第三章 函数的概念与性质单元检测
第I卷（选择题）
单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·全国·高一课时练习）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案.
【详解】由函数为奇函数，可得，
所以，
所以，化简得恒成立，
所以，即,
经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；
故选:A．
2．（2021·全国·高一专题练习）已知函数，则等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】令，求得得值，代入，即可得出答案.
【详解】解：令，则，
所以.
故选：A.
3．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，则，原函数即为：，可解决此题．
【详解】解：令，则，
原函数即为：，
对称轴方程为，可知，
函数值域为．
故选：C．
4．（2021·江苏·高一单元测试）函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]
【答案】D
【分析】由函数的单调性可求解．
【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数，
则，解得．
故选：D．
5．（2020·江西·鹰潭一中高一阶段练习）已知，若，则=
A． B．2 C．4 D．1
【答案】C
【分析】根据所给函数特征，先判断的函数值特征，再根据条件及所求结果建立等量关系，即可求得的值．
【详解】因为
所以
因而
所以
所以选C
【点睛】本题考查了函数性质的综合应用，根据解析式判断出函数所具有的性质，需要很好的数感和对函数的理解，属于中档题．
6．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值等于（ ）
A．3 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【分析】根据函数在上是单调函数，且，易知为定值，然后设，得到，由求解.
【详解】因为函数在上是单调函数，且，
所以为定值，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可知，将化为，再根据定义域和单调性即可求解.
【详解】∵是偶函数，
，
故可变形为，
∵在区间上单调递减，
故.
故选：C.
8．（2021·全国·高一专题练习）已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题目比较综合，先要通过的奇偶性，列出关于的方程组，用方程组的方法求出关于的解析式，，可以变形为，是单调性的定义，说明构造新函数之后，函数在单调递增，最后根据新函数在区间的单调性，可以分类讨论得到函数中参数的范围
【详解】由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以
将代入得：
联立 解得：
，等价于，
即：，令，则在单增
①当时，函数的对称轴为，所以在单增
②当时，函数的对称轴为，若在单增，则，得：
③当时，单增，满足题意
综上可得：
故选：C
【点睛】题目考察的知识点比较综合，涉及到：
①函数奇偶性的应用
②通过方程组法求解函数的解析式
③构造新函数
④已知函数在某一区间内的单调性，求解参数的范围
需要对函数整个章节的内容都掌握比较好，才能够顺利解决
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
【答案】BC
【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.
【详解】函数的定义域是，故A错误；
当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；
当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；
当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．
故选：BC．
10．（2021·全国·高一单元测试）存在函数满足：对于任意都有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据函数的定义判断各选项的对错.
【详解】对于A，取可得，取可得，与函数定义矛盾，故A错误，
对于B，设，则，所以可化为，B正确，
对于C，设，则，所以可化为，C正确，
对于D，设，则，所以可化为，D正确，
故选：BCD.
11．（2021·全国·高一单元测试）若定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，，则（ ）
A． B．是奇函数
C．在上是减函数 D．时，
【答案】ABCD
【分析】令，代入恒等式得，再令，，代入恒等式结合奇偶性的定义可判断奇偶性，利用单调性的定义可证明函数为上的减函数，通过奇偶性以及当时，可判断D.
【详解】（1）∵对任意的，都有，①
令代入①式，得，
即 ，故A正确；
令，，代入①式，得 ，
又，则有，
即对任意成立，则是奇函数，故B正确；
设，，且，则，从而，
又，
∴，即，
∴函数为上的减函数，故C正确；
当时，，，即，
故，故D正确，
故选ABCD．
【点睛】本题主要考查了抽象函数的奇偶性的证明单调性的证明，利用赋值法是解决问题的关键，属于中档题．
12．（2021·全国·高一课时练习）对任意，用表示，中的较小者，记为．若，，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．方程有三个不相等的实数解
C．函数在区间上单调递增 D．函数的最大值为1，无最小值
【答案】ABD
【分析】由，作出的图象，利用数形结合法判断.
【详解】，的图象如图所示，
由图象知：是偶函数，选项A正确；
由图可知，的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个不相等的实数解，选项B正确；
由图可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，选项C错误；
由图可知，当时，取得最大值1，没有最小值，选项D正确．
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________.
【答案】
【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.
【详解】因函数是幂函数，则，解得或，
当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾，
当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，
不等式化为：，即，解得：，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则______.
【答案】##1010.75
【分析】观察所求结构，考察的值，然后可得.
【详解】因为，，
所以
.
故答案为：
15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．
【答案】－6
【分析】先利用题意能得到和，解得和，代入中，再代入，再结合二次函数的性质求最小值
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
故，即，则解得，
所以，，
所以，，
则，
故答案为：-6
16．（2022·全国·高一课时练习）设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.
【详解】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)－1
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义求解；
（2）由二次函数的对称轴与区间的关系求解；
（3）根据对称轴与区间的关系分类讨论求得最小值．
（1）
因为定义在上的函数为偶函数，
所以，都有成立，即，都有成立，解得．
（2）
因为函数图象的对称轴为，
所以要使函数在上具有单调性，
则，或，即或，
则的取值范围为．
（3）
①若函数在上单调递减，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
②若函数在上单调递增，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
③若函数在上不单调，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
综上所述，函数在区间上的最小值为.
18．（2021·江苏·高一单元测试）二次函数满足且．
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
(3)设函数在区间上的最小值为，求的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设出，求出，用待定系数法求出函数；
（2）由恒成立，得到恒成立，令，求出最小值，从而得到m的取值范围；
（3）讨论、和，结合二次函数的单调性，即可求得结果．
(1)
解：设，．
则．
从而，，
又，
，
又，
．
(2)
因为当时，不等式恒成立，
所以在上恒成立．
令，，
．
当时，单调递减，
当时，，
所以．
(3)
当，即时，在单调递减，
；
当，即时，则在单调递减，单调递增，
；
当时，则在单调递增，
．
.
19．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先由函数的奇偶性得到b=0，然后由求解；
（2）利用函数单调性定义证明；
（3）将，转化为，利用单调性求解.
(1)
解：因为函数，恒成立，
所以，则，
此时，所以，
解得，
所以；
(2)
证明：设，
则，
，
，且，则，
则，即，
所以函数是增函数．
(3)
，
，
是定义在上的增函数，
，得，
所以不等式的解集为．
20．（2021·全国·高一课时练习）函数f（x）对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．
(1)证明函数f（x）的奇偶性；
(2)若f（1）= －2，求函数f（x）在[－2，2]上的最大值；
(3)解关于x的不等式
【答案】(1)证明见解析
(2)4
(3)或
【分析】（1）利用赋值法，结合奇偶性的定义证得是奇函数.
（2）利用定义法证得在上递减，进而求得在上的最大值.
（3）结合函数的奇偶性、单调性化简不等式，进而求得不等式的解集.
(1)
令x=y=0得f(0)=0,
再令y=—x即得f(－x)=－f(x）,
∴是奇函数.
(2)
设任意，且，则，由已知得①，
又②，
由①②可知，
由函数的单调性定义知f(x)在(-∞，+∞)上是减函数，
∴x∈[－2，2]时，，
∴f(x)当x∈[－2，2]时的最大值为4．
(3)
由已知得：，
由（1）知f(x）是奇函数，
∴上式又可化为：，
由（2）知f(x）是R上的减函数，
∴上式即：，
化简得，
∴ 原不等式的解集为或.
21．（2022·全国·高一课时练习）已知______，且函数.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为.
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.
【答案】(1)选择条件见解析，a＝2，b＝0；为奇函数，证明见解析；
(2).
【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数；
若选择②，利用单调性得到关于的方程，求解即可；
将的值代入到的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性；
（2）将题中条件转化为“的值域是的值域的子集”即可求解.
（1）
选择①.
由在上是偶函数，
得，且，所以a＝2，b＝0.
所以.
选择②.
当时，在上单调递增，则，解得，
所以.
为奇函数.
证明如下：的定义域为R.
因为，所以为奇函数.
（2）
当时，，因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；
当时，因为为奇函数，所以；
当x＝0时，，所以的值域为.
因为在上单调递减，所以函数的值域是.
因为对任意的，总存在，使得成立，
所以，所以,解得.
所以实数c的取值范围是.
22．（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，当的最小值是0时，求m的值；
(3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围．
【答案】(1)；
(2)-1；
(3)
【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值；
（2）求得，，，令，则函数转化为则，，，对分类讨论，求出最小值，即可求得的值；
（3）在，上单调递减，由“佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围．
(1)
（1）因为幂函数在内是单调增函数，
所以，解得，
所以函数的解析式为．
(2)
，，，
令，则，，则，，，
当，即时，的最小值为（1），
所以，解得；
当，即时，的最小值为，
所以，解得（舍；
当，即时，的最小值为（2），
所以，解得（舍．
综上，的值为．
(3)
，，则在，上单调递减，
因为是“佳”函数，
所以，
令，，
则，，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，，
所以，代入，
得，
因为，所以，得，
令，，，
所以，该函数在，上单调递减，
所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解第三章 函数的概念与性质单元检测
第I卷（选择题）
单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·全国·高一课时练习）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2021·全国·高一专题练习）已知函数，则等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏·高一单元测试）函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]
5．（2020·江西·鹰潭一中高一阶段练习）已知，若，则=
A． B．2 C．4 D．1
6．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值等于（ ）
A．3 B．7 C．9 D．11
7．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国·高一专题练习）已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
10．（2021·全国·高一单元测试）存在函数满足：对于任意都有（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国·高一单元测试）若定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，，则（ ）
A． B．是奇函数
C．在上是减函数 D．时，
12．（2021·全国·高一课时练习）对任意，用表示，中的较小者，记为．若，，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．方程有三个不相等的实数解
C．函数在区间上单调递增 D．函数的最大值为1，无最小值
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________.
14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则______.
15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．
16．（2022·全国·高一课时练习）设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
18．（2021·江苏·高一单元测试）二次函数满足且．
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
(3)设函数在区间上的最小值为，求的表达式．
19．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
20．（2021·全国·高一课时练习）函数f（x）对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．
(1)证明函数f（x）的奇偶性；
(2)若f（1）= －2，求函数f（x）在[－2，2]上的最大值；
(3)解关于x的不等式
21．（2022·全国·高一课时练习）已知______，且函数.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为.
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.
22．（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，当的最小值是0时，求m的值；
(3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围．
