湖北省潜江市积玉口中学2023年中考数学联考试卷（3月份）（解析版）
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球277000000千米；277000000用科学记数法表示为（ ）
A．277×106 B．2.77×107 C．2.8×108 D．2.77×108
3．如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件
B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是
5．对于任意的实数m，关于x的方程x2﹣mx﹣＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
6．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
7．反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
8．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．110° B．120° C．125° D．130°
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算＝ ．
12．一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是 ．
13．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 度．
14．如图，D是矩形AOBC的对称中心，A（0，4），B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为 ．
15．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGF∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝2OG OC．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题（本题共9小题，共75分）
16．（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（2）先化简，再求值：，其中，．
17．如图，矩形ABCD内接于⊙O．请用直尺（不带刻度）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）在图1中，作出圆心O；
（2）在如图2中，点E是AD边的中点，连接BD，作出∠DBC的角平分线．
18．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
19．为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有 人；
（2）条形统计图中m的值为 ，扇形统计图中α的度数为 ；
（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
20．如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．
21．设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），
①求函数y1，y2的表达式：
②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．
（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．
22．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．
（1）第40天，该厂生产该产品的利润是 元；
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且＝，连接FB，FD，FD交AB于点N．
（1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径；
（2）求证：△BNF为等腰三角形；
（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON OP＝OE OM．
24．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；
（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球277000000千米；277000000用科学记数法表示为（ ）
A．277×106 B．2.77×107 C．2.8×108 D．2.77×108
【分析】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
【解答】解：277000000＝2.77×108．
故选：D．
【点评】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法—表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
3．如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视方向判断出主视图即可．
【解答】解：由图可知主视图为：
故选：C．
【点评】本题主要考查视图的知识，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
4．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件
B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是
【分析】根据三角形内角和定理判断A选项；根据普查与抽样调查判断B选项；根据抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确判断C选项；根据三种信号灯持续的时间一般不相等判断D选项．
【解答】解：A选项，三角形内角和为180°，故该选项符合题意；
B选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；
C选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；
D选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，随机事件，掌握三种信号灯持续的时间一般不相等是解题的关键．
5．对于任意的实数m，关于x的方程x2﹣mx﹣＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可．
【解答】解：Δ＝m2﹣4×1×（﹣）＝m2+2，
∵m2≥0，
∴m2+2≥2，即Δ＞0，
∴x2﹣mx﹣＝0有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．
6．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2，
故选：A．
【点评】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，周长比等于相似比是解题的关键．
7．反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；
由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数y＝﹣的图象关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
【点评】考查反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y＝x和y＝﹣x是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．
8．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．110° B．120° C．125° D．130°
【分析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理可求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵a＜c，
∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；
②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，
∴b＜0，
∴对称轴x＝﹣＞1，
∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；
③∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，
对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，
∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
【分析】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D的坐标．
【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得
D点坐标为（，），即（1，1）．
每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，
2700°÷360＝7.5周，
OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的性质及旋转的性质，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算＝ ．
【分析】根据二次根式的性质、绝对值的意义及特殊角的三角函数值进行化简，继而计算即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的性质、绝对值的意义及特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是 ．
【分析】用袋子中编号为偶数的小球的数量除以球的总个数即可得．
【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出编号为偶数的球的结果数为3，
∴摸出编号为偶数的球的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 100 度．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式得到2π×2.5＝，再解关于n的方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π×2.5＝，解得n＝100，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为100°．
故答案为：100．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．如图，D是矩形AOBC的对称中心，A（0，4），B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为 （，4） ．
【分析】根据矩形的性质求得C（6，4），由D是矩形AOBC的对称中心，求得D（3，2），设反比例函数的解析式为y＝，代入D点的坐标，即可求得k的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得M点的坐标．
【解答】解：∵A（0，4），B（6，0），
∴C（6，4），
∵D是矩形AOBC的对称中心，
∴D（3，2），
设反比例函数的解析式为y＝，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把y＝4代入得4＝，解得x＝，
故M的坐标为（，4）．
故答案为（，4）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得D点的坐标是解题的关键．
15．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGF∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝2OG OC．其中正确的结论是 ①③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【分析】利用ASA证明△COE≌△DOF即可判断①；得到S△COE＝S△DOF，进而推出S△COD＝S四边形CEOF，再由正方形的性质得到，则，即可判断③；由∠FGO不一定是90°，得到∠FGO＝∠CGF不一定成立，即可判断△OGF与△FGC不一定相似，即可判断②；证明△OEG∽△OCE，得到OE2＝OC OG，根据勾股定理得CF2+CE2＝EF2，再由BE＝CF，得到DF2+BE2＝EF2，在等腰直角△OEF中，EF2＝2OE2，则DF2+BE2＝2OC OG，即可判断④．
【解答】解：∵正方形ABCD，∠EOF＝90°，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC＝∠COD＝90°，∠ODF＝∠OCD＝∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠DOF＝90°﹣∠COF＝∠COE，
在△DOF和△COE中：
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
∴S△COE＝S△DOF，
∴S△COE+S△COF＝S△DOF+S△COF，
∴S△COD＝S四边形CEOF，
∵正方形ABCD，
∴，
∴，
故③正确；
∵∠FGO不一定是90°，
∴∠FGO＝∠CGF不一定成立，
∴△OGF与△FGC不一定相似，故②错误；
∵△COE≌△DOF，
∴OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴∠OEG＝∠OCE＝45°，
又∵∠EOG＝∠COE，
∴△OEG∽△OCE，
∴，
∴OE2＝OC OG．
在直角△CEF中，根据勾股定理得CF2+CE2＝EF2，
∵△COE≌△DOF，
∴DF＝CE，
又∵BC＝DC，
∴BE＝CF，
∴DF2+BE2＝EF2，
在等腰直角△OEF中，EF2＝2OE2，
∴DF2+BE2＝2OC OG，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明△COE≌△DOF是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共75分）
16．（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（2）先化简，再求值：，其中，．
【分析】（1）先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，即可得到不等式组的解集；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）解不等式x+1＜5，得：x＜4，
解不等式2（x+4）＞3x+7，得：x＜1，
则不等式组的解集为x＜1．
解集在数轴上表示如图所示：
（2）
＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝．
【点评】此题主要考查了不等式组的解法，分式的化简求值，解不等式组时，关键是把握准不等式组解集的准确找法．
17．如图，矩形ABCD内接于⊙O．请用直尺（不带刻度）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）在图1中，作出圆心O；
（2）在如图2中，点E是AD边的中点，连接BD，作出∠DBC的角平分线．
【分析】（1）根据矩形ABCD内接于⊙O及矩形中心对称的性质即可得到圆心与矩形对称中心重合，连接AC，BD交点即为圆心O；
（2）找到圆心O，过圆心作CD的垂线交弧CD于一点F，根据垂径定理及圆周角定理可知连接BF即可得到答案．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD内接于⊙O，
∴圆心即为矩形对称中心，
连接AC，BD交于一点即为圆心O，如图所示，
；
（2）找到圆心O，过圆心作CD的垂线交弧CD于一点F，根据垂径定理及圆周角定理可知连接BF即为∠DBC的角平分线，
；
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的中心对称性，解题的关键是熟练掌握矩形的中心对称性与圆的中心对称性．
18．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，可知Δ≥0，即可求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和（x1+1）（x2+1）＝﹣1，可以求得k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤，
即k的取值范围是k≤；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方有根时Δ≥0，以及根与系数的关系．
19．为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有 60 人；
（2）条形统计图中m的值为 11 ，扇形统计图中α的度数为 90° ；
（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 100 人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【分析】（1）利用24÷40%即可求出参加问卷调查的学生人数．
（2）根据m＝60﹣10﹣24﹣15，α＝360°×即可得出答案．
（3）用该校总人数乘以样本中最喜欢“音乐社团”的占比即可．
（4）画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）24÷40%＝60（人），
∴参加问卷调查的学生共有60人．
故答案为：60．
（2）m＝60﹣10﹣24﹣15＝11，
α＝360°×＝90°，
故答案为：11；90°．
（3）600×＝100（人），
∴估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人．
故答案为：100．
（4）画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
20．如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得AB＝DE＝20m，先在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：
AB＝DE＝20m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，
∴AE＝＝＝20（m），
在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴CE＝AE tan45°＝20×1＝20（m），
∴CD＝CE+DE＝（20+20）m，
∴信号塔的高度为（20+20）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），
①求函数y1，y2的表达式：
②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．
（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②利用函数图象分析比较；
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．
【解答】解：（1）①把点B（3，1）代入y1＝，
1＝，
解得：k1＝3，
∴函数y1的表达式为y1＝，
把点A（1，m）代入y1＝，解得m＝3，
把点A（1，3），点B（3，1）代入y2＝k2x+b，
，
解得，
∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+4；
②由图知，当2＜x＜3时，y1＜y2；
（2）由平移，可得点D坐标为（﹣3，n﹣3），
∴﹣3（n﹣3）＝2n，
解得：，
∴n的值为．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图象性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想是解题的关键．
22．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．
（1）第40天，该厂生产该产品的利润是 1600 元；
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
【分析】（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40，则可求得第40天的利润．
（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
【解答】解：
（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40
则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元
故答案为1600
（2）①
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得
，解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+70
（Ⅰ）当0＜x＜30时
w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120）
＝﹣2x2+100x+1200
＝﹣2（x﹣25）2+2450
∴当x＝25时，w最大值＝2450
（Ⅱ）当30≤x≤50时，
w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800
∵w随x的增大而减小
∴当x＝30时，w最大值＝2400
∴w＝，
第25天的利润最大，最大利润为2450元
②（Ⅰ）当0＜x≤30时，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400，
解得x1＝20，x2＝30
∵抛物线w＝﹣2（x﹣25）2+2450开口向下
由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400
此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天
（Ⅱ）当30＜x≤50时，
由①可知当天利润均低于2400元
综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且＝，连接FB，FD，FD交AB于点N．
（1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径；
（2）求证：△BNF为等腰三角形；
（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON OP＝OE OM．
【分析】（1）连接BC，AC，AD，通过证明△ACE∽△CEB，可得，可求BE的长，即可求⊙O的半径；
（2）通过证明△ADE≌△NDE，可得∠DAN＝∠DNA，即可证BN＝BF，可得△BNF为等腰三角形；
（3）通过证明△ODE∽△OMD，可得DO2＝OE OM，通过证明△PCO∽△CNO，可得CO2＝PO ON，即可得结论．
【解答】解：（1）如图1，连接BC，AC，AD，
∵CD⊥AB，AB是直径
∴，CE＝DE＝CD＝3
∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB
∴△ACE∽△CEB
∴
∴
∴BE＝9
∴AB＝AE+BE＝10
∴⊙O的半径为5
（2）∵＝
∴∠ACD＝∠ADC＝∠CDF，且DE＝DE，∠AED＝∠NED＝90°
∴△ADE≌△NDE（ASA）
∴∠DAN＝∠DNA，AE＝EN
∵∠DAB＝∠DFB，∠AND＝∠FNB
∴∠FNB＝∠DFB
∴BN＝BF，
∴△BNF是等腰三角形
（3）如图2，连接AC，CN，CO，DO，
∵MD是切线，
∴MD⊥DO，
∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE
∴△MDO∽△DEO
∴
∴OD2＝OE OM
∵AE＝EN，CD⊥AO
∴∠ANC＝∠CAN，
∴∠CAP＝∠CNO，
∵
∴∠AOC＝∠ABF
∵CO∥BF
∴∠PCO＝∠PFB
∵四边形ACFB是圆内接四边形
∴∠PAC＝∠PFB
∴∠PAC＝∠PFB＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE
∴△CNO∽△PCO
∴
∴CO2＝PO NO，
∴ON OP＝OE OM．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
24．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；
（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．
【分析】（1）先根据题意得出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）分点P在点C上方和下方两种情况，先求出∠OBP的度数，再利用三角函数求出OP的长，从而得出答案；
（3）分对称轴x＝1在a到a+1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，
∴点B的坐标为（3，0），
代入y＝x2+bx+c，得：
，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图所示：
由抛物线解析式知C（0，﹣3），
则OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，
∴OP＝OBtan∠OBP＝3×＝，
∴CP＝3﹣；
若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，
∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3×＝3，
∴CP＝3﹣3；
综上，CP的长为3﹣或3﹣3；
（3）若a+1＜1，即a＜0，
则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，
解得a＝1﹣（正值舍去）；
若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，
则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，
解得：a＝﹣2（舍去）；
若a＞1，
则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，
解得a＝2+（负值舍去）；
综上，a的值为1﹣或2+．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．
