2023年中考九年级数学专题训练--二次函数（综合题）
一、综合题
1．如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线 经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标；
（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
2．二次函数y=ax2＋bx＋2的图象交x轴于点（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.
（1）求二次函数y=ax2＋bx＋2的表达式；
（2）连接BD，当t= 时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标.
3．如图，抛物线y=﹣ x2﹣ x+ 与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，已知点D（0，﹣ ）．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图1，P为直线AC上方抛物线上的一动点，当△PBD面积最大时，过P作PQ⊥x轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM，NQ，求PM+MN+NQ的最小值；
（3）在（2）问的条件下，将得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′，将△BPQ′沿直线BD平移，记平移中的△PBQ′为△P′B′Q″，在平移过程中，设直线P′B′与x轴交于点E．则是否存在这样的点E，使得△B′EQ″为等腰三角形？若存在，求此时OE的长．
4．如图1，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（3，0），交y轴于点C，P是第一象限内二次函数图象上的动点.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PB，PC，PO，若S△POC＝S△PBC，求点P的坐标；
（3）如图2.连接AP，交直线BC于点D，当点D是线段BC的三等分点时，求tan∠ADC的值.
5．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，已知 .
（1）
求抛物线的函数表达式；
（2）
若点 在 轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点 ，满足 ？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）
若点 在 轴上，满足 的点 是否存在？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由.
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，四边形OAPB的面积最大，求出此时点P的坐标.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线.
（1）当时，
①抛物线的对称轴为直线 ，顶点的纵坐标为 （用含n的代数式表示）；
②若点，都在抛物线上，且，则的取值范围 ；
（2）已知点，将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.
9．已知抛物线 经过点 ， ，与 轴的另一个交点为 .
（1）求出此抛物线的表达式及点 坐标
（2）如图1， 的中点记为 ， ，将 绕点 在 的左侧旋转， 与射线 交于点 ， 与射线 交于点 .设 ， ，求 关于 的函数关系式.
（3）当 的边经过点 时，求 ， 的值（直接写出结果）.
10．在平面直角坐标系xOy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）.
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段
AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C. 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M.
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
11．如图，在△ABC中，AB=AC，且点A的坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0， ），点B在y轴的负半轴上，抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A和点C
（1）求b，c的值；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
（3）点P是线段AO上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交AB于点E，探究：当点P在什么位置时，四边形MEBC是平行四边形，此时，请判断四边形AECM的形状，并说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围；
（3）若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．
①求的值；
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
13．如图（1），二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A(4，0)、B(5，5).
（1）a＝ ，b＝ ，∠AOB＝ °；
（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标 ；
（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2 .设点C的横坐标为m.
①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF.当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；
②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值.
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x﹣3与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0）.
（1）求B点与顶点D的坐标；
（2）经过点B的直线l与y轴正半轴交于点M，S△ADM＝5，求直线l的解析式；
（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作x轴的垂线m，将抛物线在直线m左侧的部分沿直线m对折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G.请结合图象回答：当图象G与直线l没有公共点时，t的取值范围是 .
15．在坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D为此抛物线上位于直线AC上方的一个动点，当△DAC的面积最大时，求点D的坐标；
（3）设抛物线顶点关于y轴的对称点为M，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G．点N是抛物线对称轴上一动点，如果直线MN与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点N纵坐标t的取值范围．
16．如图，抛物线C1：y＝mx2﹣2mx﹣3m(m＜0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，顶点为M，另一条抛物线C2与x轴也交于A、B两点，且与y轴的交点是C(0， )，顶点是N.
（1）求A，B两点的坐标.
（2）求抛物线C2的函数表达式.
（3）是否存在m，使得△OBD与△OBC相似？若存在，请求出m的值；若不存在请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，
则A（3，0）B（0，-3），
把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：
抛物线的解析式y= x2-x-3…①，
则：C（6，0）；
（2）解：符合条件的有M和M′，如下图所示，
当∠MBE=75°时，
∵OA=OB，∴∠MBO=30°，
此时符合条件的M只有如图所示的一个点，
MB直线的k为- ，所在的直线方程为：y=- x-3…②，
联立方程①、②可求得：x=4-4 ，
即：点M的横坐标4-4 ；
当∠M′BE=75°时，∠OBM′=120°，
直线MB的k值为- ，其方程为y=- x-3，
将MB所在的方程与抛物线表达式联立，
解得：x= ，
故：即：点M的横坐标4-4 或 ．
（3）解：存在．
①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，
设：P′（m，n），
n=- m2-m-3…③，
P′C所在直线的k1= ，
P′B所在的直线k2= ，则：k1 k2=-1…④，
③、④联立解得：m=2 ，则P′（2 ，3-2 ），
则Q′（6-2 ，2 -3）；
②当BC为矩形一边时，
情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，
直线BC所在的方程为：y= x-3，
则：直线BP的k为-2，所在的方程为y=-2x-3…⑤，
联立①⑤解得点P（-4，5），
则Q（2，8），
情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，
此时，P″在抛物线上，其指标为：（-10，32）．．
故：存在矩形，点Q的坐标为：（6-2 ，2 -3）或（2，8）或（-10，32）．
2．【答案】（1）解：将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2＋bx＋2，得∴a= ，b= ，∴
（2）解：设直线BC的解析式为：y=kx＋b，将点B（4，0），C（0，2）代入解析式，得： ，解得： ，∴BC的直线解析式为 ，当t= 时，AM=3，∵AB=5，∴MB=2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），∴S△DNB =S△DMB -S△MNB = ×MB×DM－ ×MB×MN= ×2×2=2
（3）解：∵BM=5－2t，∴M（2t－1，0），设P（2t－1，m），∵PC2=（2t－1）2+（m－2）2，PB2=（2t－5）2＋m2，∵PB=PC，∴（2t－1）2＋（m－2）2=（2t－5）2＋m2，∴m=4t－5，∴P（2t－1，4t－5），又∵点B（4，0），C（0，2），∴PC直线解析式为： ；PB直线解析式为： ；再∵PC⊥PB，∴ ，∴t=1或t=2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）
3．【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣ x2﹣ x+ 与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，
∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0， ），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有 ，
∴k= ，b= ，
∴直线AC的解析式为y= x+
（2）解：如图1中，分别过D、B作x轴，y轴的平行线交于点K，连接PK．设P（m，﹣ m2﹣ m+ ）．
S△PDB=S△PDK+S△PBK﹣S△DKB
= 1 （﹣ m2﹣ m+ + ）+ （1﹣m）﹣ 1
=﹣ （m+3）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴m=﹣3时，△PBD的面积最大，此时P（﹣3， ），Q（﹣3，0）．
如图2中，作Q关于y轴的对称点Q′，将Q′向左平移 个单位得到Q″，连接PQ″交抛物线对称轴于M，此时PM+MN+NQ最短．
易证四边形MNQ′Q″是平行四边形，
∴NQ=NQ′=Q″M，
∴PM+MN+NQ=PM+MQ″+MN=PQ″+MN，
∵Q″（ ，0），
∴PQ″= = ，
∴PM+MN+NQ的最小值为 +
（3）解：如图3中，由（2）可知直线PB的解析式为y=﹣ x+ ，直线BD的解析式为y= x﹣ ，易证∠PBQ=30°，∠DBO=60°，PB⊥BD．①当点Q″与Q重合时，∵∠B′EQ=∠QB′E=30°，∴EQ=B′Q″=4，∴OE=QE+OQ=7．
②如图4中，当B′E=B′Q″时作B′N⊥x轴于N．
∵B′E=B′Q″=4，∠B′EN=30°，∴B′N= B′E=2，EN=2 ，∴B′（ ，﹣2），∴OE=2 + = ﹣1．
③如图5中，当EQ″=EB′时，作B′N⊥x轴于N．
易知EP′=EQ″=EB′= ，B′N= ，EN=2，∴B′（ ，﹣ ），∴EO= ．
④如图6中，当B′E=B′Q″时，
易知B′E=B′Q″=4，在Rt△BEB′中，BE=EB′÷cos30°= ，∴OE=OB+BE= +1，综上所述，满足条件的OE的值为7或 ﹣1或 或 +1．
4．【答案】（1）解：将A（﹣2，0），B（3，0）代入函数表达式，得 ，解得 ，
∴所求二次函数的表达式为 ；
（2）解：过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，
将x＝0代入 中，得y＝2.
∴C（0，2）.
设直线BC对对应的函数表达式为y＝kx+c，
将B（3，0），C（0，2）代入表达式中，
得 ，解得 ，
∴ .
设P（x， ），Q（x， ），
∴PQ＝yP﹣yQ＝ ﹣（ ）＝ .
∴S△PBC＝S△PQC+S△PQB＝ ＝ ＝ ，
而S△POC＝ ＝ .
∵S△POC＝S△PBC，
∴ .
∴x1＝0（舍去），x2＝1.
∴P（1，2）；
（3）解：过点A作AE⊥AP交直线BC于点E，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥x轴于点F，
∴∠EFA＝∠EAD＝∠AGD＝90°.
∴∠FEA+∠EAF＝90°，∠DAG+∠EAF＝90°.
∴∠FEA＝∠DAG.
∴△EAF∽△ADG.
∴ .
∵∠COB＝∠DGB＝90°，∠CBO＝∠CBO，
∴△DBG∽△CBO.
∴ .
设E（x， ），则AF＝﹣2﹣x，EF＝ .
∵点D是线段BC的三等分点，
∴ 或 .
当 时，点D（2， ）.
∴AG＝4，DG＝ .
∴ .
∴ .
∴ .
当 时，点D（1， ）.
∴AG＝3，DG＝ .
∴ .
∴ .
∴tan∠ADC＝ ＝ .
5．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）解：设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得 ；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）解：如图：
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB= MN（OD+DB）= MN OB，
∴S△BNC= （﹣m2+3m） 3=﹣ （m﹣ ）2+ （0＜m＜3）；
∴当m= 时，△BNC的面积最大，最大值为 ．
6．【答案】（1） 解： ， ，
∽ ，
，
，
，
，
抛物线 与 轴交于点 ， ，
设 ，
把 代入得 ，解得 ，
抛物线的函数表达式 ；
（2） 解：存在，
抛物线的对称轴上是否存在唯一的点 ，满足 ，就是指以 为直径的圆与对称轴：直线 有唯一的交点，即相切.
如图，
设 的中点为 ，
，
点 的横坐标为 ，
点 到直线 的距离为 ，
直径 的长为 ，
，
点 的坐标为 或 ；
（3） 解：存在，如图：
当点 在以 为弦的 上，圆心角 .
过点 做 于 ，则 .
，
.
，
，
或 ，
设 ，
，
当 时， ，
或 ，
同理，当 时， 或
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 .
7．【答案】（1）解：将点B、C的坐标代入解析式y＝ax2+bx﹣5中，得
，解得 ，
∴此抛物线的表达式是 ；
（2）解：令 中x=0，得y=-5，
∴A（0，-5），
∵AD∥x轴交抛物线于点D，
∴点D的纵坐标为-5，
当y=-5时，解得x=0或x=-4，
∴D（-4，-5），即AD=4，
∵点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，
∴点E的纵坐标为5，
∴点E到直线AD的距离是10，
∴△EAD的面积= ；
（3）解：如图，连接OP，作PG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，
设点P的坐标为（x， ），
四边形OAPB的面积=
=
=
= ，
∵ ，
∴当 时，四边形OAPB的面积最大，
此时点P的坐标为 .
8．【答案】（1）；；或
（2）解：∵点向右平移4个单位得到点Q，
∴点Q的坐标为.
∵，
∴抛物线为.
当抛物线经过点时，，解得.
当抛物线经过点时，，解得.
当抛物线的顶点在线段PQ上时，，解得.
∴m的取值范围是或或.
9．【答案】（1）解：分别把A、B坐标代入抛物线解析式可得：
，解之得： ，
∴抛物线的表达式为： ，
令y=0，即得： ，解之可得x=2或x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（-1，0）；
（2）解：延长 使得 ，连结 ，
， ，
，
（3）解：当 经过 ，作 轴，
，
， .
当 经过 ，或 ，
10．【答案】（1）3；0；0；；解：∵A（—1，0）B（3，0）∴可设过A、B、C三点的抛物线为 。又∵C（0， ）在抛物线上，∴ ，解得 。∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 即
（2）解：①当△OCE∽△OBC时，则 。
∵OC= ， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴ 。∴x=2。
∴当x=2时，△OCE∽△OBC。
②存在点P。
由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。
∴∠AEC=∠A=60°。
又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。
∴点C与点M关于抛物线的对称轴 对称。
∵C（0， ），∴M（2， ）。
过M作MN⊥x轴于点N（2，0），
∴MN= 。 ∴ EN=1。
∴ 。
若△PEM为等腰三角形，则：
ⅰ)当EP=EM时， ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。
ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2 ) 。
ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1， )
∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2 ）或（1， ）时，
△EPM为等腰三角形。
11．【答案】（1）解：∵点A的坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0， ），点B在y轴的负半轴上，抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A和点C，
∴ ，
解得： ；
（2）解：在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形，
当AQ=QC，如图1，
由（1）得：y=﹣ x2﹣ x+ =﹣ （x+1）2+ ，
即抛物线对称轴为：直线x=﹣1，则QO=1，AQ=2，
∵CO= ，QO=1，
∴QC=2，
∴AQ=QC，
∴Q（﹣1，0）；
当AC=Q1C时，过点C作CF⊥直线x=﹣1，于一点F，
则FC=1，
∵AO=3，CO= ，
∴AC=2 ，
∴Q1C=2 ，
∴FQ1= ，故Q1的坐标为：（﹣1， + ）；
当AC=CQ2=2 时，由Q1的坐标可得；Q2（﹣1，﹣ + ）；
当AQ3=AC=2 时，则QQ3 =2 ，故Q3（﹣1，﹣2 ），根据对称性可知Q4（﹣1，2 ）（Q4和Q3关于x轴对称）也符合题意，
综上所述：符合题意的Q点的坐标为：（﹣1，0）；（﹣1， + ）；（﹣1，﹣ + ）；（﹣1，﹣2 ），（﹣1，2 ）
（3）解：如图2所示，
当四边形MEBC是平行四边形，则ME=BC，
∵AB=AC，且点A的坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0， ），
∴B（0，﹣ ），
则BC=2 ，
设直线AB的解析式为：y=kx+e，
故 ，
解得： ，
故直线AB的解析式为：y=﹣ x﹣ ，
设E（x，﹣ x﹣ ），M（x，﹣ x2﹣ x+ ），
故ME=﹣ x2﹣ x+ + x+ =﹣ x2﹣ x+2 =2 ，
解得：x1=0（不合题意舍去），x2=﹣1，
故P点在（﹣1，0），此时四边形MEBC是平行四边形；
四边形AECM是梯形，
理由：∵四边形MEBC是平行四边形，
∴MC∥AB，
∵CO= ，AO=3，
∴∠CAO=30°，
∵AC=AB，AO⊥BC，
∴∠BAO=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC=BC，ME=BC，所以AC=ME，
∴四边形AECM是等腰梯形．
12．【答案】（1）解：将点代入得：，
解得，
则此抛物线的解析式为．
（2）解：画出函数图象如下：
则当点在轴上方时，的取值范围为或．
（3）解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
即，
（Ⅰ）如图，当时，
当时，随的增大而减小，
则此时点即为最低点，
所以，
解得或（不符题设，舍去）；
（Ⅱ）如图，当时，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则此时抛物线的顶点即为最低点，
所以，
解得，符合题设，
综上，的值为或3；
②点的坐标为或或．
13．【答案】（1）1；4；45°
（2）(﹣ ， )
（3）解：①由题意得：直线OB的表达式为：y＝x，
设点C（m，m），CD＝2 ，直线OB的倾斜角为45度，则点D（m+2，m+2），
则点F（m，m2﹣4m），点E[（m+2），（m+2）2﹣4（m+2）]，
则CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，
∵﹣2＜0，故CF+DE有最大值，此时，m＝ ，
则点C、F、D、E的坐标分别为（ ， ）、（ ，﹣ ）、（ ， ）、（ ，﹣ ），
则CF＝DE＝ ，CF∥ED，
故四边形CDEF为平行四边形；
②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，
∴AC＝DG，
作点A关于直线OB的对称点A'（0，4），连接A'D，则A'D＝AD，
∴当A'、D、G三点共线时，A'D+DG＝A'G最短，此时AC+AD最短，
∵A（4，0），AG＝CD＝2 ，
则点G（6，2），
则AC+AD最小值＝A'G＝ ＝2 ；
14．【答案】（1）解：把点A的坐标（﹣1，0）代入y＝ax2﹣（a+1）x﹣3中，
得：a+（a+1）﹣3＝0，
a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
由对称性得：B（3，0）
（2）解：
设直线AD的解析式为：y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
∴直线AD的解析式为：y＝﹣2x﹣2，
设AD交y轴于N，
∴ON＝2，
∴S△ADM＝ MN （﹣xA+xD）＝5，
∴ （2+OM）×（1+1）＝5，
OM＝3，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为：y＝kx+b，
则 ，
解得： ；
直线l的解析式为：y＝﹣x+3
（3）
15．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）．
由题意可知：a=﹣1．
∴抛物线的解析式为y=﹣1（x+3）（x﹣1）即y=﹣x2﹣2x+3．
（2）解：如图所示：过点D作DE∥y轴，交AC于点E．
∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3）．
设直线AC的解析式为y=kx+3．
∵将A（﹣3，0）代入得：﹣3k+3=0，解得：k=1，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），则E点的坐标为（x，x+3）．
∴DE=﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣3x．
∴△ADC的面积= DE OA= ×3×（﹣x2﹣3x）=﹣ （x+ ）2+ ．
∴当x=﹣ 时，△ADC的面积有最大值．
∴D（﹣ ， ）．
（3）解：如图2所示：
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．
∵点M与抛物线的顶点关于y轴对称，
∴M（1，4）．
∵将x=1代入直线AC的解析式得y=4，
∴点M在直线AC上．
∵将x=﹣1代入直线AC的解析式得：y=2，
∴N（﹣1，2）．
又∵当点N′与抛物线的顶点重合时，N′的坐标为（﹣1，4）．
∴当2＜t≤4时，直线MN与函数图象G有公共点．
16．【答案】（1）解：当y＝0时，mx2﹣2mx﹣3m＝0，
∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
（2）解：设抛物线C2的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣ ）代入，得a×1×（-3）=- ，
解得a＝ ，
∴抛物线C2的函数表达式为y＝ （x+1）(x-3)，
即y＝ x2-x-
（3）解：当△OBD∽△OBC时， = ，
∴OC＝OD，
∴D（0， ）.
∴ -3m= ，
∴m＝﹣ ，
当△ODB∽△OBC时，
= ，
∴ OD=9，
∴OD＝6，
∴D（0，6），
∴﹣3m＝6，
∴m＝﹣2，
综合以上可得m的值为﹣ 或﹣2
