38多边形内角和与外角和综合-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考
一、单选题
1．（2022春·江苏南京·七年级校考期中）如果一个正多边形的一个内角是，它的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2022春·江苏无锡·七年级校考期中）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2022春·江苏苏州·九年级校联考期中）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2022秋·江苏·九年级期中）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（2021春·江苏无锡·七年级统考期中）如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形
6．（2021秋·江苏南京·九年级校联考期中）如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
7．（2021春·江苏扬州·七年级统考期中）如果一个正多边形的一个内角与一个外角的度数之比是，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
8．（2021春·江苏扬州·七年级校考期中）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
9．（2021春·江苏无锡·七年级校考期中）多边形剪去一个角后，多边形的外角和将（ ）
A．减少180 B．不变 C．增大180 D．以上都有可能
10．（2021春·江苏淮安·七年级统考期中）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
11．（2022春·江苏苏州·七年级苏州市振华中学校校考期中）若正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的内角和的度数为（ ）
A．1080° B．1260° C．1350° D．1440°
二、填空题
12．（2022春·江苏苏州·七年级校联考期中）一个多边形的内角和与外角和的和是720°，那么这个多边形的边数______．
13．（2022春·江苏苏州·七年级统考期中）已知一个多边形的每个内角都相等，其内角和为2340°，则这个多边形每个外角的度数是________________°．
14．（2022春·江苏·九年级统考期中）如果一个多边形的内角和比外角和的4倍还多180°，则这个多边形的边数是_____．
15．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
16．（2021春·江苏无锡·七年级校考期中）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是_________边形．
17．（2021春·江苏扬州·七年级统考期中）六边形的内角和比它的外角和多_____度．
18．（2021春·江苏苏州·七年级校考期中）如图，正五边形和正六边形有一条公共边，并且正五边形在正六边形内部，连接并延长，交正六边形于点，则______.
19．（2021春·江苏无锡·七年级统考期中）一个多边形的每一个外角等于，则这个多边形是________边形，其内角和是 ____ ．
20．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）一个多边形的内角和比外角和的4倍少180°，则这个多边形的边数是_____．
三、解答题
21．（2021春·江苏苏州·七年级苏州高新区实验初级中学校考期中）已如在四边形中，．
（1）如图1，若，则________．
（2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由．
（3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______．
22．（2021春·江苏盐城·七年级统考期中）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
23．（2021春·江苏淮安·七年级统考期中）探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？
请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
参考答案：
1．A
【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为，再用外角和除以，计算即可得解．
【详解】解：∵一个正多边形的一个内角是，
∴每一个外角的度数为，
∴边数，
故选A．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用正多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．
2．B
【详解】试题分析：设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和3倍可得方程180（n﹣2）=360×3，解得：n=8．
故选B．
考点： 多边形内角与外角．
3．C
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．
【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，
根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．
解得n=6.
故选C.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.
4．A
【分析】先求出正多边形外角，根据外角和为360°即可求出边数．
【详解】解：∵多边形的每个内角都等于135°
∴多边形的每个外角都等于
则多边形的边数为
故选：A
【点睛】本题考查了正多边形外角和概念，掌握多边形相关知识点是解题关键．
5．D
【分析】多边形的内角和为，多边形外角和为360°，多边形的内角和是外角和的5倍，建立方程，算出n即可．
【详解】解：由题意得：
解得
故答案为：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和，熟练掌握概念和性质是本题的关键．
6．C
【分析】根据多边形的内角求出多边形的一个外角，然后根据多边形外角和等于，计算即可．
【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是144°，
∴这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°，
∴这个多边形的边数360°÷36°＝10．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟知多边形外角和等于是解本题的关键．
7．C
【分析】设这个正多边形的边数为n，由“如果一个正多边形的一个内角与一个外角的度数之比是7：2”，得出此多边形的外角和为（n-2）×180°，又根据多边形的外角和为360°，由此列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得：（n-2）×180=360，
解得：n=9，
故选：C．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式及多边形的外角和是360°是解题的关键．
8．A
【分析】多边形的内角和外角性质．
【详解】设此多边形是n边形，
∵多边形的外角和为360°，内角和为（n－2）180°，
∴（n－2）180=360，解得：n=4．
∴这个多边形是四边形．
故选A．
9．B
【详解】解：任何多边形的外角都等于360°，故不变．
故选：B．
考点：多边形的外角和．
10．A
【分析】设这个多边形是n边形，它的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，就得到关于n的方程，求出边数n．然后根据多边形的外角和是360°，多边形的每个内角都相等即每个外角也相等，这样就能求出多边形的一个外角．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n﹣2） 180°=1800，
解得n=12；
那么这个多边形的一个外角是360÷12=30，
即这个多边形的一个外角是30．
故本题选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，熟知多边形外角和定理是解题的关键．
11．A
【分析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．
【详解】解：正多边形的边数为：360°÷45°=8，即这个多边形是正八边形，
所以该多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式，关键是掌握多边形内角和公式：（n-2） 180 （n≥3）且n为整数）．
12．4
【分析】根据多边形内角和公式（n 2） 180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n 2） 180°＋360°＝720°，再解方程即可．
【详解】解：多边形内角和为：（n 2） 180°，
由题意得：（n 2） 180°＋360°＝720°，
解得：n＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
13．24
【分析】设这个多边形是n边形，它的内角和可以表示成(n 2) 180°，就得到关于n的方程，求出边数n．然后根据多边形的外角和是360°，多边形的每个内角都相等即每个外角也相等，这样就能求出多边形的一个外角．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：(n 2) 180°=2340°，
解得n=15；
那么这个多边形的一个外角是360°÷15=24°，
即这个多边形的一个外角是24°．
故答案为：24．
【点睛】考查了多边形内角与外角的关系．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
14．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理及多边形的外角和为360゜及题中等量关系：多边形的内角和比外角和的4倍还多180°，列出方程并解方程即可．
【详解】设多边形的边数为n
根据题意，得：（n﹣2） 180＝1620
解得：n＝11
则这个多边形的边数是11
故答案为：11
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的外角和，涉及方程思想，关键是清楚多边形的内外角和．
15．8
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2） 180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
16．六##6
【分析】边形的内角和等于，边形的外角和等于．设多边形的边数为，根据题意列方程求出的值即可．
【详解】解：设多边形的边数为，根据题意列方程得
，
解得，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：六．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理，熟练掌握边形内角和定理和外角和定理是解题的关键．
17．360
【分析】根据多边形的内角和与外角和的计算方法求出六边形的内角和与外角和，再求其差值即可．
【详解】解：六边形的内角和为：，
六边形的外角和为：，
六边形的内角和与外角和的差值为：，
故答案为：360．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握这些知识点是解题关键．
18．84
【分析】据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和，可得答案．
【详解】解：正五边形的内角是
∵AB=BC，
∴∠CAB=36°，
正六边形的内角是
∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，
∴∠ADE=360°-120°-120°-36°=84°，
故答案为84．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键．
19． 十二 1800°
【详解】试题分析：根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n-2） 180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
试题解析：360÷30=12，则这个多边形的边数是12，内角和是：（12-2） 180=1800度．
考点：多边形内角与外角．
20．9
【分析】多边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，外角和都等于360°，故可列方程求解．
【详解】解：设所求多边形边数为n，
由题意得，（n-2） 180°=4×360°-180°，
解得n=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式以及外角和为360°．
21．（1）70°；（2）DE∥BF，证明见解析；（3）54°
【分析】（1）根据四边形内角和计算即可；
（2）根据平角的定义和等量代换可得∠MBC+∠CDN=180°，再根据角平分线的定义得到∠CBF+∠CDE=90°，从而推出∠EDB+∠FBD=180°，可得结论；
（3）根据五等分得到∠CDP+∠CBP=36°，连接PC并延长，证明∠DCB=∠DPB+∠CBP+∠CDP，即可计算．
【详解】解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=70°，
∴∠ADC=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠NDC=180°-110°=70°；
（2）DE∥BF，如图，连接BD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
且∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°，
∴∠MBC+∠CDN=180°，
∵∠CBF=∠MBC，∠CDE=∠CDN，
∴∠CBF+∠CDE=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°，
∴DE∥BF；
（3）∵∠MBC+∠CDN=180°，
∴∠CDP+∠CBP=（∠MBC+∠CDN）=36°，
连接PC并延长，
∵∠DCE=∠CDP+∠CPD，∠BCE=∠CPB+∠CBP，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DPB+∠CBP+∠CDP，
∴∠DPB=90°-36°=54°．
【点睛】本题考查多边形内角和与外角，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
22．（1）9；（2）1080 或1260 或1440 ．
【分析】（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是 列出方程，求出的值，再由多边形的外角和为，求出此多边形的边数为；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．
【详解】解：（1）设每一个外角为，则与其相邻的内角等于，
，
，即多边形的每个外角为，
∵多边形的外角和为，
∴多边形的外角个数为：，
∴这个多边形的边数为；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①若剪去一角后边数减少1条，即变成边形，
内角和为，
②若剪去一角后边数不变，即变成边形，
内角和为，
③若剪去一角后边数增加1，即变成边形，
内角和为，
∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为或或 ．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
23．探究一：∠FDC+∠ECD=180°+∠A；探究二：∠DPC=90°+∠A；探究三：∠DPC=（∠A+∠B）；探究四：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°.
【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．
【详解】解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-∠ADC-∠ACD，
=180°-（∠ADC+∠ACD），
=180°-（180°-∠A），
=90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-∠ADC-∠BCD，
=180°-（∠ADC+∠BCD），
=180°-（360°-∠A-∠B），
=（∠A+∠B）；
探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2） 180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-∠EDC-∠BCD
=180°-（∠EDC+∠BCD）
=180°-（720°-∠A-∠B-∠E-∠F）
=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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