《20.2 数据的波动程度》同步练习
一、基础巩固
知识点1 方差的计算
1. [2022 滨州中考]今年我国小麦大丰收,农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦,测得其麦穗长(单位:cm)分别为8,8,6,7,9,9,7,8,10,8,那么这一组数据的方差为 ( )
A.1.5 B.1.4 C.1.3 D.1.2
2. [2022唐山期中]在一组数据1,2,2,3中,加入数字2,组成一组新的数据,对比前后两组数据,发生变化的是 ( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
知识点2 方差的意义及应用
3. [2022嘉兴中考]A,B两名射击运动员进行了相同次数的射击,下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中,能说明A成绩较好且更稳定的是 ( )
A.>且> B.>且<
C.<且> D.<且<
4. [2022山西中考]生物学研究表明,植物光合作用速率越高,单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率,科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株,在同等实验条件下,测量它们的光合作用速率(单位:μmol·m-2·s-1),结果统计如下:
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 .(填“甲”或“乙”)
5. [2022临沂兰山区期末]某校八年级(1)班准备从甲、乙两名男生中选派一人参加学校组织的一分钟跳绳比赛.在相同的条件下,分别对两名男生进行了8次一分钟跳绳测试,现将测试结果绘制成如下统计图表,请根据统计图表中的信息解答下列问题:
学生 平均数/个 中位数/个 众数/个 方差
甲 175 a b 93.75
乙 175 175 170,175,180 c
(1)求a,b的值.
(2)若八年级(1)班选一位成绩稳定的选手参赛,你认为应选谁 请说明理由.
(3)根据以上的数据,运用所学统计知识,任选两个角度评价甲、乙两名男生一分钟跳绳成绩谁更优秀.
知识点3 用样本方差估计总体方差
6. [2022焦作期末]每年的4月15日是我国全民国家安全教育日.某中学在全校七、八年级学生中开展“国家安全法”知识竞赛,并从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(竞赛成绩均为整数,满分10分,6分及以上为合格)进行统计.相关统计数据整理如下:抽取的八年级学生的竞赛成绩(单位:分):4,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,8,8,8,8,8,8,
9,9,10.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:a= ,b= .
(2)求出抽取的七年级学生成绩的方差s2.
(3)根据以上数据,从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的成绩谁更优异.
7. [2022重庆中考A卷]公司生产A,B两种型号的扫地机器人,为了解它们的扫地质量,工作人员从某月生产的A,B型扫地机器人中各随机抽取10台,在完全相同的条件下试验,记录下它们的除尘量的数据(单位:g),并进行整理、描述和分析(除尘量用x表示,共分为三个等级:合格80≤x<85,良好85≤x<95,优秀x≥95),下面给出了部分信息:
10台A型扫地机器人的除尘量:83,84,84,88,89,89,95,95,95,98.
10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据:85,90,90,90,94.
根据以上信息,解答下列问题.
(1)填空:a= ,b= ,m= .
(2)这个月公司生产B型扫地机器人共3 000台,估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数.
(3)根据以上数据,你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好 请说明理由.(写出一条理由即可)
二、能力提升
1. [2022安庆期末]已知一组数据a,b,c的平均数为5,方差为4,那么数据a-2,b-2,c-2的平均数和方差分别是 ( )
A.3,2 B.3,4 C.5,2 D.5,4
2. [2021盘锦中考]甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示,从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3. [2022安庆期末]小芳的妈妈利用业余时间在小区摆地摊,小芳对妈妈某周7天的收入(单位:元)进行分析,并列出了方差的计算公式:s2=[(90-)2×2+(100-)2×3+(110-)2×2].则这7天收入的平均数与方差分别为( )
A.100元, B.100元,60
C.110元, D.110元,70
4. [2021南阳宛城区期末]已知数据A为1,2,3,x,数据B为3,4,5,6,若数据A的方差比数据B的方差小,则x的值可能是 ( )
A.5 B.4 C.2 D.0
5. [2021许昌期末]某机床生产一种零件,在6月6日至9日这4天中出现次品的数量如下表:
日期 6月6日 6月7日 6月8日 6月9日
次品数量/个 1 0 2 a
若出现次品数量的唯一众数为1,则数据1,0,2,a的方差等于 .
6. [2021南京期末]为了强化学生的环保意识,某校团委在全校举办了“保护环境,人人有责”知识竞赛活动,初、高中根据初赛成绩,各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队进行复赛,两个队学生的复赛成绩(单位:分)如图所示:
(1)将表中数据补充完整.
平均数 中位数 众数 方差
初中队 8.5 0.7
高中队 8.5 10
(2)小明说:“这次复赛我得了8分,在我们队中排名属中游偏下!”小明是初中队,还是高中队的学生 为什么
(3)结合两队成绩的平均分、中位数和方差,分析哪个队的复赛成绩较好.
参考答案
一、基础巩固
1. D 这一组数据的平均数为×(8+8+6+7+9+9+7+8+10+8)=8,故这一组数据的方差为×[4×(8-8)2+(6-8)2+2×(7-8)2+2×(9-8)2+(10-8)2]=1.2.
2. D 由题意可知,原数据的中位数为=2,众数为2,平均数为=2,方差为=;加入数字2后,新数据的中位数为2,众数为2,平均数为=2,方差为=.所以发生变化的是方差.
3. B
4. 乙 =[(32-25)2+(30-25)2+(25-25)2+(18-25)2+(20-25)2]=29.6;=[(28-25)2+(25-25)2+(26-25)2+(24-25)2+(22-25)2]=4.∵29.6>4,∴两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙.
5. 解:(1)甲的成绩从小到大排列为160,165,165,175,180,185,185,185,
所以甲的中位数a==177.5,
因为185出现了3次,出现的次数最多,所以众数b=185.
(2)应选乙.理由如下:
乙的方差为×[2×(175-175)2+2×(180-175)2+2×(170-175)2+(185-175)2+(165-175)2]=37.5,
由于乙的方差小于甲的方差,所以乙的成绩比甲的成绩稳定,故选乙.
(3)①因为甲与乙的平均数相同,而乙的方差较小,乙的成绩比较稳定,所以乙更优秀一些.
②因为甲与乙的平均数相同,而甲的中位数较大,所以甲更优秀一些.(答案不唯一,合理即可)
6. 解:(1)7 8
由条形统计图易得a==7.八年级学生的竞赛成绩中8分出现的最多,所以b=8.
(2)七年级学生成绩的方差s2=[(4-7)2+3×(5-7)2+4×(6-7)2+5×(7-7)2+3×(8-7)2+2×(9-7)2+2×(10-7)2]=×54=2.7.
(3)因为七年级和八年级成绩的平均数和中位数都相等,从方差看,八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差,所以八年级的成绩更稳定,成绩更优异.
7. 解:(1)95 90 20
(2)∵从B型扫地机器人抽取的10台中,“优秀”等级的百分比是30%,
∴估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数为3 000×30%=900(台).
答:估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数为900台.
(3)A型扫地机器人扫地质量更好.
理由:①A型扫地机器人除尘量的众数95高于B型扫地机器人除尘量的众数90;
②A,B型扫地机器人除尘量的平均数都是90,A型扫地机器人除尘量的方差26.6低于B型扫地机器人除尘量的方差30;
③A型扫地机器人除尘量的“优秀”等级所占百分比40%高于B型扫地机器人除尘量的“优秀”等级所占百分比30%.
B型扫地机器人扫地质量更好.
理由:B型扫地机器人除尘量的中位数90高于A型扫地机器人除尘量的中位数89.
(答案不唯一,写出一条理由即可)
二、能力提升
1. B ∵数据a,b,c的平均数为5,∴(a+b+c)=5,∴(a-2+b-2+c-2)=(a+b+c)-2=5-2=3,∴数据a-2,b-2,c-2的平均数是3.∵数据a,b,c的方差为4,∴[(a-5)2+(b-5)2+(c-5)2]=4,∴a-2,b-2,c-2的方差为[(a-2-3)2+(b-2-3)2+(c-2-3)2]=[(a-5)2+(b-5)2+(c-5)2]=4.
2. C 由折线统计图得,甲、乙的成绩在91分附近波动,丙、丁的成绩在92分附近波动,所以丙、丁的平均成绩高于甲、乙;由折线统计图得,丙成绩的波动幅度小于丁成绩的波动幅度,所以这四人中丙的平均成绩较高又发挥稳定.
3. A 由方差公式可知,这组数据为90,90,100,100,100,110,110,故=(90×2+100×3+110×2)=100(元),s2=[(90-100)2×2+(100-100)2×3+(110-100)2×2]=.
4. C 数据3,4,5,6中,相邻两个数相差1,数据1,2,3,x的前3个数据中,相邻两个数也是相差1,当x=0或x=4时,两组数据方差相等,而数据1,2,3,x的方差比数据3,4,5,6的方差小,结合选项,可知x的值可能是2.
5. 因为出现次品数量的唯一众数为1,所以a=1,所以这组数据的平均数为=1,方差为[(1-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(1-1)2]=.
6. 解:(1)由条形统计图知,初中队成绩:7.5,8,8.5,8.5,10.高中队的成绩:7,7.5,8,10,10.所以初中队成绩的平均数为=8.5(分),众数为8.5分.高中队成绩的中位数为8分,方差为×[(7-8.5)2+(7.5-8.5)2+(8-8.5)2+2×(10-8.5)2]=
1.6.
补全的表格如下:
平均数 中位数 众数 方差
初中队 8.5 8.5 8.5 0.7
高中队 8.5 8 10 1.6
(2)小明在初中队.理由如下:
根据(1)可知,初中队、高中队的中位数分别为8.5分和8分,因为8<8.5,所以小明在初中队.
(3)因为两个队的平均数相同,初中队的中位数高,而且初中队的方差小于高中队的方差,所以初中队的复赛成绩较好
