2023年中考数学专题训练：二次函数综合压轴题（角度问题）
1．如图，抛物线y=ax2-bx-3与x轴交于点A、C，交y轴于点B，OB=OC=3OA．
(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；
(2)如图1，连接AB，点M是对称轴上一点且在第四象限，若△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，求点M的坐标；
(3)如图2，连接AB，点P在抛物线上，当∠PAC=2∠ABO时，求点P的坐标．
2．如图，点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2-8x+12=0的两个根（OC＞OB），点A在x轴的负半轴上，且OA=OC=3OB，连接AC．
(1)求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；
(2)点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值；
(3)M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM=15°？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；
(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标．
4．如图1抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP=∠BCQ时，求点P的坐标；
(3)若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标．
5．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
(1)m的值是________；
(2)P（异于点A）为抛物线上一点，若，求点P的坐标：
(3)Q为抛物线上一点，若，请直接写出点Q的坐标．
6．如图，抛物线与轴，轴分别交于点，点，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将绕坐标原点顺时针旋转90°，点的对应点为点，点是否落在抛物线上？说明理由．
（3）为抛物线上直线BC上方的一点，当四边形PCOB面积最大时，求点的坐标；
（4）点在抛物线上，连接BC，BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足？如果存在，请求出点点的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．如图1，抛物线与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B 重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接AF，若∠AGN＝∠FAG，求GF的长．
8．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，抛物线的顶点是，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
9．抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C．
（1）如图1，若，，
①求抛物线的解析式；
②Р为抛物线上一点，连接、，若，求点P的坐标；
（2）如图2，D为x轴下方抛物线上一点，连，，若，求点D的纵坐标．
10．如图，点，分别在轴和轴的正半轴上，，的长分别为的两个根，点在轴的负半轴上，且，连接．
（1）求过，，三点的抛物线的函数解析式；
（2）点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动到点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，连接，当点到达点时，点停止运动，求的最大值；
（3）是抛物线上一点，是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图1，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，是第一象限内二次函数图象上的动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过点作轴于点，若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
（3）如图2．连接，交直线于点，当时，求的正切值．
12．如图1，抛物线交轴于，两点（在的左侧），与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，点在抛物线上，且满足，求点的坐标；
（3）如图2，直线交轴于点，过直线上的一动点作轴交抛物线于点，直线交抛物线于另一点，直线交轴于点，试求的值．
13．如图，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的右边），与轴交于点．
（1）请直接写出、两点的坐标：______，______；
（2）若以为直径的圆恰好经过这个二次函数图象的顶点．
①求这个二次函数的表达式；
②若为二次函数图象位于第二象限部分上的一点，过点作平行于轴，交直线于点．连接、，是否存在一个点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
14．已知地物线与轴交于点，点在该抛物线上
（1）若抛物线的对称轴是直线，请用含的式子表示；
（2）如图1，过点作轴的垂线段，垂足为点．连结和，当为等边三角形时，求抛物线解析式；
（3）如图2，在（2）条件下，已知为轴上的一动点，连结和，当时，求满足条件的点的坐标．
15．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线的函数解析式、点的坐标和的余弦值．
（3）连接，若过点的直线交线段于点，将的面积分成的两部分，求点的坐标为______．
16．如图，抛物线经过， 两点，直线与轴交于点．点是直线 上方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，并且交直线于点 ．
（1）请直接写出抛物线与直线的函数关系表达式；
（2）当时，求出点的坐标；
（3）是否存在点，？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．已知抛物线过点A（-4，0），顶点坐标为C（-2，-1）．
（1）求这个抛物线的解析式．
（2）点B在抛物线上，且B点的横坐标为-1，点P在x轴上方抛物线上一点，且∠PAB=45°，求点P的坐标．
（3）点M在x轴下方抛物线上一点，点M、N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D．连结MD交两坐标轴于E、F点. 求证：OE=OF．
18．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．
试卷第8页，共9页
试卷第9页，共9页
参考答案：
1．(1)，；
(2)M坐标为（1，）或（1，﹣1）；
(3)点P的坐标是（，）或（，-）．
2．(1)y= x2 2x+6；
(2)最大值为；
(3)存在，点M的坐标为( 4 ，)或( 4 2， 4)．
3．(1)y＝﹣x2＋2x＋3
(2)M（，）
(3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12）
4．(1)
(2)
(3)、
5．(1)
(2)，，
(3)
6．（1）；（2）点落在抛物线上；（3）P(,)；（4）(，)．
7．（1）；（2）；（3）2
8．（1）；（2）或；（3）存在，或
9．（1）①；②；（2）
10．（1）；（2）；（3）存在，或
11．（1）；（2）；（3）．
12．（1）；（2）；（3）8
13．（1），；（2）①，②存在，
14．（1）；（2）；（3），
15．（1）；（2），，；（3）或
16．（1），；（2）点（2，6）；（3）存在点，使得，或．
17．（1）y=；（2）（，）；
18．（1）y＝﹣x2+x+；（2）（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）；（3）点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，-3）．
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