2023年广东省东莞市南城阳光实验中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 国家统计局发布年国内生产总值达到亿元，比上年增长将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
4. 如图是由若干个完全相同的立方体搭成的几何体，该几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列计算结果正确的是( )
A. B. C. D.
6. 某校位同学在“国学经典诵读”比赛中，成绩单位：分分别是，，，，这组数据的中位数是( )
A. B. C. D.
7. 如图所示，直线，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8. 在数轴上表示不等式组的解，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，点、、都在格点上，则的正切值是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图所示，正方形中，对角线、相交于点，平分，分别交、于、，下列结论：
∽；
；
；
若的面积为，则正方形的面积为．
其中正确的结论的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式： ．
12. 已知圆锥的底面半径是，母线长，则侧面积是 ．
13. 在阳光下，高为的旗杆在地面上的影长为，在同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为，则这座建筑物的高度为
14. 如图，将直角三角板放在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将三角板沿轴正方向平移，点的对应点刚好落在反比例函数的图象上，则点平移的距离______．
15. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第行从左至右第个数是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：．
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
如图，是四边形的一条对角线．
作的垂直平分线，分别交，于点，垂足为点要求用尺规作图，保留作图痕迹不要求写作法；
若，，，求的长．
19. 本小题分
我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，丰都某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程研学旅行开展以来引起广泛关注，九年级班数学兴趣小组对本班同学对研学旅行课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
九年级班共有学生 名；
九年级共有学生人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择类的大约有多少人？
该校德育处决定从九年级二班调查的类的人中，抽人到八年级开展研学宣讲，若在调查的类人中，刚好有名男生名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率．
20. 本小题分
某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高元，用元购买台灯的数量和用元购买手电筒的数量相等．
求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？
经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的倍还多个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过元，那么公司最多可购买多少盏台灯？
21. 本小题分
如图在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
求反比例函数的解析式；
请直接写出不等式的解集；
点为反比例函数图象的任意一点，若，求点的坐标．
22. 本小题分
如图，是的直径，点、在上，且平分，过点作的垂线，与的延长线相交于，与的延长线相交于点，为的下半圆弧的中点，交于，连接、．
证明：是的切线；
若圆的半径，，求的长；
求证：．
23. 本小题分
如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，顶点为．
求抛物线的解析式及顶点的坐标；
若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是：，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：从左面看有两层，底层是三个正方形，上层的中间是一个正方形．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项运算法则判断，根据单项式除以单项式的运算法则判断，根据单项式乘单项式的运算法则判断，根据积的乘方与幂的乘方运算法则判断．
本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘以单项式，单项式除以单项式，幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：将个同学的成绩重新排列为：、、、、，
所以这组数据的中位数为分，
故选：．
先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．
本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据三角形外角的性质，欲求，需求根据平行线的性质，由，得，从而解决此题．
本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：过点作于点，
由勾股定理可知：，
，
由图可知：，
，
，
在中，
由勾股定理可知：
，
．
故选：．
过点作于点，根据的面积可求出的长度，然后根据勾股定理可求出的长度，最好根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用好勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
10.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，
平分，
，
∽；
故正确；
作于．
平分，，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
故正确；
，，
，
，
，
故错误；
如图，过点作于点，
同可知，
设，
，
，
，
，
，
．
故错误．
故选：．
求出，根据相似三角形的判定可得出答案；作于由角平分线的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；由等腰直角三角形的性质得出，可判断错误，过点作于点，设，，根据三角形面积公式可判断错误．
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
11.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
12.【答案】
【解析】解：圆锥的底面周长是：，
则圆锥的侧面积是：．
故答案是：．
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
本题考查了扇形的面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
13.【答案】
【解析】解：设建筑物高度为，
由题意得，，
解得，
答：这座建筑物的高度为．
故答案为：．
设建筑物高度为，然后根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．
14.【答案】
【解析】解：点，的坐标分别为，将三角板沿轴正方向平移，
点的纵坐标为，，
当时，，解得，
，
，
．
故答案为：．
先根据平移的性质得到点的纵坐标为，，则利用反比例函数解析式可确定，则，从而得到的长度．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了平移的性质．
15.【答案】
【解析】解：，，，
第行最后一个数的被开方数是，
则第行从左到右第个数是，
第行从左至右第个数是，
故答案为：．
图形可知，第行从左到右第个数是，据此可得答案．
本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第行从左到右第个数是．
16.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
17.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】本题考查分式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入即可解答本题．
18.【答案】解：如图所示：直线即为所求；
证明：连接，
垂直平分线段，，
，，
设，则，
即，
解得：，
的长为．
【解析】分别以、为圆心，以大于一半的长为半径上下画弧，上下各有一个交点，这两点的连线即为所求；
连接，根据垂直平分线的性质得出，设，则，利用勾股定理求解即可．
本题综合考查了如何作线段的垂直平分线、矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理解三角形等，熟记作图步骤，灵活运用线段垂直平分线的性质和判定进行线段关系的转化是解题关键．
19.【答案】
【解析】解：九年级班共有学生：名，
故答案为：；
人，
答：估计九年级学生选择类的大约有人；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有种，
抽到的一男一女的概率为．
由类的人数除以所占的百分比得出九年级班的人数，即可解决问题；
由九年级共有学生人数乘以类人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：设购买该品牌一个手电筒需要元，则购买一个台灯需要元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以，
答：购买一个台灯需要元，购买一个手电筒需要元；
设公司购买台灯的个数为，则还需要购买手电筒的个数是，
由题意得：，
解得，
答：公司最多可购买个该品牌的台灯．
【解析】设购买该品牌一个手电筒需要元，则购买一个台灯需要元，根据用元购买台灯的数量和用元购买手电筒的数量相等，即可列出方程；
设公司购买台灯的个数为，则还需要购买手电筒的个数是，根据购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠，购买台灯和手电筒的总费用不超过元，即可列出不等式．
本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是能够根据题意，找到等量关系和不等关系．
21.【答案】解：把点代入直线得：
，
解得：，
点的坐标为：，
反比例函数的图象过点，
，
即反比例函数的解析式为，
把点代入直线得，，
解得，
，
观察函数图象，发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
不等式的解集为或；
把代入得：，
解得：，
即点的坐标为：，
，
，
，即，
，
当点的纵坐标为时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
【解析】把点代入直线得到关于的一元一次方程，解之，得到点的坐标，把点的坐标代入反比例函数，即可求得的值，即可得到答案，
把点代入直线得到关于的一元一次方程，解之，得到点的坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象的上方的的取值范围，即可得到答案；
把代入一次函数解析式，解之得到点的坐标，求出的面积，进一步求得的面积，根据三角形面积公式即可求得的纵坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键．
22.【答案】证明：连接，
，
又平分，
，
，
又，
，
为半径，
是的切线；
解：连接，
是半圆弧中点，
在中，，．
．
证明：由知是的切线，
，
，
∽，
，即．
【解析】由题意可证，且，可得，即是的切线；
由题意可得，根据勾股定理可求的长；
根据相似三角形的判定与性质可得答案．
本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用切线的判定和性质解决问题是本题的关键．
23.【答案】解：将、代入得：
，解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；
过点作轴，交于点，如图所示：
设，直线的解析式为，
由可知：，，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
，
轴，
，
，
当时，的值最大，
．
过作交抛物线于，作关于的对称点，连接交于，过作轴于，连接并延长交抛物线于，如图：
，
，是满足条件的点，
，、关于直线对称，
，
，
，，
，
而，，
∽，
，即，
，
，
又，，
∽，
，即，
，，
，
，
、关于对称，
是的中点，，
直线与抛物线交点是满足条件的点，
而，
，
设直线为，
则，
解得，
直线为，
由得舍去或，
，
综上所述，若，点的坐标为或
【解析】将、代入，用待定系数法即可得抛物线的解析式为，化为顶点式可得顶点坐标；
过点作轴，交于点，设，直线的解析式为，然后求出直线的解析式为：，得到点坐标，进而可得，最后根据进行求解；
过作交抛物线于，作关于的对称点，连接交于，过作轴于，连接并延长交抛物线于，由，知，是满足条件的点，即得，根据∽，可求，，根据∽，可求，，即得，而、关于对称，故是的中点，，直线与抛物线交点是满足条件的点，可得，直线为，由即得
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标的特征、相似三角形的判定及性质、对称变换等知识，解题的关键是求出关于的对称点的坐标．
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