东方市2023年中考备考第一轮模拟检测
数学科试卷
温馨提示：本卷满分120分，考试时间100分钟，请将答案写在答题卡上
一、选择题（本大题36分，每小题3分）
在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．
1．实数3的相反数是（）
A． B．3 C． D．
2．当地球与火星两颗行星都位于距离太阳最远点，且位于太阳的两边时，两者之间距离最远，大约为401000000千米，将数据401000000用科学记数法表示为（）
A． B． C． D．
3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A． B． C． D．
4．下列数轴中，表示正确的是（）
A． B．
C． D．
5．下列运算中，正确的是（）
A． B． C． D．
6．分式方程的解是（）
A． B． C． D．无解
7．反比例函数经过点（，4），则k的值为（）
A．4 B． C．8 D．
8．如图，AB、CD相交于点O，，如果，那么的度数为（）
A．80° B．90° C．100° D．110°
9．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED（点B旋转至点E，点C旋转至点D），若线段，则BE的长为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，C，D在⊙O上，AB是直径，，则（）
A．64° B．32° C．30° D．26°
11．如图，在Rt△ABC中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则△ACG的面积是（）
A．1 B． C． D．2
12．如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）
A．6 B．9 C．12 D．13．
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13．分解因式：________．
14．张老师要去商店买一套衣服，上衣的标价是a元，裤子的标价是b元，张老师要付________元．
15．如图，矩形ABCD中，，，AB在数轴上，且点A与原点重合，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数是________．
16．如图，在正方形ABCD中，边长，点Q是边CD的中点，点P是线段AC上的动点，则的最小值为________．
三、解答题（本大题满分72分）
17．计算：（每小题6分，共12分）
（1）； （2）
18．（满分10分）为丰富学生的课余生活，某中学计划购买若干篮球和足球．据了解，买6个篮球和10个足球需要1700元；买10个篮球和20个足球需要3100元．求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
19．（满分10分）某校在“爱心捐款”活动中，同学们都献出了自己的爱心，他们的捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况，根据随机抽样统计数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样的学生人数是________，捐款10元的人数是________；
（2）本次捐款金额的中位数是________元；
（3）已知捐款金额为5元的6名同学中有4名男生和2名女生，若从这6名同学中随机抽取一名进行访谈，且每一名同学被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是________；
（4）该校学生总人数为1000人，请估计该校一共捐款________元．
20．（满分10分）为建设成为“宜居宜业宜游”的城市，东方计划对市内感恩河某河段进行区域性景观打造．如图，某施工单位测量员先在点M处观测到河对岸有两座凉亭，且凉亭A在M点正南方向，然后向正东方向走200米后到达点N处，此时观测到凉亭A在南偏西30°
方向上，凉亭B在东南方向上．MN
（1）填空：________度，________度；
（2）请你求出该河段的宽度AM（结果保留根号）；
（3）请你求出两座凉亭之间的距离AB（结果保留根号）．
21．（满分15分）如图，在矩形ABCD中，，，P为边AB上一点，连接CP，过点P作交AD于点Q，连接CQ，当CQ平分时：
（1）证明：△PCQ≌△DCQ；
（2）求线段PQ的长；
（3）求四边形PQDC的面积；
（4）M为直线DC或直线DA上一点，在平面内是否存在点N，使以P，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出DM的长度；若不存在，请说明理由．
22．（满分15分）如图，抛物线与x轴交于点A（，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PBC的面积最大？并求出最大面积；
（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由，
东方市2022-2023学年度第二学期九年级第一次模拟检测数学科参考答案
一、选择题：1—5：A、C、B、B、A 6—10：B、D、C、A、D 11—12：D、C
二、填空题：13： 14： 15： 16：
三、17．（1）原式 （4分）
（6分）
（2）原式 （4分）
（6分）
18．解：设每个篮球的价格是x元，每个足球的价格是y元． （1分）
（5分）
解得： （9分）
答：每个篮球的价格是150元，每个足球的价格是80元． （10分）
19．（1）50 18 （4分）
（2）15 （6分）
（3） （8分）
（4）13000 （10分）
20．（1）30° 75° （4分）
（2）如图所示，
在Rt△AMN中，
∵，
∴，解得： （3分）
（3）过点N做于点C，在Rt△BCN中，
∵，
∴，解得：
∴
21．（1），解：（1）由题可知，
∵矩形ABCD，
∴，即，
∵CQ平分，
∴，
在△PCQ和△DCQ中，
，
∴△PCQ≌△DCQ（AAS） （4分）
（2）∵矩形ABCD，
∴，
由（1）知，，
在Rt△BPC，，，
由勾股定理可得，
∴，
设，则，，
在Rt△APQ中，由勾股定理得：
，
即，
解得：，即： （8分）
（3）由（1）（2）可知：
．
∴四边形PQDC的面积为． （11分）
（4）存在，DM的长度分别为2、、或．
理由如下：
①当PC为矩形的对角线时，
如图，过点P作于点M，点N与点B重合，
则四边形PNCM是矩形，此时．
②当PC为矩形的边时
（Ⅰ）如图，分别过点P、C作交AD于点，
作且，连接，
则四边形（与Q重合）是矩形，
此时；
（Ⅱ）如图，延长PQ交CD的延长线于点，过点C作且，连接，
则四边形是矩形，
可证，
∴，即，
∵，
∴；
（Ⅲ）如图，过点C作交AD的延长线于点，延长PQ至使得，
连接，
则四边形是矩形，
可证，
∴，即，
∵，
∴． （15分）
22．解：（1）解：∵抛物线过点A（，0）和C（0，8），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为． （4分）
（2）∵抛物线的解析式为．
令，得．
解得，．
∴点B的坐标为（8，0）．
如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．
∵抛物线的解析式为，
∴顶点D的坐标为．
∴
．
（7分）
（3）解：设直线BC的解析式为．把点B（8，0），C（0，8）分别代入，
得，解得，
∴直线BC的解析式为．
如图2，过点P作轴，交x轴于点F，交BC于点G．
设点，．
∴．
∴
∴当时△PBC的面积最大，最大面积为32． （11分）
（4）存在，点M的坐标为（3，0）或（3，）或（3，）或（3，）
（15分）
理由如下：
∵△BEM为等腰三角形，
∴或或，
设M（3，m），
∵B（8，0），E（3，5），
∴，，，
当时，，
∴，解得：，
∴M（3，0）；
当时，，
∴，
解得：或（舍去），
∴M（3，）；
当时，，
解得：或，
∴M（3，）或（3，）．
综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，）或（3，）或（3，）．
