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2023届高三湖北十一校第二次联考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合和，则（ ）
A. B.
C. D.
2.复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量，，则（ ）
A. B.69 C. D.43
4.已知，，且，那么的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.4
5.在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为、，体积分别为、，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
9.设，分别为随机事件，的对立事件，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.若，是相互独立事件，则
D.若，是互斥事件，则
10.设函数，则下列说法正确的是（ ）
A.没有零点 B.当时，的图象位于轴下方
C.存在单调递增区间 D.有且仅有两个极值点
11.已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆的焦距为2
B.过作圆切线的斜率为
C.若、为椭圆上关于原点对称且异于顶点和点的两点，则直线与的斜率之积为
D.的最小值为
12.已知函数.以下说法正确的是（ ）
A.若在处取得极值，则函数在上单调递增
B.若恒成立，则
C.若仅有两个零点，则
D.若仅有1个零点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若，则______.
14.在平面直角坐标系中，已知，，若圆上有且仅有四个不同的点，使得的面积为，则实数的取值范围是______.
15.已知定义在上的函数，，设曲线与在公共点处的切线相同，则实数______.
16.已知抛物线，弦过抛物线的焦点，过两点、分别作准线的垂线，垂足分别为、，设的中点为，线段的垂直平分线交轴于，则______；若的中点为，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知数列，若______.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
从下列个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解.
①
②，，
③，点，在斜率是2的直线上
18.（12分）已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足.
（1）若，求的外接圆半径；
（2）若，且，求的内切圆半径
19.（12分）如图，已知四棱锥中，，，，平面，平面平面
（1）证明：；
（2）若，且，为的重心.求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：
1 2 3 4 5 6 7 8
56.5 31 22.75 17.8 15.95 14.5 13 12.5
根据以上数据绘制了散点图.观察散点图，两个变量间的关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数.
（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；
（2）若与的相关系数，用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）根据企业长期研究表明，非原料成本服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，若非原料成本在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上面表格中非原料成本数据，哪些需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中）：
0.34 0.115 1.53 184 5777.555 93.06 13.9
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，
21.（12分）已知点为抛物线上的点，，为抛物线上的两个动点，为抛物线的准线与轴的交点，为抛物线的焦点.
（1）若，求证：直线恒过定点；
（2）若直线过点，，在轴下方，点在，之间，且，求的面积和的面积之比.
22.（12分）已知，函数有2个零点，记为，.
（1）证明：；
（2）对于，若存在，使得，试比较与的大小.
2023届高三湖北十一校第二次联考
数学试题参考答案
一：选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D C C C D B B AC BC ABD AB
二：填空题
13.. 14. 15.5 16.，1
三：解答题
17.解：若选①，则（1）由，
所以，，……1分
两式相减可得：，，……3分
而在中令可得：，符合上式，故. ……5分
（2）由（1）知：，……7分
所以. ……10分
若选②则（1）由可得：数列为等差数列，又因为，，所以，即，所以. ……5分
（2）同上.
若选③，则（1）由点，在斜率是2的直线上得：，即，所以数列为等差数列且. ……5分
（2）同上.
18.解：（1）因为，所以，
所以，……1分
因为，所以，
所以，……2分
因为，所以，所以，……4分
因为，所以，所以外接圆半径.所以……6分
（2）因为，有由题可知，所以，……7分
又因为，可得，……9分
因为.由的面积，得。……12分
19.（1）.过作于，∵平面平面
∴平面，又平面∴……2分
又∵平面，平面∴……4分
∴平面，又∵平面∴……5分
（2）.以为坐标原点，，为，轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，
∴，，
又设，∵，∴①∴，∴②
由①②得，，∴……7分
又，故，……8分
设平面的法向量为则令，∴…10分
设与平面所成的角为.则. ……12分
20.解：（1）令，则可转化为
因为，所以
所以，所以，所以关于的回归方程为；……4分
（2）因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，
把代入回归方程得（元），
所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元；……7分
（3）因为，所以，
因为样本标准差为，……9分
所以，所以非原料成本服从正态分布，
所以，
因56.5在之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因.……12分
21.（1）：设直线的方程为，，
将代入抛物线方程得……1分
联立
∵∴……2分
或……5分
若，直线的方程为，恒过定点，不合题意舍；
若，直线的方程为，恒过定点. ……6分
（2）解析：方法1：设直线的方程为，，
……8分
不妨设直线的倾斜角为，
则∴，，
∵∴
∵∴，，共线……10分∴. ……12分
方法2：设直线的方程为，，
∵，，，，
∴
……8分
由于直线过点，，在轴下方，∴……9分
代入得，∴……10分
∵∴，，共线∴……12分
其它方法：①利用面积相等建立等量关系求；②利用余弦定理建立等量关系求；
22.解析：（1）因为有2个零点，所以方程有2个根. ……1分
令，则，所以在上单调递增，在上单调递减.
因此在处取得最大值……2分
所以，即有，且有……3分
又，，结合函数单调性可得，，，
所以……5分
（2）由得
.
而，所以
. ……7分
设，则. ……8分
令，则……9分
所以在上单调递增，因此.故……10分
又，，即，所以，从而，
又因为在上递增，所以，得证……12分
