2023年安徽省合肥市庐阳中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣3 D．1
2．（4分）下列各式的计算结果是a6的是（ ）
A．（﹣a3）2 B．（﹣a2）3 C．a3+a3 D．a2 a3
3．（4分）2023年2月合肥轨道交通日客运量超过100万人次的有22天，日均107.6万人次，107.6万用科学记数法表示为（ ）
A．1.076×104 B．107.6×104 C．1.076×106 D．0.1076×107
4．（4分）如图，直线a∥b，直线c交直线a、直线b与A、B两点，BA＝BC，∠1＝∠CBA＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．30° C．35° D．20°
5．（4分）圆柱切除部分之后及其俯视图如图所示，则其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k＝0的根的情况，以下说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．根的情况与k的取值有关
7．（4分）在疫情防控期间，某校门口设置了A，B，C三条入校测温通道，甲乙两同学从同一条通道进入校园的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）如图，等边三角形ABC的顶点B、C在⊙O上，A在⊙O内，OD⊥AC于D点，AB＝4，OD＝，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B． C． D．
9．（4分）已知一次函数y＝2ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+2bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）矩形ABCD中，E为边CD上一点，延长AE与BC的延长线交于点F，G在CD的延长线上且∠GAD＝∠EAD，连接FG．以下结论错误的是（ ）
A．BC CE＝GD CF B．AG CD＝AF DE
C．S△CFG＝S四边形ABCE D．S△AGF＝S矩形ABCD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）+＝ ．
12．（5分）分解因式：mn2﹣2mn+m＝ ．
13．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，点E，F分别为AB，BC上的点，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点恰好落在AC边的中点D处，则sin∠DFC＝ ．
14．（5分）已知a、b、c、d四个数满足：＝＝，d＝2a+3b+4c，其中a、b、c为非负数．
（1）若a＝b，则c＝ ；
（2）d可取的整数有 个．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．
16．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，A，B，C，E均在网格的格点上．
（1）平移线段AB，使得A点与E点重合，画出平移后的线段ED；
（2）△ABC绕E点顺时针旋转90°，画出旋转后的三角形A1B1C1，B点旋转所经过的路线长为 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
按照以上规律解决下列问题：
（1）写出第5个等式 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
18．（8分）如图，为了测量校园内旗杆顶端到地面的高度AD，九年级数学应用实践小组了解到国旗的宽度AB＝1.6m，小组同学在地面上的C处测旗杆上国旗A、B两点的仰角，测得∠ACD＝48.5°，∠BCD＝45.0°，求旗杆顶端到地面的高度AD．（结果精确到0.1）（参考数据：sin48.5°≈0.75，cos48.5°≈0.66，tan48.5°≈1.13）
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．
（1）求证：l是⊙O的切线；
（2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长．
20．（10分）已知一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，已知当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＞1时，y1＞y2．
（1）求一次函数的函数表达式；
（2）已知反比例函数图象上一点C的横坐标为3，求△ABC的面积．
六、解答题（共1小题，满分12分）
21．（12分）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水 珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 96 m
众数 b 98
方差 28.6 28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m2﹣2．
（1）当m＝1时，求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）若该抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m2﹣2与直线y1＝x+2m+1的一个交点P在y轴正半轴上．
①求此抛物线的解析式；
②当n≤x≤n+1时，求y的最小值（用含n的式子表示）．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为AB边上一点（不与A、B重合），以CD为底作等腰△CDE，使A、E位于CD两侧，且∠DCE＝∠A．
（1）如图1，若∠B＝25°，求∠E的度数；
（2）如图2，若CA＝CD，DE交BC于F点，求的值；
（3）如图1，连接BE，求证：DE＝BE．
2023年安徽省合肥市庐阳中学中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣3 D．1
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．
故选：C．
2．（4分）下列各式的计算结果是a6的是（ ）
A．（﹣a3）2 B．（﹣a2）3 C．a3+a3 D．a2 a3
【解答】解：A、（﹣a3）2＝a6，符合；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，不符合；
C、a3+a3＝2a3，不符合；
D、a2 a3＝a5，不符合．
故选：A．
3．（4分）2023年2月合肥轨道交通日客运量超过100万人次的有22天，日均107.6万人次，107.6万用科学记数法表示为（ ）
A．1.076×104 B．107.6×104 C．1.076×106 D．0.1076×107
【解答】解：107.6万＝1076000＝1.076×106．
故选：C．
4．（4分）如图，直线a∥b，直线c交直线a、直线b与A、B两点，BA＝BC，∠1＝∠CBA＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．30° C．35° D．20°
【解答】解：∵BA＝BC，∠CBA＝40°，
∴∠BAC＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵∠1＝40°，40°+70°＝110°，
又∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣110°﹣∠CBA＝30°．
故选：B．
5．（4分）圆柱切除部分之后及其俯视图如图所示，则其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：该几何体的主视图是矩形，里面有两条用实线，其主视图为．
故选：D．
6．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k＝0的根的情况，以下说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．根的情况与k的取值有关
【解答】解：∵Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1 （k2﹣k）＝1＞0，
∴关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k＝0一定有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（4分）在疫情防控期间，某校门口设置了A，B，C三条入校测温通道，甲乙两同学从同一条通道进入校园的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中甲乙两同学从同一条通道进入校园的结果有3种，
∴甲乙两同学从同一条通道进入校园的概率为＝，
故选：B．
8．（4分）如图，等边三角形ABC的顶点B、C在⊙O上，A在⊙O内，OD⊥AC于D点，AB＝4，OD＝，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：作OH⊥BC于H，作OM⊥AB于M，连接OA，OB，OC，
∴BH＝CH＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC﹣∠OBH＝∠ACB﹣∠OCB，
∴∠OBM＝∠OCD，
∵OD⊥AC，
∵∠OMB＝∠ODC＝90°，OB＝OC，
∴△OBN≌△OCD（AAS），
∴OM＝OD，
∴AO平分∠BAC，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴AO⊥BC，
∴A，O，H共线，
∵OD＝，
∴AO＝2OD＝2×＝，
∵AH＝AB＝×4＝2，
∴OH＝AH﹣AO＝，
∵CH＝＝2，
∴CO＝＝＝．
故选：D．
9．（4分）已知一次函数y＝2ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+2bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：一次函数图象知，2a＜0，b＜0，
则a＜0，b＜0，
由一次函数过点（1，0），则0＝2a+b，则b＝﹣2a，
则二次函数表达式y＝ax2+2bx＝ax2﹣4ax＝ax（x﹣4），
令y＝ax（x﹣4）＝0，则x＝0或4，
即抛物线开口向下，且过点（0，0）、（4，0），
故选：C．
10．（4分）矩形ABCD中，E为边CD上一点，延长AE与BC的延长线交于点F，G在CD的延长线上且∠GAD＝∠EAD，连接FG．以下结论错误的是（ ）
A．BC CE＝GD CF B．AG CD＝AF DE
C．S△CFG＝S四边形ABCE D．S△AGF＝S矩形ABCD
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，AD⊥CD，
∵∠GAD＝∠EAD，
∴△AGE为等腰三角形，
∴AG＝AE，DG＝DE，
∵AD∥BC，
∴△FCE～△ADE，
∴，
∴AD CE＝DE CF，
∴BC CE＝GD CF，故A选项正确，不符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
∵∠ADE＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△FBA，
∴，
∴AE AB＝AF DE，
∵AG＝AE，AB＝CD，
∴AG CD＝AF DE，故B选项正确，不符合题意；
由上述可知，AB＝CD，BC CE＝GD CF，
∴
＝
＝
＝，
＝，
∵不能确定BC和CF的大小关系，
∴不能确定S△CFG和S四边形ABCE的大小关系，故C选项错误，符合题意；
由上述可知，DG＝DE，AD＝BC，BC CE＝GD CF，
∴S△AEG＝2S△ADE，
S△AGF＝2S△ADE+S△CGF﹣S△FCE
＝
＝
＝
＝DE BC+BC CE
＝BC （DE+CE）
＝BC CD，
S矩形ABCD＝BC CD，
∴S△AEG＝S矩形ABCD，故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）+＝ 3 ．
【解答】解：＝2+
＝3．
故答案为：3．
12．（5分）分解因式：mn2﹣2mn+m＝ m（n﹣1）2 ．
【解答】解：原式＝m（n2﹣2n+1）＝m（n﹣1）2，
故答案为：m（n﹣1）2
13．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，点E，F分别为AB，BC上的点，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点恰好落在AC边的中点D处，则sin∠DFC＝ ．
【解答】解：过D作DH⊥CF于H，
∵∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D是AC边的中点，
∴CD＝AC＝，∠C＝45°，BC＝AB＝4，
∴CH＝DH＝CD＝1，
∵将△BEF沿EF折叠，点B的对应点恰好落在AC边的中点D处，
∴BF＝DF，
∴FH＝BC﹣BF﹣CH＝4﹣DF﹣1＝3﹣DF，
∵DF2＝FH2+DH2，
∴DF2＝（3﹣DF）2+12，
解得DF＝，
∴sin∠DFC＝＝＝，
故答案为：．
14．（5分）已知a、b、c、d四个数满足：＝＝，d＝2a+3b+4c，其中a、b、c为非负数．
（1）若a＝b，则c＝ ；
（2）d可取的整数有 15 个．
【解答】解：（1）设＝＝＝k，则a＝2k，b＝4﹣3k，c＝4k+2．
∵a＝b，
∴2k＝4﹣3k．
∴k＝．
∴c＝4k+2＝4×＝．
故答案为：．
（2）由（1）得，a＝2k，b＝4﹣3k，c＝4k+2．
∴d＝2a+3b+4c＝4k+12﹣9k+16k+8＝11k+20．
∵a、b、c为非负数，
∴0≤k≤．
∴20≤11k+20≤34．
∴d可取的整数有20或21或22或23或24或25或26或27或28或29或30或31或32或33或34，共15个．
故答案为：15．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．
【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝3+．
16．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，A，B，C，E均在网格的格点上．
（1）平移线段AB，使得A点与E点重合，画出平移后的线段ED；
（2）△ABC绕E点顺时针旋转90°，画出旋转后的三角形A1B1C1，B点旋转所经过的路线长为 π ．
【解答】解：（1）如图所示，线段ED即为所求；
（2）如图2所示，三角形A1B1C1即为所求；
∵EB＝＝，
∴B点旋转所经过的路线长＝＝π．
故答案为：π．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
按照以上规律解决下列问题：
（1）写出第5个等式 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【解答】解：（1）由题意得：第5个等式为：；
故答案为：；
（2）猜想：，
证明：等式左边＝
＝
＝
＝
＝右边，
故猜想成立．
故答案为：．
18．（8分）如图，为了测量校园内旗杆顶端到地面的高度AD，九年级数学应用实践小组了解到国旗的宽度AB＝1.6m，小组同学在地面上的C处测旗杆上国旗A、B两点的仰角，测得∠ACD＝48.5°，∠BCD＝45.0°，求旗杆顶端到地面的高度AD．（结果精确到0.1）（参考数据：sin48.5°≈0.75，cos48.5°≈0.66，tan48.5°≈1.13）
【解答】解：在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝48.5°，
∴tan∠ACD＝tan48.5°＝＝≈1.13，
∴CD＝m，
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝m，
∴AD＝AB+BD＝1.6+12.3≈13.9（m），
答：旗杆顶端到地面的高度AD约为13.9m．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．
（1）求证：l是⊙O的切线；
（2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵点D是Rt△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵OB＝OE，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴∠ABE＝∠OEB，
∴AB∥OE，
∴∠BAC＝∠OGC＝90°，
∵l∥AC，
∴OE⊥l，
∴OE为半径，
∴l是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝5，
∴OC＝，
∵OG⊥AC，
∴CG＝AC＝2，OG＝AB＝，
∴EG＝＝1，
在Rt△CEG中，由勾股定理得，
CE＝＝＝．
20．（10分）已知一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，已知当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＞1时，y1＞y2．
（1）求一次函数的函数表达式；
（2）已知反比例函数图象上一点C的横坐标为3，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＞1时，y1＞y2，
∴反比例函数与一次函数的交点A的横坐标为1，
将横坐标1代入反比例函数y2＝，
得y2＝6，
∴点A坐标为（1，6），
将点A坐标代入一次函数y1＝x+m，
得1+m＝6，
解得m＝5，
∴一次函数表达式为y1＝x+5；
（2）联立，
解得x1＝﹣6，x2＝1，
∴点B坐标为（﹣6，﹣1），
∵反比例函数图象上一点C的横坐标为3，
∴点C纵坐标为＝2，
∴点C坐标为（3，2），
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0，m，n为常数），
代入点B（﹣6，﹣1），点C（3，2），
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝，
过点A作AH⊥x轴交BC于点D，交x轴于点H，如图所示，
∴点D横坐标为1，
将点D横坐标代入直线BC的解析式，
得y＝＝，
则点D坐标为（1，），
∴△ABC的面积＝＝21．
六、解答题（共1小题，满分12分）
21．（12分）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水 珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 96 m
众数 b 98
方差 28.6 28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 30 ，b＝ 96 ，m＝ 93 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
【解答】解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣）×100＝30，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴m＝＝93；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，
∴b＝96，
故答案为：30，96，93；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；
（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是：1200×＝540（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m2﹣2．
（1）当m＝1时，求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）若该抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m2﹣2与直线y1＝x+2m+1的一个交点P在y轴正半轴上．
①求此抛物线的解析式；
②当n≤x≤n+1时，求y的最小值（用含n的式子表示）．
【解答】解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2）；
（2）①将x＝0代入y1＝x+2m+1得y1＝2m+1，
∴点P坐标为（0，2m+1），
将（0，2m+1）代入y＝x2﹣（m+1）x+m2﹣2得2m+1＝m2﹣2，
解得m＝3或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，2m+1＝﹣1，点P在y轴负半轴，不符合题意，
当m＝3时，2m+1＝7，点P在y轴正半轴，符合题意．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+7．
②∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，3），
将x＝n代入y＝x2﹣4x+7得y＝n2﹣4n+7，
将x＝n+1代入y＝x2﹣4x+7得y＝n2﹣2n+4，
当n+1＜2时，n＜1，y＝n2﹣2n+4为函数最小值；
当n＞2时，y＝n2﹣4n+7为函数最小值；
当1≤n≤2时，y＝3为函数最小值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为AB边上一点（不与A、B重合），以CD为底作等腰△CDE，使A、E位于CD两侧，且∠DCE＝∠A．
（1）如图1，若∠B＝25°，求∠E的度数；
（2）如图2，若CA＝CD，DE交BC于F点，求的值；
（3）如图1，连接BE，求证：DE＝BE．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝90°﹣25°＝65°，
∵EC＝ED，
∴∠DCE＝∠EDC，
∵∠DCE＝∠A，
∴∠ECD＝∠DCE＝65°，
∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠EDC＝180°﹣65°×2＝50°；
（2）解：如图1，
作CG⊥AB于G，
设AC＝a，则BC＝2a，
∴AB＝＝a，
∵cosA＝，
∴，
∴AG＝，
∵AC＝CD，
∴AD＝2AG＝，∠CDA＝∠A，
∴BD＝AB﹣AD＝，
∵∠ECD＝∠DCE＝∠A，
∴∠ECD＝∠ADC，△ECD∽△CAD，
∴CE∥AB，
∴，，
∴CE＝，
∴＝；
（3）证明：如图2，
以E为圆心，CE为半径作圆，交BD于B′，
∴∠E＝2∠B′，
设∠B＝α，则∠DCE＝∠CDE＝∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣2α，
∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝2α＝2∠B，
∴∠B＝∠B′，
∴点B在⊙E，
∴BE＝DE．
