2023年甘肃省白银市中考数学一诊试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项。
1．﹣2023的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣2023 C． D．2023
2．近年来出生人口持续走低，即使国家开放三胎，也缓解不了颓势，2022年我国出生人口是1062万人，数据1062万用科学记数法表示应为（ ）
A．1062×104 B．10.62×106 C．1.062×107 D．0.1062×108
3．如图，该几何体由6个大小相同的正方体组成，从正面看到该几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
5．如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF＝140°，则∠A等于（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
6．若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
7．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4
8．如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，AC、BD是⊙O的两条相交弦，∠ACB＝∠CDB＝60°，则∠ABC＝（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
10．如图1，将边长为a的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和a的Rt△GEF的一边GF重合，正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动，设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，当秒时，重叠部分的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
11．当x 时，分式有意义．
12．因式分解：x3﹣x＝ ．
13．如图，一次函数y＝（m﹣2）x﹣1的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是 ．
14．甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.7环，方差如表：
选手 甲 乙 丙 丁
方差 0.035 0.016 0.022 0.025
则这四人中成绩发挥最稳定的是 ．
15．按下面的程序计算：
若开始输入x的值为2，则最后输出的结果为 ．
16．如图，等腰直角△ABC的斜边，分别以点A、B为圆心，以为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点，若，则正方形ABCD的边长为 ．
18．下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的，如果第1个图形的周长为5，那么第 个图形的周长为32．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
19．计算：|1﹣|+（3.14﹣π）0．
20．化简：．
21．如图，在 ABCD在中，AB＜BC，BE平分∠ABC，交AD于点E．
（1）使用尺规完成基本作图：作∠BAD的角平分线交BC于点F，连接EF（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）根据（1）中作图，求证：四边形ABFE为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAF＝∠DAF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝ ，
∴ ，
∴AB＝AE．
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∴ ．
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是 ．
∵AB＝BF，
∴四边形ABFC是菱形．
22．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离10km处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离20km处是村庄N，求M，N两村之间的距离．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）
23．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下并混合．
（1）从中随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图案是轴对称图形的概率是多少？
（2）从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率是多少？
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
24．为了解我市初二年级数学学科期末质量监测情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．
收集数据：随机抽取甲、乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析．
甲：91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙：84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据，分析数据：
分段学校 30≤x≤39 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
甲 1 1 0 0 3 7 8
乙 0 0 1 4 2 a 5
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
统计量学校 平均数 中位数 众数 方差
甲 81.85 b 91 268.43
乙 81.95 86 88 115.25
（1）填表：a的值是 ，b的值是 ．
（2）得出结论：
①若甲学校有600名初二学生，估计这次考试成绩在80分及以上的人数为 ．
②可以推断出 学校学生的数学水平较高，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA＝5，E为x轴上一点，且sin∠AOE＝．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
26．如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CD＝3，求AC的长．
27．模型探究：（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于点E，若AE＝10，求四边形ABCD的面积．
拓展应用：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，若AE＝19，BC＝10，CD＝6，求四边形ABCD的面积．
28．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为线段BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式．
（2）过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，连接PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项。
1．﹣2023的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣2023 C． D．2023
【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．
解：|﹣2023|＝2023，
故选：D．
【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
2．近年来出生人口持续走低，即使国家开放三胎，也缓解不了颓势，2022年我国出生人口是1062万人，数据1062万用科学记数法表示应为（ ）
A．1062×104 B．10.62×106 C．1.062×107 D．0.1062×108
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
解：1062万＝10620000＝1.062×107．
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
3．如图，该几何体由6个大小相同的正方体组成，从正面看到该几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用从正面看到的图叫做主视图，根据图中6个正方体摆放的位置判定则可．
解：从正面看，底层是三个小正方形，上层靠左是两个小正方形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键．
4．不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可．
解：，
由①得：x＞﹣3，
由②得：x＞2，
所以不等式组的解集是x＞2．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，关键是求出两个不等式的解集，找出解集的公共部分．
5．如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF＝140°，则∠A等于（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】由邻补角的定义与∠CEF＝140°，即可求得∠FED的度数，又由直线AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠A的度数．
解：∵∠CEF＝140°，
∴∠FED＝180°﹣∠CEF＝180°﹣140°＝40°，
∵直线AB∥CD，
∴∠A＝∠FED＝40°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
6．若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】将点（m，n）代入函数y＝2x+1，得到m和n的关系式，再代入2m﹣n即可解答．
解：将点（m，n）代入函数y＝2x+1得，
n＝2m+1，
整理得，2m﹣n＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要明确，一次函数图象上的点的坐标符合函数解析式．
7．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4
【分析】根据判别式的意义得Δ＝42﹣4k≥0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝42﹣4k≥0，
解得k≤4．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用单价＝总价÷数量，可求出一株椽的价钱为文，结合“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：∵这批椽的价钱为6210文，这批椽有x株，
∴一株椽的价钱为文，
又∵每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴3（x﹣1）＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．如图，AC、BD是⊙O的两条相交弦，∠ACB＝∠CDB＝60°，则∠ABC＝（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【分析】圆周角定理和已知得出∠CAB＝∠ACB＝60°，证出△ACB为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
解：∵∠ACB＝∠CDB＝60°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠CAB＝∠ACB＝60°，
∴△ACB为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10．如图1，将边长为a的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和a的Rt△GEF的一边GF重合，正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动，设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，当秒时，重叠部分的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】因为t＝2﹣，当0≤t≤2时，BG＝t，BE＝2﹣t，运用△EBP∽△EGF的相似比可表示PB＝4﹣2t，S为梯形PBGF的面积，则S＝（4﹣2t+4） t＝﹣t2+4t，其图象为开口向下的抛物线的一部分，据此解答即可．
解：当0≤t≤2时，如图，
BG＝t，BE＝2﹣t，
∵PB∥GF，
∴△EBP∽△EGF，
∴＝，
即＝，
∴PB＝4﹣2t，
∴S＝（PB+FG） GB＝（4﹣2t+4） t＝﹣t2+4t，
∴S＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象是解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
11．当x ≠1 时，分式有意义．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得结论．
解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：≠1．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，解题时也要注意分式无意义的条件是分母等于零．
12．因式分解：x3﹣x＝ x（x+1）（x﹣1） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），
故答案为：x（x+1）（x﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．如图，一次函数y＝（m﹣2）x﹣1的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是 m＜2 ．
【分析】根据一次函数y＝（m﹣2）x﹣1的图象经过二、三、四象限判断出m的取值范围即可．
解：∵一次函数y＝（m﹣2）x﹣1的图象经过二、三、四象限，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2，
故答案为：m＜2．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时函数的图象在二、三、四象限．
14．甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.7环，方差如表：
选手 甲 乙 丙 丁
方差 0.035 0.016 0.022 0.025
则这四人中成绩发挥最稳定的是 乙 ．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解：∵S甲2＝0.035，S乙2＝0.016，S丙2＝0.022，S丁2＝0.025，
∴S乙2＜S丙2＜S丁2＜S甲2，
∴这四人中成绩发挥最稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．按下面的程序计算：
若开始输入x的值为2，则最后输出的结果为 22 ．
【分析】先把2代入代数式3x+1中，求值后若大于11输出答案，若小于或等于11返回第一步再次计算，判定即可得出答案．
解：第一次运算结果为：3x+1＝3×2+1＝7，
第二次运算结果为：3×7+1＝22，
因为22大于11，所以最后输出的结果为22，
故答案为：22．
【点评】本题主要考查了代数式求值，根据题意所给程序运算方法进行计算判定是解决本题的关键．
16．如图，等腰直角△ABC的斜边，分别以点A、B为圆心，以为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 2﹣ ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠B＝45°．然后根据三角形的面积公式和扇形面积公式计算即可．
解：∵△ABC是等腰直角，
∴AC⊥BC，∠A＝∠B＝45°．
∵AB＝2，
∴AC＝BC＝AB sin45°＝2＝2，
∴S阴影＝S△ABC﹣2S扇形DAE＝﹣2×＝2﹣．
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查的是扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
17．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点，若，则正方形ABCD的边长为 2+ ．
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH为等腰直角三角形，再求出AH＝MH＝MB，根据勾股定理即可求得．
解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH＝45°，
∴AH＝MH，
∵CM平分∠ACB，
∴BM＝MH＝，
在Rt△AMH中，AM＝＝2，
∴AB＝AM+BM＝2+，
故答案为：2+．
【点评】本题考查了正方形，掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
18．下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的，如果第1个图形的周长为5，那么第 10 个图形的周长为32．
【分析】根据已知图形得出每增加一个小梯形其周长就增加3，据此可得答案．
解：∵第1个图形的周长为2+3＝5，
第2个图形的周长为2+3×2＝8，
第3个图形的周长为2+3×3＝11，
…
∴第n个图形的周长为2+3n＝32，
∴n＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查图形的变化类，根据已知图形得出每增加一个小梯形其周长就增加3是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
19．计算：|1﹣|+（3.14﹣π）0．
【分析】首先计算零指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：|1﹣|+（3.14﹣π）0
＝﹣1+1
＝．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
20．化简：．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：原式＝÷
＝
＝．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．如图，在 ABCD在中，AB＜BC，BE平分∠ABC，交AD于点E．
（1）使用尺规完成基本作图：作∠BAD的角平分线交BC于点F，连接EF（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）根据（1）中作图，求证：四边形ABFE为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAF＝∠DAF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝ ∠CBE ，
∴ ∠AEB＝∠ABE ，
∴AB＝AE．
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∴ AE＝BF ．
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是 平行四边形 ．
∵AB＝BF，
∴四边形ABFC是菱形．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∴AE＝BF，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB＝BF，
∴四边形ABFC是菱形．
故答案为：∠CBE，∠AEB＝∠ABE，AE＝BF，平行四边形．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的性质，菱形的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
22．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离10km处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离20km处是村庄N，求M，N两村之间的距离．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）
【分析】点M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，继而得出MD，ND的长度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的长度．
解：过点M作CD∥AB，NE⊥AB于E，如图：
在Rt△ACM中，∠CAM＝36.5°，AM＝10km，
∵sin36.5°＝≈0.6，
∴CM＝6，
∴AC＝＝＝8（km），
在Rt△ANE中，∠NAE＝90°﹣53.5°＝36.5°，AN＝20km，
∵sin36.5°＝≈0.6，
∴NE＝12，
∴AE＝＝＝16（km），
∴MD＝CD﹣CM＝AE﹣CM＝10km，ND＝NE﹣DE＝NE﹣AC＝4（km），
在Rt△MND中，MN＝＝＝2（km）．
答：M，N两村之间的距离为2km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下并混合．
（1）从中随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图案是轴对称图形的概率是多少？
（2）从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率是多少？
【分析】（1）四个图形中，为轴对称图形的是等腰三角形、菱形和圆，直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵等腰三角形、平行四边形、菱形、圆四个图形中，为轴对称图形的是等腰三角形、菱形和圆，
∴随机抽取一张，抽到的卡片上印有的图案是轴对称图形的概率是．
（2）设等腰三角形、平行四边形、菱形、圆分别记为A，B，C，D，
则是轴对称图形的为A，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的结果有：（A，C），（A，D），（C，A），（C，D），（D，A），（D，C），共6种，
∴抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、轴对称图形，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
24．为了解我市初二年级数学学科期末质量监测情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．
收集数据：随机抽取甲、乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析．
甲：91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙：84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据，分析数据：
分段学校 30≤x≤39 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
甲 1 1 0 0 3 7 8
乙 0 0 1 4 2 a 5
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
统计量学校 平均数 中位数 众数 方差
甲 81.85 b 91 268.43
乙 81.95 86 88 115.25
（1）填表：a的值是 8 ，b的值是 88 ．
（2）得出结论：
①若甲学校有600名初二学生，估计这次考试成绩在80分及以上的人数为 450 ．
②可以推断出 甲，两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高． 学校学生的数学水平较高，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【分析】（1）依据统计表中的数据，即可得到乙校各分数段的人数，以及众数的大小；
（2）①依据甲学校考试成绩80分以上人数所占的百分比，即可得到有600名初二学生中这次考试成绩80分以上人数；
②从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个学校学生的数学水平较高．
解：（1）整理、描述数据：
分段学校 30≤x≤39 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
甲 1 1 0 0 3 7 8
乙 0 0 1 4 2 8 5
分析数据：
经统计，乙校的数据中88是中位数，故表格中b的值是88．
故答案为：8；88；
（2）得出结论：
①a若甲学校有600名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为600×＝450（人）．
故答案为：450；
②b （答案不唯一）可以推断出甲学校学生的数学水平较高，理由为两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．
故答案为：甲，两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．
【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA＝5，E为x轴上一点，且sin∠AOE＝．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D点，由sin∠AOE＝，OA＝5，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y＝，确定反比例函数的解析式为y＝﹣；将B（6，n）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y＝kx+b（k≠0），求出k和b．
（2）先令y＝0，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可．
解：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图，
∵sin∠AOE＝，OA＝5，
∴sin∠AOE＝＝＝，
∴AD＝4，
∴DO＝＝3，
而点A在第二象限，
∴点A的坐标为（﹣3，4），
将A（﹣3，4）代入y＝，得m＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
将B（6，n）代入y＝﹣，得n＝﹣2；
将A（﹣3，4）和B（6，﹣2）分别代入y＝kx+b（k≠0），得
，
解得，
∴所求的一次函数的解析式为y＝﹣x+2；
（2）在y＝﹣x+2中，令y＝0，
即﹣x+2＝0，
解得x＝3，
∴C点坐标为（3，0），即OC＝3，
∴S△AOC＝ AD OC＝×4×3＝6．
【点评】本题考查了点的坐标的求法和点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了正弦的定义、勾股定理以及三角形面积公式．
26．如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CD＝3，求AC的长．
【分析】（1）连接OD，如图，先根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线性质得DE＝EC＝AC，则∠EDC＝∠ECD，接着利用切线的性质得AC⊥OC．然后证明∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝90°，则可判定DE是⊙O的切线；
（2）先利用勾股定理计算出BC＝5．再证明△BCD∽△BAC，然后利用相似比可计算出AC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵E为AC的中点，
∴DE＝EC＝AC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AC切⊙O于点C，
∴AC⊥OC．
∴∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BCD中，∵BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝5．
∵∠BDC＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B．
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴AC＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
27．模型探究：（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于点E，若AE＝10，求四边形ABCD的面积．
拓展应用：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，若AE＝19，BC＝10，CD＝6，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）过A作AF⊥BC，交CB的延长线于F，求出四边形AFCE是矩形，根据矩形的性质得出∠FAE＝90°，求出∠DAE＝∠BAF＝90°﹣∠BAE，根据AAS得出△AFB≌△AED，根据全等得出AE＝AF＝10，S△AFB＝S△AED，求出S正方形AFCE＝100，求出S四边形ABCD＝S正方形AFCE，代入求出即可；
（2）过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，求出∠BAE＝∠FAD，根据AAS推出△AEB≌△AFD，根据全等得出AE＝AF＝19，BE＝DF，设BE＝DF＝x，由勾股定理得出AC2＝AE2+CE2＝AF2+CF2，推出10﹣x＝6+x，求出x，求出S正方形AFCE＝152和S四边形ABCD＝S正方形AFCE，代入求出即可．
解：（1）如图1，过A作AF⊥BC，交CB的延长线于F，
∵AE⊥CD，∠C＝90°
∴∠AED＝∠F＝∠C＝90°，
∴四边形AFCE是矩形，
∴∠FAE＝90°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF＝90°﹣∠BAE，
在△AFB和△AED中，
，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AE＝AF＝10，S△AFB＝S△AED，
∵四边形AFCE是矩形，
∴四边形AFCE是正方形，
∴S正方形AFCE＝10×10＝100，
∴S四边形ABCD
＝S四边形ABCE+S△AED
＝S四边形ABCE+S△AFB
＝S正方形AFCE
＝100；
（2）如图2，过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，
∵AE⊥CD，
∴∠AED＝∠F＝90°，
∴∠FAE+∠BCD＝180°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠EAF，
∴∠BAD﹣∠EAD＝∠EAF﹣∠EAD，
∴∠BAE＝∠FAD，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF＝19，BE＝DF，
设BE＝DF＝x，
∵BC＝10，CD＝6，
∴CE＝10﹣x，CF＝6+x，
由勾股定理得；AC2＝AE2+CE2＝AF2+CF2，
∵AE＝AF，
∴CE＝CF，
即10﹣x＝6+x，
解得：x＝2，
∴CE＝CF＝8，
∵△AEB≌△AFD，
∴S△AEB＝S△AFD，
∴S正方形AFCE＝×8×19+×8×19＝152，
∴S四边形ABCD
＝S△AEB+S四边形AECD
＝S△AFD+S四边形AECD
＝S正方形AFCE
＝152．
故答案为：152．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
28．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为线段BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式．
（2）过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，连接PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值即可；
（2）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△OBC为等腰直角三角形，故此当CF＝PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则CF＝a，PF＝﹣a2+3a，接下来列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；
（3）连接EC．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE＝a，PE＝﹣a2+3a+4，EB＝4﹣a．然后依据S△PBC＝S四边形PCEB﹣S△CEB列出△PBC的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积．
解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图1所示：
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∵令x＝0得y＝4，
∴OC＝4，
∴OC＝OB，
∵∠CFP＝∠COB＝90°，
∴FC＝PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似，
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）（a＞0）．
则CF＝a，PF＝|﹣a2+3a+4﹣4|＝|a2﹣3a|，
∴|a2﹣3a|＝a，
解得：a＝2或a＝4，
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）；
（3）如图2所示：连接EC，PB．
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE＝a，PE＝﹣a2+3a+4，EB＝4﹣a，
∵S四边形PCEB＝OB PE＝×4（﹣a2+3a+4），S△CEB＝EB OC＝×4×（4﹣a），
∴S△PBC＝S四边形PCEB﹣S△CEB＝2（﹣a2+3a+4）﹣2（4﹣a）＝﹣2a2+8a＝﹣2（a﹣2）2+8，
∵a＝﹣2＜0，
∴当a＝2时，△PBC的面积S有最大值，最大值为8，此时P（2，6）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，用含a的式子表示相关线段的长度，然后列出△PBC的面积与a的函数关系式是解题的关键．
