2022-2023学年河南省新乡市原阳县八年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将数0.0000077用科学记数法表示为（ ）
A．77×10﹣5 B．0.77×10﹣6 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣7
3．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列约分：①＝； ②＝；③＝；④＝1；⑤＝a﹣1；⑥＝﹣．其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．下列等式中，y不是x的函数的是（ ）
A．3x﹣2y＝0 B．x2﹣y2＝1 C． D．y＝|x|
6．下列等式成立的是（ ）
A．（﹣3）2＝﹣9 B．（﹣3）﹣2＝
C．（a﹣12）2＝a14 D．（﹣a﹣1b﹣3）﹣2＝﹣a2b6
7．关于x的方程的解为x＝1，则a应取值（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
8．如果a﹣b＜0，且ab＜0，那么点（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（ ）
A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元
10．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，2） C．（﹣1，﹣2） D．（0，1）
二、填空题（每题3分，共15分）
11．有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是m≠1；请你写出满足上述全部特点的一个分式： ．
12．定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（x+3）的解为 ．
13．若分式的值为零，则x的值是 ．
14．函数自变量a的取值范围 ．
15．若关于x的方程无解，则m的值为 ．
三、解答题（共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下：
解：去分母得：2x+2﹣（x﹣3）＝3x……第一步；
解得：……第二步；
∴原分式方程的解是……第三步；
（1）小丽解答过程从第 步开始出错，正确结果是 ，这一步的依据是 ．
（2）小丽解答过程缺少的步骤是 ．
（3）请写出正确的解题过程．
18．先化简，再求值：÷（﹣x+1），请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
19．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从B地出发匀速驶往A地．如图表示甲、乙两车在全程行驶的过程中，离各自出发地的路程y（千米）与出发时间x（时）的函数图象．
（1）A、B两地相距 千米；甲车的速度为 千米/时；
（2）当乙车距A地的路程为A、B两地距离的时，甲车刚好行驶80千米．求此时乙车到达A地还需行驶多长时间．
20．老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：
（﹣）÷＝
（1）求所捂部分化简后的结果：
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？
21．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
22．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围．
23．“七 一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．
（1）求A，B奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解．
解：A、x＝±2时，|x|﹣2＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
B、x＝﹣时，2x+1＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
C、x＝0时，x2＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
D、无论x取何值，2x2+1≥1，分式都有意义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
2．人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将数0.0000077用科学记数法表示为（ ）
A．77×10﹣5 B．0.77×10﹣6 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：将数0.0000077用科学记数法表示为7.7×10﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求解．
解：由题意可知将分式的分子分母同时乘﹣1得：
＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
4．下列约分：①＝； ②＝；③＝；④＝1；⑤＝a﹣1；⑥＝﹣．其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
解：①＝，分子分母都除x，故①正确；
②＝，分子分母都减m，等式不一定成立，故②错误；
③＝，分子分母都减1，等式不一定成立，故③错误；
④＝1，分子分母都除以（xy+2），故④正确；
⑤＝a﹣1，分子分母都除以（a+1），故⑤正确；
⑥＝﹣，分子分母都除以（x﹣y），故⑥正确；
故选：B．
【点评】本题考查了分式基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，分注意式的分子分母都加或减同一个数，分式的值发生变化．
5．下列等式中，y不是x的函数的是（ ）
A．3x﹣2y＝0 B．x2﹣y2＝1 C． D．y＝|x|
【分析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
解：∵在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
∴选项By不是x的函数．
故选：B．
【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
6．下列等式成立的是（ ）
A．（﹣3）2＝﹣9 B．（﹣3）﹣2＝
C．（a﹣12）2＝a14 D．（﹣a﹣1b﹣3）﹣2＝﹣a2b6
【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可．
解：A、（﹣3）2＝9≠﹣9，本选项错误；
B、（﹣3）﹣2＝，本选项正确；
C、（a﹣12）2＝a﹣24≠a14，本选项错误；
D、（﹣a﹣1b﹣3）﹣2＝a2b6≠﹣a2b6，本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．
7．关于x的方程的解为x＝1，则a应取值（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
【分析】把x＝1代入方程，求出a的值，即可解答．
解：把x＝1代入方程得：＝，
在方程两边同乘4（a﹣1）得：4（2a+3）＝3（a﹣1），
解得：a＝﹣3，
检验：当a＝﹣3时，a﹣x≠0，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是解分式方程，注意检验．
8．如果a﹣b＜0，且ab＜0，那么点（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据有理数的乘法法则可得a、b为异号，根据不等式的性质可得a＜b，进而可得a为负，b为正，然后可得点P所在象限．
解：∵ab＜0，
∴a、b为异号，
∵a﹣b＜0，
∴a＜b，
∴a为负，b为正，
∴点P在第二象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负．记住各象限内点的坐标的符号：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
9．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（ ）
A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元
【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可．
解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据题意得：
，
解得：x＝2000，
经检验：x＝2000是原方程的解，
答：原计划每间直播教室的建设费用是2000元，
故选：C．
【点评】考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
10．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，2） C．（﹣1，﹣2） D．（0，1）
【分析】由点A、B、C的坐标可得出AB、BC的长度，从而可得四边形ABCD的周长，再根据12＝1×10+2即可得出细线另一端所在位置的点的坐标．
解：∵A点坐标为（1，1），B点坐标为（﹣1，1），C点坐标为（﹣1，﹣2），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝2﹣（﹣1）＝3，
∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2（AB+BC）＝10．
2021÷10＝202…1，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第1个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点的坐标是（0，1）．
故选：D．
【点评】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2019个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是m≠1；请你写出满足上述全部特点的一个分式： （答案不唯一） ．
【分析】根据分式的值为0的条件，由甲的叙述可知此分式的分子一定不等于0；根据分式有意义的条件，由乙的叙述可知此分式的分母当m＝1时该分式没有意义．
解：由题意，可知所求分式可以是：．
故答案可以是：（答案不唯一）．
【点评】本题是开放性试题，考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件及求分式的值的方法．
12．定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（x+3）的解为 无解 ．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
解：根据题中的新定义得：＝，
去分母得：2＝1，
则此方程无解．
故答案为：无解．
【点评】此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
13．若分式的值为零，则x的值是 1 ．
【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣1＝0，且x2+x≠0，再解即可．
解：由题意得：|x|﹣1＝0，且x2+x≠0，
解得：x＝1，
故答案为：1．
【点评】此题主要分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
14．函数自变量a的取值范围 a≠2和﹣3 ．
【分析】根据分式的分母不为0、负整数指数幂的概念列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：a﹣2≠0且a+3≠0，
解得：a≠2和﹣3，
故答案为：a≠2和﹣3．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0、负整数指数幂的概念是解题的关键．
15．若关于x的方程无解，则m的值为 0或4 ．
【分析】求解方程可得x＝，再由方程无解可得m﹣4＝0，即可求m的值．
解：，
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，可分为以下两种情况：
①分式方程没有意义时，
x＝0或﹣，
此时m＝0，
②整式不成立时，
4﹣m＝0，
∴m＝4，
故答案为：0或4．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意义是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可；
（2）先算有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，然后计算乘法，最后算加减法即可．
解：（1）（）÷
＝
＝
＝x﹣1；
（2）
＝（﹣1）+9﹣1+16×
＝（﹣1）+9﹣1+2
＝9．
【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下：
解：去分母得：2x+2﹣（x﹣3）＝3x……第一步；
解得：……第二步；
∴原分式方程的解是……第三步；
（1）小丽解答过程从第 一 步开始出错，正确结果是 2x+2﹣（x﹣3）＝6x ，这一步的依据是 等式的基本性质 ．
（2）小丽解答过程缺少的步骤是 检验 ．
（3）请写出正确的解题过程．
【分析】（1）根据等式的两边同乘2（x+1），即可判断；
（2）根据分式方程一定要验根，即可确定答案；
（3）根据解分式方程正确的步骤求解即可．
解：（1）小丽解答过程从第一步开始出错，正确结果是2x+2﹣（x﹣3）＝6x，
这一步的依据是等式的性质，
故答案为：一，2x+2﹣（x﹣3）＝6x，等式的基本性质；
（2）小丽解答过程缺少的步骤是检验，
故答案为：检验；
（3），
去分母得：2x+2﹣（x﹣3）＝6x，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
∴原分式方程的解是x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
18．先化简，再求值：÷（﹣x+1），请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用解一元一次不等式组的解法解出不等式组，把符合题意的x的值代入计算即可．
解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝
＝﹣，
，
解①得，x≤2，
解②得，x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x≤2，其中整数解是﹣2、﹣1、0、1、2，
由分式可知，x≠±2、﹣1，
当x＝0时，原式＝﹣＝1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、一元一次不等式组的解法，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从B地出发匀速驶往A地．如图表示甲、乙两车在全程行驶的过程中，离各自出发地的路程y（千米）与出发时间x（时）的函数图象．
（1）A、B两地相距 180 千米；甲车的速度为 60 千米/时；
（2）当乙车距A地的路程为A、B两地距离的时，甲车刚好行驶80千米．求此时乙车到达A地还需行驶多长时间．
【分析】（1）由图象信息可以得出AB两地的距离，再根据速度＝路程÷时间就可以求出结论．
（2）由（1）知道甲车的速度，求出甲车行驶的时间，就是乙车行驶的时间，再利用乙车行驶的路程除以时间就可以求出乙车的速度，从而求出乙车到达A地的时间．
解：（1）由图象得AB两地的路程为：180千米，
甲车的速度为：180÷3＝60千米/时．
故答案为：180，60；
（2）求出乙车的速度是：180×（1﹣）÷＝90千米/时，
则乙车到达A地还需行驶的时间为：
180×÷90＝小时．
答：乙车到达A地还需行驶小时．
【点评】本题考查了根据图象信息求路程．在根据路程＝速度×时间的关系求出相应的量，在解答中找准行程问题的基本关系式是关键．
20．老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：
（﹣）÷＝
（1）求所捂部分化简后的结果：
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？
【分析】（1）设所捂部分为A，根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可；
（2）令原代数式的值为﹣1，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可．
解：（1）设所捂部分为A，
则A＝ +
＝+
＝
＝；
（2）若原代数式的值为﹣1，则＝﹣1，即x+1＝﹣x+1，解得x＝0，
当x＝0时，除式＝0，
故原代数式的值不能等于﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义．
21．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【分析】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；
（2）设？为m，利用分式方程的增根解答即可．
解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1
解得x＝0
经检验，x＝0是原分式方程的解．
（2）设？为m，
方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1
由于x＝2是原分式方程的增根，
所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1
所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围．
【分析】先求得方程的解，再把x＞0转化成关于m的不等式，求得m的取值范围，注意x≠3．
解：方程两边同乘以x﹣3，得：x+m﹣3m＝3（x﹣3），
解得：，
∵x＞0，
∴＞0，
∴m，
∵x≠3，
∴m的取值范围为m且．
【点评】本题考查了分式方程的解以及解不等式，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
23．“七 一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．
（1）求A，B奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？
【分析】（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x﹣25）元，由题意：预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100﹣m）件，由题意：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
解：（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x﹣25）元，
由题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
则x﹣25＝15，
答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；
（2）设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100﹣m）件，
由题意得：，
解得：22.5≤m≤25，
∵m为正整数，
∴m的值为23，24，25，
∴有三种方案：
①购买A种奖品23件，B种奖品77件；
②购买A种奖品24件，B种奖品76件；
③购买A种奖品25件，B种奖品75件．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．
