2023年广西贵港市覃塘区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个实数中，最小的是( )
A. B. C. D.
2. 如图是一个正方体的表面展开图，若把展开图折叠成正方体，则“识”字一面的对面上的字是( )
A. 就 B. 是 C. 力 D. 量
3. 一种变异的新冠病毒有包膜呈圆形，其直径约纳米纳米米，将纳米用科学记数法表示为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移个长度单位、再向下平移个长度单位得到点，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
5. 如图，电路图上有个开关、、和一个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光下列操作中，使“小灯泡发光”是随机事件的是( )
A. 不闭合开关 B. 只闭合个开关 C. 只闭合个开关 D. 闭合个开关
6. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是( )
A. B. C. D.
7. 若一个边形的内角和为，则的值是( )
A. B. C. D.
8. 若一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 如图，是四边形的外接圆，点在的延长线上，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
10. 在一个不透明的袋中装有大小和质地都相同的个球，每个球上都写有一个汉字，分别为“少”“年”“强”“则”“国”“强”从中依次任意取出个球第次取出的球不放回袋中，则取出的个球上为“强”“国”两个汉字的概率是( )
A. B. C. D.
11. 已知二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，则以下结论错误的是( )
A.
B. 该二次函数的图象经过点
C.
D. 关于的方程无实数根
12. “赵爽弦图”是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理而构建的模型图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如图所示，若点恰好是的中点，的延长线与边交于点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 若的值为零，则的值为 ．
14. 因式分解______．
15. 如图，已知，，与相交，若，则的度数为 ．
16. 世纪，意大利学者吉罗拉莫卡尔达诺是第一个系统地推算概率的人，他最初研究的是“掷骰子”游戏中的概率问题若抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子每个面上分别刻有，，，点，则骰子着地一面的点数为偶数的概率为 ．
17. 如图，一个圆锥的母线与底面圆直径的夹角为，若该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则的值为 ．
18. 如图，已知正比例函数与反比例函数图象相交于，两点，矩形的两个顶点，均在轴上，且，则的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
如图，已知，求作尺规作图，仅保留痕迹：
线段的垂直平分线；的平分线．
在中，设与相交于点，连接，，若，则直线与的位置关系为 ．
22. 本小题分
在数学实践活动中，将一张平行四边形纸片进行折叠如图、所示，折痕为，点在边上，点落在点处．
如图，若点恰好落在边上，求证：四边形是菱形；
如图，若点是边的中点，且，，求的长．
23. 本小题分
某中学开展“弘扬中华传统文化”宣讲活动，为了解宣讲效果，学校政教处从八、九年级分别随机抽取名学生进行问卷测试满分：分，测试成绩均为整数，并将测试结果进行整理分析，请根据以下信息，解答下列问题：
抽取八年级名学生的测试成绩分别是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
抽取八、九年级学生测试成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数
八年级
九年级
直接写出表中，，的值；
补全条形统计图；
你认为该校八、九年级中哪个年级的测试成绩较好？请说明理由写出一条理由即可；
如果该校八、九年级共名学生都参加本次问卷测试，请你估计本次问卷测试成绩为满分的八、九年级学生共有多少人？
24. 本小题分
某高科技公司根据市场需求，计划生产、两种型号的医疗器械，其部分信息如下：
信息一：、两种型号的医疗器械共生产台；
信息二：生产这两种医疗器械的资金超过万元，但不足万元；
信息三：、两种医疗器械的生产成本和售价如下表：
型号
成本万元台
售价万元台
根据上述信息，解答下列问题：
这两种型号的医疗器械各生产多少台？
在实际销售时，每台型医疗器械的售价提高了，每台型医疗器械的售价不变，全部销售这两种医疗器械共获得利润万元，求的值利润售价成本
25. 本小题分
如图，在中，，是边的中线，将绕点顺时针旋转得到，是的外接圆，点是的中点，连接交于点．
求证：是的切线；
若，，求的值．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，抛物线经过，两点，连接．
请直接写出，的值；
若动点在边不与，两点重合上时，点作轴的垂线交于点，交于点，交抛物线于点，连接．
设线段的长为，求与的函数关系式；
当点在下方的抛物线上时，以，，为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点的坐标；若不相似，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
最小的数是，
故选：．
正数大于，负数小于，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
本题考查了实数的比较大小，注意两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一般情况相隔一个正方形，
“识”与“是”是相对面，
故选：．
正方体的表面展开图，相对的面之间一般情况相隔一个正方形，根据这一特点作答．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
3.【答案】
【解析】解：纳米米米，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
故选：．
根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求解即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
5.【答案】
【解析】解：、不闭合开关，小灯泡不可能发光，是不可能事件，故A不符合题意；
B、只闭合个开关，小灯泡不可能发光，是不可能事件，故B不符合题意；
C、只闭合个开关，小灯泡可能发光，是随机事件，故C符合题意；
D、闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．
直接利用数轴上，的位置，得出，，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】
解：由图可知：，，
则
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：这个多边形的边数是，
则，
解得：．
故选：．
根据边形的内角和为列出关于的方程，解方程即可求出边数的值．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
8.【答案】
【解析】解：一元二次方程有实数根，
，
解得，
故选：．
根据一元二次方程有实数根，可得，进一步解不等式即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
由圆内接四边形的对角互补，邻补角互补，即可得到答案．
本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．
10.【答案】
【解析】解：将“少”“年”“强”“则”“国”“强”分别记作、、、、、，
列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中取出的个球上为“强”“国”两个汉字的有种结果，
所以取出的个球上为“强”“国”两个汉字概率为，
故选：．
将“少”“年”“强”“则”“国”“强”分别记作、、、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
11.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，
故A正确，不合题意；
B.抛物线的对称轴，与轴的交点为，
关于对称轴的对称点为在二次函数的图象上，
该二次函数的图象经过点，
故B错误，符合题意；
C.抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，
抛物线与轴的另一个交点在和之间，
时，，
即，
，
，
故C正确，不合题意；
D.抛物线开口向下，顶点为，
函数有最大值，
抛物线与直线无交点，
一元二次方程无实数根，
故D正确，不合题意．
故选：．
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对进行判断；根据抛物线的对称形可对进行判断；时，，可对进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
12.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，
为的中点，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
又为的中点，
，
，
，
≌，
，
，
，
．
故选：．
取的中点，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，证明≌是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：的值为零，
，
．
故答案为：．
如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
14.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：过点作，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作，利用平行线的性质解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
16.【答案】
【解析】解：骰子着地一面的点数共有种等可能结果，其中骰子着地一面的点数为偶数的有种结果，
所以骰子着地一面的点数为偶数的概率为，
故答案为：．
骰子着地一面的点数共有种等可能结果，其中骰子着地一面的点数为偶数的有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
17.【答案】
【解析】解：如图，连接，则，
设圆锥底面半径为，母线长为，
侧面展开图是圆心角为的扇形，
，
，
．
故答案为：．
设圆锥底面半径为，母线长为，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长得，即，所以．
本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
设，
上的高为，
，
，
，
，
，整理得，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
故答案为：．
利用矩形的性质得出，，，即可得到，求得，利用勾股定理得到，解得，从而求得，代入即可求得．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、矩形的性质，勾股定理的应用，根据矩形的性质求得是解题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用立方根的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、有理数的混合运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：
，
当时，
原式．
【解析】先通分计算分式加减，再把除法统一成乘法后约分．最后代入求值．
本题考查了分式的化简求值．解决本题的关键是掌握分式加减乘除的运算法则．
21.【答案】平行
【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
垂直平分线，
，
，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：平行．
根据线段垂直平分线和角平分线的作图方法作图即可．
由线段垂直平分线的性质可得，则，可得，由角平分线的定义可得，即可得，结合平行线的判定可得答案．
本题考查作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握线段垂直平分线与角平分线的性质及作图方法是解答本题的关键．
22.【答案】证明：将一张平行四边形纸片进行折叠，
，，，
四边形是平行四边形，
，
点在边上，点落在点处，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
解：如图，连接交于，
将一张平行四边形纸片进行折叠，
，，
设，
，
，
，
，
，
，
解得，
．
【解析】根据折叠的性质得到，，，根据平行四边形的性质得到，根据平行的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论；
如图，连接交于，根据折叠的性质得到，，设，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，菱形的判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
23.【答案】解：将八年级名学生成绩重新排列为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
出现次数最多的是，
所以众数；
九年级成绩为分的人数为，
其成绩的众数，中位数；
补全图形如下：
九年级的测试成绩较好，
九年级测试成绩的中位数大于八年级，
九年级学生测试成绩高分人数多于八年级；
人，
答：估计本次问卷测试成绩为满分的八、九年级学生共有人．
【解析】根据众数的意义可求出九年级学生测试成绩的众数，即的值，根据中位数的意义可分别求出八、九年级测试成绩的中位数，即、的值；
求出九年级成绩为分的人数即可补全图形；
由中位数、众数的比较得出答案；
用八、九年级学生总数乘以样本中他们测试成绩在分及以上的学生所占的百分比即可．
本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数，掌握中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的关键．
24.【答案】解：设生产种型号的医疗器械台，则生产种型号的医疗器械台．
由题意得，，
解得，，
为整数，
，则．
答：生产种型号的医疗器械台，则生产种型号的医疗器械台；
由题意得，，
解得．
【解析】设生产种型号的医疗器械台，则生产种型号的医疗器械台．构建不等式组解决问题即可；
根据共获得利润万元，构建方程求解．
本题考查一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式组或方程解决问题．
25.【答案】证明：连接，
将绕点顺时针旋转得到，
≌，
，
是的外接圆，
是的直径，
是的半径且是的中线，
是边的中线，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
又为半径，
是的切线；
解：连接，，
在中，，，，
，
，
≌，
，，
点是的中点，
，
，，
是的直径，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
∽，
，
．
【解析】由旋转的性质可得≌，可得，可得结论；
先证是等腰直角三角形，可得，，通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26.【答案】解：由题意得：点、的坐标分别为、，
则，解得：，
故抛物线的表达式为：，
即，；
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
由题意得，点，点，
则；
由题意得，，，，，
，
若以，，为顶点的三角形与相似，需要分为两种情况：
∽，则，
即，
解得：舍去或，
故点的坐标为：；
当∽时，则，
即，
解得：舍去或，
即点的坐标为：，
综上，点的坐标为：或．
【解析】待定系数法即可求解；
点，点，则，即可求解；
若以，，为顶点的三角形与相似，需要分为两种情况：∽，则，进而求解；当∽时，同理可解．
本题考查了二次函数综合运用，涉及到抛物线的图象性质的运用，三角形相似，线段长的表示方法，有一定的综合性，难度适中．
第1页，共1页
