第4章 平行四边形(4.1—4.6)
时间：40分钟 总分：100分
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为( )
2．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．下列说法：①伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；②夹在两条平行线间的垂线段相等；③成中心对称的两个图形不一定是全等图形；④一组对角相等的四边形是平行四边形，其中正确的是( )
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③
4．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设( )
A．直角三角形中两个锐角都大于45°
B．直角三角形中两个锐角都不大于45°
C．直角三角形中有一个锐角大于45°
D．直角三角形中有一个锐角不大于45°
5．某人设计装饰地面的图案，拟以长为22 cm，16 cm，18 cm的三条线段中的两条为对角线，另一条为边，画出不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图， ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．8 cm
7．如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，O是EF的中点．在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是( )
A．不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G，F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝14，BC＝20，GF＝10，则图中阴影部分的面积为( )
A．16 B．20 C．120 D．20
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB和CD上，要使四边形DEBF是平行四边形，则需添加一个条件是_____．
10．如图， ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E在边AB上，连结DE，取DE的中点F，连结EO并延长交CD于点G.若BE＝3CG，OF＝2，则线段AE的长是____．
11．如图，△ACE是以 ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是(4，－2)，则D点的坐标是___．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连结DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则CE＝____．
三、解答题(共40分)
13．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在它的内部，且AE＝CF，BE＝DF，试指出AC与EF的关系，并说明理由．
14．(10分)知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
(1)如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB________S四边形DEFC(填“>”“<”或“＝”)；
(2)两个正方形如图②所示摆放，O为小正方形对角线的交点，作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
(3)八个大小相同的正方形如图③所示摆放，作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割).
15．(10分)如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．
16．(12分)四边形ABCD为平行四边形．
(1)若PD＝PB，现有一根无刻度的直尺，请在图①中作出∠MPN的角平分线，并说明理由；
(2)如图②，连结PC，作CE⊥PN交PN于点E，若PC＝4，PB＝BC＝5，求CE的长；
(3)在(2)的条件下，AC＝4，求 ABCD的面积．
参考答案
一、选择题(每小题5分，共40分)
1． C
2． D
3． A
4． A
5． B
6． B
7． A
8． D
【解析】连接EO，EG，OF，设EF交OG于点P.依据EO是△ABC的中位线，可得出四边形EOFG是平行四边形，据此可得S阴影部分＝S△AOE＋S△EOP＋S△FGP＝S△AOE＋S△EOB＝S△ABO，求得△ABO的面积即可得出结论．
二、填空题(每小题5分，共20分)
9． AE＝CF(答案不唯一)
10．
11． (2，0)
12． 2
【解析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD＝2DF，A′F＝EF，通过勾股定理可得AB的长度，可求AD，DF，BF的长度，可得BF＝DF，可证四边形BEDA′是平行四边形，可得BE＝A′D＝2，根据勾股定理可得CE的长度．
三、解答题(共40分)
13． 解：AC与EF互相平分，
理由如下：可证△ABE≌△CDF，
∴∠BAE＝∠FCD，
且∠BAC＝∠ACD，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴CF∥AE且AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AC与EF互相平分．
14．解：(1)＝ (2)如图①所示． (3)如图②所示．
15．解：(1)证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，∴AE∥BD，∵∠ADE＝∠BAD，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形；
(2)∵DA平分∠BDE，∴∠BAD＝∠ADE＝∠ADB，∴AB＝BD＝5，设BF＝x，则52－x2＝62－(5－x)2，解得x＝，∴AF＝＝，∴AC＝2AF＝.
16． 解：(1)如答图①，PQ即为所作，
理由：连结BD，AC，它们相交于点Q，利用平行四边形的性质得Q点为BD的中点，然后根据等腰三角形的性质可判断PQ平分∠MPN；
(2)如答图②，设BE＝x，CE＝y，在Rt△CBE中，x2＋y2＝25①，在Rt△PCE中，(x＋5)2＋y2＝(4)2②，②－①，得10x＋25＝55，解得x＝3，∴CE＝＝4；
(3)在Rt△ACE中，AE＝＝4，
∴AB＝4－3＝1，∴ ABCD的面积＝1×4＝4.
