九年级数学中考模拟试题（二）
考试时间120分钟，试卷满分150分
一、选择题（每小题3分，共24分）.
1. 四个相同的小正方体组成的立体图形如图所示，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
2. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ）
A. 0 B. -2 C. 2 D. -2或2
3. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A. 只闭合1个开关 B. 只闭合2个开关 C. 只闭合3个开关 D. 闭合4个开关
5. 如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于点，点是轴上的动点，则的面积为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
7. 如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为4：7，且三角板的一边长为.则投影三角板的对应边长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，矩形中，，动点同时从点出发，点沿的路径运动，点沿的路径运动，点的运动速度相同，当点到达点时，点也随之停止运动，连接.设点的运动路程为，为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2021年底有用户2万户，计划到2023年底全市用户数累计达到8.72万户.设全市用户数年平均增长率为，则根据题意可列方程为____________.
10. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得.若点恰好落在边上，且，则的度数为__________.
11. 点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值为__________.
12. 如图，圆锥的母线，侧面展开图是半圆，则底面半径______________.
13. 一个不透明的箱子里装有个球，其中红球有3个，这些球除颜色外都相同，每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出的值为________.
14. 如图，在矩形中，，点是边上一点，连接相交于点，连接，若，则________.
15. 如图，已知反比例函数的图象经过的顶点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，交轴于点，交轴于点，若，.则________.
16. 如图，直线与轴交于点，点在轴正半轴上且横坐标分别为2，4，6，…，过作轴交直线于点，连接，，且交于点；过作轴交直线于点，连接，，且交于点；…按照此规律进行下去，则的纵坐标为________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
17. 已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根满足，求的值.
18. 如图，在中，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点.求证：.
四、解答题（每小题10分，共20分）
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点（在的右侧）.
（1）若，求反比例函数解析式；
（2）连接并延长交反比例函数图象的另一分支于点，连接交轴于点，若，求的面积.
20. 小红的爸爸积极参加社区志愿服务工作.根据社区安排，志愿者被随机分到组（清除小广告）、组（便民代购）和组（环境消杀）.
（1）小红爸爸被分到组的概率是____________；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求他和小红的爸爸被分到同一组的概率.
五、解答题（每小题10分，共20分）
21. 如图，要对某小区居民楼的高度进行测量.先测得居民楼与之间的距离为，后站在点处测得居民楼的顶端的仰角为45°，居民楼的顶端的仰角为55°.已知居民楼的高度为，观测点距地面.求居民楼的高度（精确到）.
（参考数据：）
22. 现代人的沟通方式多样化，某校设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），利用课余时间对全校师生进行了抽样调查，并将统计结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有_____________人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为___________；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有6000人在使用手机，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数.
六、解答题（每小题10分，共20分）
23. 如图，为的直径，是上的两点，延长至点，连接，.
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径.
24. 某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销.据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨元，每周的销售利润为元.
（1）用含的代数式表示：每件商品的销售价为___________元，每件商品的利润为____________元，每周的商品销售量为_____________件；
（2）求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
（3）怎样确定销售价，才能使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？
七、解答题（满分12分）
25. 在中，，点分别是的中点，点是射线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接.
（1）如图①，当点与点重合时，线段与的数量关系是_____________，____________°；
（2）如图②当点在射线上运动时（不与点重合），求的值；
（3）连接，当是等边三角形时，请直接写出的值.
八、解答题（满分14分）
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，直线恰好经过两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上一动点，连接，若的面积为6，求点的坐标；
（3）点是抛物线上一动点，连接，若，直接写出点的坐标.
参考答案
一、选择题
ABDB ADBC
二、填空题
9. 10. 24° 11. 12.
13. 12 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解：（1）∵
∵无论取任何实数，，∴
∴无论取任何实数，方程总有两个不相等的实数根.
（2）由一元二次方程的根与系数的关系定理，得：
，
∵，∴，即
∴，化简得：
∴解得的值是0或-2.
18. 证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
四、解答题：
19. 解：（1）把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）过点作轴于，过点作轴于，连接，
则有，
∴，
∴，∵，∴，
设，则，
∴点，点.
根据对称性可得点.
∵点在直线上，
∴，解得
∴点，点，点.
设直线的解析式为，
则有，解得，
∴直线的解析式为.∵点是直线与轴的交点，
∴点，∵点是直线与轴的交点，
∴点，∴
∵，
∴.
20. 解：（1）小红爸爸被分到组的概率为；
（2）小红爸爸和王老师分组可用树状图表示如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中小红爸爸和王老师被分到同一组的结果有三种，分别是，
∴.
五、解答题
21. 解：过点作交于点，交于点.
证出矩形
∴
同理可得：，
∵，
∴
在中，
∵，∴，
∴.
在中，
∵，
∴，
∴.
答：居民楼的高度约为.
22. （1）解：（1）∵喜欢用电话沟通的人数为400，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了（人）
表示“微信”的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：2000；144°；
（2）短信人数为（人）
微信人数为（人）
如图：
（3）由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，
估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（人），
∴在该校3600人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的有2400人；
六、解答题
23.（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：
解：∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴的半径为.
24. 解：（1）每件商品的销售价为：元，每件商品的利润为：元，
每周的商品销售量为：件；
故答案为：；
（2）所求函数关系式为：
即；
（3）∵在中，
，
∴当时，，
有最大值且最大值为：（元）
∴当售价为53元时，可获得最大利润2645元.
七、解答题：
25.（1） 45
（2）
连接，
∵，
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴，
在中，
，
，
由旋转得性质得：
，
∴，
，
∴，
又∵
，
∴，
∴
∴
（3）或
八、解答题：
26. 解：（1）对于，当时，；当时，，
∴，
将两点坐标分别代入中，得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）
如答图1，当点在直线的上方时，
过点作轴的垂线，交直线于点，
设点，点，
则，
∵，
∴，解得或
∴点或；
如答图2，当点在直线的下方时，
连接，
设点，
∵，
∴，
整理得
∵，
∴方程无实数根，
∴此种情况不存在，
综上，点的坐标为或；
（3）点的坐标为或.
