，BG=1，
∴；
∵，
∴它爬行的最短路程是.
故答案为：D
【分析】分情况讨论，分别求出展开后的矩形的边长分别为3，1，利用勾股定理求出其对角线的长，展开后的矩形的边长为2和2，利用勾股定理求出矩形的对角线的长，再比较大小，可作出判断.
11．【答案】
【解析】【解答】解：根据垂线段最短，当CP⊥AB时，CP取得最小值，
作AF⊥BC于F，
∵，
∴，
∴.
∴，
解得.
故答案为：.
【分析】根据垂线段最短，当CP⊥AB时，CP取得最小值，作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的三线合一得出BF的长，在Rt△ABF中，利用勾股定理算出AF，进而利用等面积法可求出CP的长.
12．【答案】8
【解析】【解答】解：如下图.
由题意得：米，米，，
∴折断的部分AB的长为：（米），
∴折断前高度为（米）.
故答案为：8.
【分析】根据勾股定理算出折断部分AB的长，再利用AB+BC即可算出折断前的高度.
13．【答案】
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理求出DC的长，再利用线段的和差求出AB的长即可。
14．【答案】15
【解析】【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长： ；
又∵圆柱高为，
∴小长方形的一条边长是；
根据勾股定理求得；
∴；
故答案为：15.
【分析】画出圆柱的展开图，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB，根据圆柱的底面半径可得底面周长，即为长方形的宽，由圆柱的高可得小长方形的一条边长，利用勾股定理求出AC、CD、DB的值，据此求解.
15．【答案】解： ，垂足为D，
．
在 中， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
，
．
在 中， ．
【解析】【分析】根据垂直的定义得出，利用三角形内角和求出∠CAB=30°，利用含30°角的直角三角形的性质得出，由勾股定理求出AD=3，先求出CD=BC-BD=11，再利用勾股定理求出AC的长即可.
16．【答案】解：连接FC，
∵△ABC和△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF=60°﹣∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，
∴EF=3，CE=5，
∴CE2=EF2+CF2，
∴∠CFE=90°
∵∠AFE=60°，
∴∠AFC=90°+60°=150°，
∴∠AEB=∠AFC=150°
【解析】【分析】连接FC，根据等边三角形的性质得出AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，求出∠BAE=∠CAF，证出△BAE≌△CAF，推出CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，求出CE2=EF2+CF2，推出∠CFE=90°即可求得．
17．【答案】解：∵CD是中AB边上的高，
∴△ACD和△BCD都是直角三角形.
在Rt△ACD中
∴，
∵，
∴，
在Rt△BCD中，
.
【解析】【分析】先求出 △ACD和△BCD都是直角三角形，再利用勾股定理求出AD=3，最后利用勾股定理计算求解即可。
18．【答案】解：因为AB=AD=8，∠A=60°，
所以△ABD为等边三角形，BD=8．
因为∠ADC=150°，∠ADB=60°，
所以∠BDC=90°．
因为四边形ABCD的周长为32，
所以BC+CD=32-2×8=16．
因为，
所以．
所以．
【解析】【分析】先求出△ABD为等边三角形，BD=8，再求出∠BDC=90°，结合四边形ABCD的周长为32，可得BC+CD=32-2×8=16，再根据，可得，最后求出即可。
19．【答案】证明：
∴△ACD是直角三角形.
【解析】【分析】利用勾股定理可求出AC的值，然后结合勾股定理逆定理进行证明.
20．【答案】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等.
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km.
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处.
【解析】【分析】由题意可得DE＝CE，根据垂直的概念可得∠A＝∠B＝90°，由勾股定理可得AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝xkm，则BE＝(25-x)km，代入求解可得x的值，据此解答.
21．【答案】（1）证明：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴（AAS）；
（2）解：∵，
∴，
在直角中：，
∴ ，
在直角中：．
【解析】【分析】（1）根据AAS证明△ADC≌△BEA；
（2）由全等三角形的性质可得，利用勾股定理求出AC的长，进而求出CE，再利用勾股定理求出BC即可.
22．【答案】（1）不是；是
（2）证明：∵是“勾系一元二次方程”，
∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，
∴
∵
；
∴关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）解：∵是“勾系一元二次方程”的一个根，
∴，
即，
∵四边形的周长是12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为.
【解析】【解答】解：（1）①不是“勾系一元二次方程”，
∵，
解得，
∵，
∴，
∴以a、b、c为三边长的三角形是不是直角三角形，
∴不是“勾系一元二次方程”
故答案为：不是；
②是“勾系一元二次方程”，
∵
∴，
∵，
∴，
∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，
∴是“勾系一元二次方程”，
故答案为：是；
【分析】（1）根据 “勾系一元二次方程” 的定义，找出a、b、c的值，进而根据勾股定理的逆定理判断以a、b、c为三边长的三角形是否是直角三角形，即可判断得出答案；
（2）根据 “勾系一元二次方程” 的定义知 以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，故可得c2=a2+b2， 再算出该方程根的判别式的值，利用整体替换及偶数次幂的非负性可得判别式的值一定不为负数，从而即可得出结论；
（3）根据方程根的概念可得 ，再结合四边形ACDE的周长是12可求出c的值，从而可得a+b的值，进而结合完全平方公式的恒等变形及勾股定理可求出ab=4，最后利用三角形面积计算方法即可求出答案.
23．【答案】（1）解：由题意可知，平分，又，
∴由等腰三角形的性质可得：AP⊥BC，
∴在中，由等面积法可：，
又由勾股定理有：，.
∴（）.
（2）解：可知三角形中，雅心点实则是角平分线与该角所对的三角形边的交点，
结合等腰三角形的三线合一性质，可知等边的雅实三角形是三角形的三条中位线构成的三角形，如图，
在等边中边长为，
∴等边中边上的高为，
∴，
故等边的雅实三角形的面积：
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即：，
点P在斜边上，作于E点，于F点，
由雅心点的性质可知，
由等面积法有：，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）由题意可知：PA平分∠BAC，根据等腰三角形的性质可得AP⊥BC，由勾股定理求出AP的值，然后根据等面积法进行计算；
（2）可知三角形中，雅心点实则是角平分线与该角所对的三角形边的交点，结合等腰三角形三线合一的性质，可知等边△ABC的雅实三角形是三角形的三条中位线构成的三角形，利用勾股定理求出高，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）根据点A的坐标可得OA=2，由含30°角的直角三角形的性质可得AB=2OA=4，利用勾股定理求出OB的值，由雅心点的性质可知PE=PF，根据等面积法求出PE，据此可得点P的坐标.
