2023年聊城市高考模拟试题
数学（一）
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上，
2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，只将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．复数z在复平面内对应的点为，则
A． B． C． D．
3．将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，关于函数的下列说法中错误的是
A．周期是2π B．非奇非偶函数
C．图像关于点中心对称 D．在内单调递增
4．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量C（单位：A·h）、放电时间t（单位：h）、放电电流I（单位：A）三者之间满足关系式．假设某款电动汽车的蓄电池容量为3074A·h，正常行驶时的放电电流为15A，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：）
A．60h B．45h C．30h D．15h
5．在正方体中，直线m、n分别在平面ABCD和内，且，则下列命题中正确的是
A．若m垂直于AB，则n垂直于AB B．若m垂直于AB，则x不垂直于AB
C．若m不垂直于AB，则n垂直于AB D．若m不垂直于AB，则n不垂直于AB
6．M是△ABC内的一点，若，，则
A． B．1 C． D．
7．研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆C的焦点为、，P为椭圆C上的任意一点，R为椭圆C的蒙日圆的半径，若的最小值为，则椭圆C的离心率为
A． B． C． D．
8．设，，，则，
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知抛物线C：的焦点为F，点在C上，直线PF交C于另一点Q，则
A．C的准线方程为 B．直线PQ的斜率为
C． D．线段PQ的中点的横坐标为
10．在△ABC中，若，则
A． B． C． D．
11．设，，且，则
A．ab的最大值为 B．的最小值为1
C．的最小值为 D．的最小值为
12．已知奇函数的定义域为R，，对于任意的正数，都有，且当时，都有，则
A．
B．函数在内单调递增
C．对于任意都有
D．不等式的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某班共有50名学生，在期末考试中，小明因病未参加数学考试，参加考试的49名学生的数学成绩的方差为2，在评估数学成绩时，老师把小明的数学成绩按这49名学生的数学成绩的平均数来算．那么全班50名学生的数学成绩的标准差为 ．
14．记为不大于实数x的最大整数，已知数列的通项公式为，则的前2023项的和 ．
15．某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将这四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有 种不同的选修方式可选．（用数字填写答案）
16．已知正四棱柱的体积为16，E是棱BC的中点，P是侧棱上的动点，直线交平面于点P＇，则动点P＇的轨迹长度的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在四边形ABCD中，．
（1）证明：；
（2）若，，，，求△BCD外接圆的面积．
18．（12分）
已知数列满足，．数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
19．（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为等边三角形，M为PA的中点，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：平面CDM⊥平面PAB；
（2）若，，，直线PB与平面MCD所成角的正弦值为，求三棱锥P-MCD的体积．
20．（12分）
某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况进行统计后得到下表：
思想政治 地理 化学 生物
物理类 100 120 200 180
历史类 120 140 60 80
（1）利用上述样本数据填写以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验．分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．
科类 生物学科选法 合计
选 不选
物理类
历史类
合计
（2）假设该校高一所有学生中有的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
1.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21．（12分）
已知双曲线C：的右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为60°，且C上的点到F的距离的最小值为1．
（1）求C的方程；
（2）设点，，动直线l：与C的右支相交于不同两点A，B，且，过点O作，H为垂足，证明；动点H在定圆上，并求该圆的方程．
22．（12分）
已知函数，．
（1）若直线是曲线的一条切线，求a的值；
（2）若对于任意的），都存在，使成立，求a的取值范围．
2023年聊城市高考模拟数学（一）
参考答案及评分标准
一、单项选择题
1-4 BADC 5-8 CDDB
二、多项选择题
9．BD 10．ABD 11．ACD 12．ACD
三、填空题
13．1.4 14．4962 15．54 16．
四、解答题
17．
（1）证明：在△ABD中，由正弦定理得，
所以．
在△BCD中，由正弦定理得，
所以．
由，得，
所以．
（2）解：由（1）得，所以，
又因为，所以，
从而，
在△ABD中，由余弦定理得，
，所以，
由正弦定理得△BCD的外接圆直径为，
因此△BCD外接圆的面积为7π．
18．解：
（1）由已知得，，代入，
解得．
由，
得，
又因为，
所以数列为等比数列，其首项为2，公比为3，因此，
从而得数列的通项公式为．
由此可得，．
从而得数列的通项公式为．
（2）当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
．
综上，．
19．
（1）证明：取AD的中点O，连接OP，
因为△PAD为等边三角形，所以，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
又因为ABC平面ABCD，所以，
又因为，，
所以AB⊥平面PAD，
又因为平面PAD，所以，
因为M是PA的中点，所以MD⊥PA，
又因为，所以MD⊥平面PAB，
又因为平面MCD，所以平面MCD⊥平面PAB．
（2）解：连接OC，可得矩形ABCO，则OD，OC，OP两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，．
于是，，，
设平面MCD的法向量为，则由，
得，令，得，
所以，
由直线PB与平面MCD所成角的正弦值为，
得，解得或，
当时，三棱锥P-MCD的体积为；
当时，三棱锥P-MCD的体积为，
因此三棱锥P-MCD的体积为或．
20．解：
（1）由已知的统计表可知，在样本中物理类的学生人数为300，历史类的学生人数为200．
科类 生物学科选法 合计
选 不选
物理类 180 120 300
历史类 80 120 200
合计 260 240 500
零假设为：两类学生对生物学科的选法没有差异．
根据列联表中的数据得
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为两类学生对生物学科的选法存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.001，
（2）记“从该校高一所有学生中任取一名学生，该学生同时选择了地理和化学两科”为事件A，根据全概率公式由已知得，
由已知得随机变量，
所以（人）．
21．解：
（1）设，则由已知得，
解得，，．
所以C的方程为．
（2）由（1）得，，
设，，则，，
于是，
同理．
由，得，
从而，
即，
即，
整理得，
因为，所以，
所以l的方程可化为，
因此l过定点．
又因为，垂足为H，所以动点H在以ON为直径的圆上，
该圆的方程为．
22．解：
（1）由得，．
设直线与曲线的切点为，
则，解得，
因此a的值为．
（2）由得，
设，则，
因为当时，，所以在上单调递增，
又因为，，
所以存在，使，
且当时，；当时，，
从而，且当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
由，得，从而，
所以．
由对于任意的，都存在，使成立，
得对于任意的，都有，
即不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立．
设，则，
因为，当时，，，，
当时，，，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，因此，
故a的取值范围为．
