白银市2023年九年级第一次诊断考试试题
数学试卷
注意事项：
1．全卷满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1．的绝对值是（ ）
A．2023 B． C． D．
2．近年来出生人口持续走低，即使国家开放三胎，也缓解不了颓势，2022年我国出生人口是1062万人，数据1062万用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，该几何体由6个大小相同的正方体组成，从正面看该几何体的形状图是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，AF交CD于点E，，则等于（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
6．若点在函数的图象上，则的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每珠脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每珠椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AC、BD是的两条相交弦，，则（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
10．如图1，将边长为a的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和a的的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD和重叠部分的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当秒时，重叠部分的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．
11．当x______时，分式有意义．
12．因式分解：______．
13．如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是______．
14．甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.7环，方差如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
方差 0.035 0.016 0.022 0.025
则这四人中成绩发挥最稳定的是______．
15．按下面的程序计算：
若开始输入x的值为2，则最后输出的结果为______．
16．如图，等腰直角的斜边，分别以点A、B为圆心，以为半径作圆，则图中阴影部分的面积为______．
17．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，的平分线分别交AB、BD于M、N两点．若，则正方形ABCD的边长为______．
18．下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第______个图形的周长为32．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（6分）计算：．
20．（6分）化简：．
21．（8分）如图，在中，，BE平分，交AD于点E．
（1）使用尺规完成基本作图：作的平分线交BC于点F，连接EF（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）根据（1）中作图，求证：四边形ABFE为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵BE平分，AF平分，∴，，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴，∴ ① ，∴ ② ，∴．
∵，∴，
∴，∴，∴ ③ ，
∵，∴四边形ABFE是 ④ ，
∵，∴四边形ABFE是菱形．
22．（8分）如图，公路AB为东西方向，在点A北偏东36.5°方向上，距离10 km处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离20km处是村庄N．求M，N两村之间的距离．（参考数据：，，）
23．（10分）在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下并混合．
（1）从中随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图案是轴对称图形的概率是多少？
（2）从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率是多少？
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
24．（8分）为了解我市初二年级数学学科期末质量监测情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．
收集数据：随机抽取甲、乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析．
甲：91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙：84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据，分析数据：
分段学校
甲 1 1 0 0 3 7 8
乙 0 0 1 4 2 a 5
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
统计量学校 平均数 中位数 众数 方差
甲 81.85 b 91 268.43
乙 8.195 86 88 115.25
（1）填表：a的值是______，b的值是______．
（2）得出结论：
①若甲学校有600名初二学生，估计这次考试成绩在80分及以上的人数为______．
②可以推断出______学校学生的数学水平较高，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为，线段，E为x轴负半轴上一点，且．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求的面积．
26．（10分）如图，已知BC是的直径，AC切于点C，AB交于点D，E为AC的中点，连接CD，DE．
（1）求证：DE是的切线．
（2）若，，求AC的长．
27．（10分）模型探究：（1）如图1，在四边形ABCD中，，，于点E，若，求四边形ABCD的面积．
拓展应用：（2）如图2，在四边形ABCD中，，，于点E，若，，，求四边形ABCD的面积．
28．（12分）如图1，抛物线经过，两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为线段BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式．
（2）过点C作直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与相似？并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，连接PC，PB，请问的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
白银市2023年九年级第一次诊断考试试题
数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C B C B D C D B A
11． 12． 13． 14．乙
15．22 16． 17． 18．10
19．解：
．
20．解：原式
．（6分）
21．解：（1）根据题意作图如下，AF是的平分线．
（2）①；②；③；④平行四边形．
22．解：如图，过点N作，过点M作．
在中，，，∴，
∴，．
在中，，，∴，
∴，．
在中，，．∴．
答：M，N两村之间的距离为．
23．解：（1）四个图案中，等腰三角形、菱形和圆都是轴对称图形，则从中随机抽取一张，抽到的卡片上印有的图案是轴对称图形的概率是．
（2）用树形图表示所有可能的结果：
共有12种可能的结果，而且它们出现的可能性相等．其中两张卡片上印有的图案都是轴对称图形的可能结果有6种，
∴（两张卡片上印有的图案都是轴对称图形）．
24．解：（1）a的值为8，b的值为88．
（2）①，故答案为450．
②答案不唯一，理由须支撑推断结论．如：甲；甲学校学生成绩的中位数及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．
25．解：（1）如图，作轴于点D，
在中，∵，∴，
∴，∴，
把代入得，∴反比例函数解析式为；
把代入得，解得，
把，分别代入得，解得，
∴一次函数解析式为．
（2）当时，，解得，则，∴．
26．解：（1）证明：如图，连接OD，
∵BC是的直径，∴，∴，
∵E为AC的中点，∴，∴．
∵，∴，∵AC切于点C，∴．
∴，∴，
∴DE是的切线．
（2）在中，∵，，∴，
∵，，∴，
∴，即，∴．
27．解：（1）如图1，过A点作，交CB的延长线于点F，则．
∵于点E，，∴，
∴四边形AECF是矩形．
∴，∴．
∵，∴．
又∵，，∴，
∴，∴四边形AECF为正方形，
∵，∴．
（2）如图2，连接AC，过点A作，交CD的延长线于点F，则．
∵于点E，∴，
又∵，，∴，
又∵，∴，∴，
∴．
28．解：（1）将点，的坐标代入函数表达式得，
解得，，∴抛物线的解析式为．
（2）如图1所示，令得，∴，∴．
∵，∴时，以P，C，F为顶点的三角形与相似．
设点P的坐标为，
则，，∴，
解得，（舍去），∴点P的坐标为．
（3）如图2所示，连接EC．
设点P的坐标为，则，，．
∵，，
∴．
∵，∴当时，的面积S有最大值．
∴，的面积的最大值为8．
