2023年广东省茂名市茂南区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，负数是( )
A. B. C. D.
2. 预计到年我国高铁运营里程将达到千米，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
5. 在中，，，，则的值是( )
A. B. C. D.
6. 已知，则的值是( )
A. B. C. D.
7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与，分别交于点，点，连结当，时，则的周长是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，、是圆的切线，切点分别为、，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
10. 如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：；；；其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算： ．
12. 正多边形的一个内角是，则它的边数是 ．
13. 某公司组织内部抽奖活动，共准备了张奖券，设一等奖个，二等奖个，三等奖个．若每张奖券获奖的可能性相同，则一张奖券中一等奖的概率为______．
14. 如果，那么的值是______．
15. 如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，，按此方法继续下去，第个等腰三角形的底角度数是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
解不等式组：．
17. 本小题分
如图，在和中，于，于，，与相交于点求证：≌．
18. 本小题分
学校准备购置一批教师办公桌椅，已知套型桌椅和套型桌椅共需元，套型桌椅和套型桌椅共需元．
求一套型桌椅和一套型桌椅的售价各是多少元；
学校准备购进这两种型号的办公桌椅套，平均每套桌椅需要运费元，并且型桌椅的套数不多于型桌椅的套数的倍．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
19. 本小题分
某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请解答下列问题：
在这次调查中，该学校一共抽样调查了______名学生；
补全条形统计图；
若该学校共有名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．
20. 本小题分
如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．
21. 本小题分
如图，为的直径，、为上不同于、的两点，，连接，过点作，垂足为，直径与的延长线相交于点．
求证：是的切线；
当，时，求的长．
22. 本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．
求的值和抛物线的解析式．
为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是负数，，是正数，既不是正数也不是负数，
故选：．
根据负数的定义即可得出答案．
本题考查了实数，掌握在正数前面添加“”得到负数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：将数据用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
4.【答案】
【解析】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为，即，
故选：．
根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图所示：
，，，
，
．
故选：．
直接利用勾股定理得出的长，再利用锐角三角函数得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角关系是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，，
解得：，，
故．
故选：．
直接利用绝对值和算术平方根的非负性分别化简得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：一元二次方程有实数根，
，
．
故选：．
若一元二次方程有实数根，则．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，关键是根据题意列出不等式．
8.【答案】
【解析】解：由作法得垂直平分，
，
的周长．
故选：．
利用基本作图得到垂直平分，则，然后利用等线段代换得到的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质．
9.【答案】
【解析】解：连接，
、是圆的切线，
，，
，
，
的长，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，，根据四边形内角和等于求出，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：因为四边形是正方形，是边上的中点，
所以，，，
在与中
所以，
所以，
故正确；
因为四边形是正方形，
所以，，，
在与中
所以，
所以，
因为
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
故正确；
因为，
所以，
所以，
即，
故正确；
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
故正确；
故选：．
根据正方形的性质证得，推出，可知正确；
利用正方形性质证，求得，推出，进而求出，最后在中根据三角形的内角和是求得即可得到正确．
根据，求出，推出，即；，故正确；
由，得到邻补角和对顶角相等得到，故正确；
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：四边相等，两两垂直；四个内角相等，都是度；对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．
11.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据零指数数，负整数指数幂和二次根式的性质求解即可．
本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：一个正多边形的一个内角是，
正多边形的外角是，
，
正多边形的边数是．
故答案为：．
一个正多边形的一个内角是，则这个多边形的一个外角是，用除以即可得出正多边形的边数．
本题主要考查正多边形和圆，多边形的内角与外角，求解正多边形一个外角的度数是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：一张奖券中一等奖，
故答案为．
直接利用概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14.【答案】
【解析】解：，
原式
．
故答案为：．
原式前两项提取公因式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，是的外角，
；
同理可得，，
第个三角形中以为顶点的底角度数是 ．
第个等腰三角形的底角度数是．
故答案为 ．
根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个等腰三角形的底角度数．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．
16.【答案】 解：
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
【解析】
【分析】
按照解一元一次不等式组的步骤解答即可．
【解答】
解：
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
【点评】
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题的关键．
17.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌．
【解析】由“”可证≌；
本题考查了全等三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
18.【答案】解：设一套型桌椅的售价是元，一套型桌椅的售价是元，
依题意，得：，
解得：．
答：一套型桌椅的售价是元，一套型桌椅的售价是元．
设购进型桌椅套，则购进型桌椅套，
依题意，得：，
解得：．
再设购买费及运费的总和为元，
依题意，得：．
，
值随着值的增大而减小，
当购进型桌椅套、型桌椅套时，总费用最少，最少费用为元．
【解析】设一套型桌椅的售价是元，一套型桌椅的售价是元，根据“购进套型桌椅和套型桌椅共需元；购进套型桌椅和套型桌椅共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进型桌椅套，则购进型桌椅套，由购进型桌椅的套数不多于型桌椅的套数的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再设购买费及运费的总和为元，根据总费用购买单价购买数量每套的运费套数，即可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质即可找出最省钱的购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
19.【答案】
【解析】解：本次调查中，该学校调查的学生人数为人，
故答案为：；
步行的人数为人，
补全图形如下：
估计该学校学生中选择“步行”方式的人数为人．
根据乘车的人数及其所占百分比可得总人数；
根据各种交通方式的人数之和等于总人数求得步行人数，据此可得；
用总人数乘以样本中步行人数所占比例可得．
此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20.【答案】解：证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点，
，
，且，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
设到的距离为，
，，，
．
【解析】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积．
先证明，得，根据一组对边平行且相等可得四边形是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得，根据菱形的判定即可证明四边形是菱形；
先根据菱形和三角形的面积可得菱形的面积直角三角形的面积，即可解答．
21.【答案】解：连接如图所示：
，
．
又，
．
又，
，
．
，
．
又为的半径，
为的切线；
连接如图所示：
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
【解析】连接先根据等边对等角及三角形外角的性质得出，由已知，得到，则，再由，得到，根据切线的判定即可证明为的切线；
连接由圆周角定理得出，证出，得出，求出，得出，再由即可求出．
本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是中，需要运用三角函数、平行线得出比例式才能得出结果．
22.【答案】解：把代入，得，
解得，
直线的解析式为，
，
把分别代入，
解得，
抛物线的解析式为；
解：，
，，
有两种情况：
当点在点的上方时，，
四边形为平行四边形，
，即，
解得，
当点在点的下方时，
，
同理，，
解得，
综上所述，的值为或．
【解析】利用待定系数法将代入即可得到函数解析式；
根据平行四边形的性质即可得到，分两种情况得到的值．
本题考查了二次函数的综合运用和数形结合思想，理解二次函数最值的求法是解题的关键．
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