2023年中考数学专题训练：动态几何压轴题
1．已知：如图1，中，，点D是上一点，其中，将沿所在的直线折叠得到，交于F，连接．
(1)①当时， ．
②当时， （用含a的代数式表示）；
(2)如图2，当时，解决以下问题：
①已知，求的值；
②证明：．
2．如图，在中，，．点D是直线上一动点．过点D作，满足点E在上方，，以、为邻边作．
(1)求的长以及点C到的距离；
(2)设线段与边交于点M，线段与边交于点N．当时，求的长；
(3)连接，沿直线分割，当分割的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，求的长．
3．已知，为等边三角形，点在边上．
【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连结．可得（不需证明）．
【迁移运用】如图2，点是边上一点，以为一边作等边三角．求证：．
【类比探究】如图3，点是边的延长线上一点，以为一边作等边三角．试探究线段，，三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
4．（1）如图1，将直角的顶点E放在正方形的对角线上，使角的一边交于点F，另一边交或其延长线于点G，求证：；
（2）如图2，将（1）中的“正方形”改成“矩形”，其他条件不变．若，，试求的值；
（3）如图3，将直角顶点E放在矩形的对角线交点，、分别交与于点、，且平分．若，，求、的长．
5．九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
(1)操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则 °，与的数量关系是 ；
(2)迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
(3)拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长．
6．已知点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，，请完成如下问题：
(1)如图1，若和均为等边三角形，①线段与线段的数量关系是________；②直线与直线相交所夹锐角的度数是________；
类比探究：
(2)如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
(3)拓展应用：如图3，若，，，，当点B，D，E三点共线时，请直接写出的长．
7．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随着点的位置变化而变化．
(1)如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)当点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（参照图3的情况予以证明）
(3)如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若，，求四边形的面积．
8．在中，，，将线段绕点C顺时针旋转α角得到线段，连接，过点C作于点E，连接交，CE于点F，G．
(1)当时，如图1，依题意补全图形，直接写出的大小；
(2)当时，如图2，试判断线段与之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若F为的中点，直接写出的长．
9．如图1，在中，，点D，E分别在边上，，连接，过点C作，垂足为H，直线交直线于F．
(1)求证：；
(2)将图1中的绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；
(3)若，将绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出的长．
10．问题情境：
如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到 （点的对应点为点）．延长交于点，连接，
猜想证明：
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，若、请猜想线段与的数最关系并加以证明，解决问题；
(3)如图1，若的面积为72，，请直接写出的长．
11．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 ；
(2)如图2，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
(3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与交于点O，已知，，求的中线的长．
12．（1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且．求证：；
（2）如图2，在正方形中，E是上一点，G是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形中，（），，，E是上一点，且，，，求四边形的面积．
13．【证明体验】(1)如图(1)，在中，，平分交于，点在上，，连接，求证：．
【思考探究】(2)如图(2)，在(1)的条件下，过点作交于点，交于点，若，，求的长．
【拓展延伸】(3)如图(3)，在四边形中，，且，若，，则 ．
14．新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
(1)如图1，等边边长为3，垂直于边的等积垂分线段长度为______；
(2)如图2，在中，，，，求垂直于边的等积垂分线段长度；
(3)如图3，在四边形中，，，，求出它的等积垂分线段长．
15．已知是的中线，点是线段上一点，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连结．
【方法感知】如图①，当点与点重合时，易证：．（不需证明）
【探究应用】如图②，当点与点不重合时，求证：四边形是平行四边形．
【拓展延伸】如图③，记与的交点为，的延长线与的交点为，且为的中点．
（1）______
（2）若，时，则的长为______．
16．如图1，在矩形中，，，E是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，延长交的延长线于点G．
(1)求线段的长：
(2)求证：四边形为菱形；
(3)如图2，M，N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
17．如图，和均为等腰直角三角形，，，．现将绕点旋转．
(1)如图1，证明：；
(2)如图2，若A，，三点共线，，求点到直线的距离；
(3)如图3，连接，，，求证：．
18．在中，，D为射线上一点，，E为射线上一点，且，连接．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若，连接并延长，交于点F，求证：；
(3)如图3，若，垂足为点E，猜想、、的数量关系，并证明．
试卷第8页，共9页
试卷第9页，共9页
参考答案：
1．(1)①；②a
(2)①4；
2．(1)；点C到的距离为
(2)
(3)的长为
4．（2）；（3），
5．(1)90，
(2)；
(3)或2
6．(1)，
(2)①不成立，；②成立，
(3)或
7．(1)，
(2)成立，
(3)
8．(1)，
(2)，
(3)
9．(2)仍然成立
(3)
10．(1)四边形是正方形，
(2)，
(3)．
11．(1)菱形和正方形
(2)，
(3)
12．（3）108
13．（2）（3）
14．(1)
(2)边的等级垂分线段的长度为
(3)四边形的一条等积垂分线段的长为
15．【探究应用】见解析；【拓展延伸】（1）；（2）
16．(1)
(3)存在，或
17．(2)点到直线的距离为2
18．(1)1
(3)，
答案第1页，共2页
