第四章：平行四边形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
2．如图，在 ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则 ABCD的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB＝57°，则∠AGD＝（ ）
A．108° B．36° C．129° D．72°
4．如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，若AB＝6，AD＝8，则EF的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（ ）
①一组对边平行，另一组对边相等；②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
③一组对边平行，一组对角相等；④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
7．如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）
A．2 B．2.3 C．4 D．7
9．如图，E是 ABCD的边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．24 B．17 C．13 D．10
10．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________
12.如图，在□ABCD中，连结BD，且BD=CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN=，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，则AP=
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．若AB＝4，BC＝8，则DO＝
14.在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过__________秒该直线可将平行四边形OABC的面积分为1：3两部分．
15.如图，的周长为19，点，在边上，的角平分线垂直于，垂足为，的角平分线垂直于，垂足为，若，则的长度为______________
16．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm．点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）且t＞0，当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，则t的所有可能值为
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点.求证：（1）BE⊥AC； （2）EG=EF.
18．（本题8分）如图，在△ABC中，点D为AC中点，延长CA至E，使AE＝BC，连接BE，点F为BE中点，连接FD并延长交BC延长线于G．
（1）求证：CD＝CG；（2）若∠ACB＝60°，BC＝6，求FD的长．
19（本题8分）．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AC＝AD，点E在边BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，联结DE．（1）求证：BC＝DE；（2）当AC＝BC时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
21（本题10分）．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）若AB＝10，AC＝4，求BF的长．
22（本题12分）．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）AP＝ ，BQ＝ ，（分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
23.（本题12分）如图，直线：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点C，且OA＝8．(1)求直线的解析式：(2)若与y轴交于点D，求△BCD的面积，
(3)在线段上BC是否存在一点E，过点E作轴与直线CD交于点F，使得四边形OBEF是平行四边形？若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第四章：平行四边形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：C
解析：设这个多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2） 180°＝1080°，
∴n＝8，
即这个多边形是八边形．
故选：C．
2.答案：B
解析：设E点到AD的距离为h，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，A点到BE的距离为h．
∵△ADE的面积为2，
∴AD×h＝2，即AD×h＝4．
∴ ABCD面积＝AD×h＝4．
故选：B．
3.答案：C
解析：过点D作DH∥FB交于点H，
∵∠CFB＝57°，
∴∠CDH＝∠CFB＝57°，
在正五边形ABCDE中，∠CDE＝108°；
∴∠HDE＝∠CDE﹣∠CDH＝108°﹣57°＝51°；
∵BF∥AG，
∴∠AGD＝180°﹣∠CDH＝180°﹣51°＝129°，
故选：C．
4.答案：A
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD，AD∥BC，
∵BF平分∠ABC交AD于E，CE平分∠BCD交AD于F，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，
∴AB＝AF＝6，DC＝DE＝6，
∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣AD＝4．
故选：A．
5.答案：B
解析：①错误．这个四边形有可能是等腰梯形；
②正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形；
③正确．可证明等角的补角相等；
④错误．不可证明全等．
故选：B．
6.答案：D
解析：如图，以AB为对角线的平行四边形有11个，以AB为边的平行四边形有2个，
∴共有13个，
故选：D．
7.答案：C
解析：在 ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
8.答案：C
解析：连接DN，
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝，
∴EF的最大值为6.5．
∵∠A＝90°，AD＝5，
∴DN≥5，
∴EF≥2.5，
∴EF长度的可能为4；
故选：C．
9.答案：B
解析：连接EF，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵Q是CE中点，
∴EQ＝CQ，
在△BEQ和△FCQ中，
，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE＝CF，
∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF＝2S△BQC＝14cm2，
∵AB﹣BE＝CD﹣CF，
即AE＝FD，
∵AE∥FD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴S△PEF＝S△APD＝3cm2，
∴阴影部分的面积＝S△BEF+S△PEF＝14+3＝17（cm2）．
故选：B．
10.答案：D
解析：如图，
连接CF，
∵∠ACB＝90°，点F是AB的中点，
∴CF＝AF，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴EF⊥AC，故①正确；
∵△ABD是等边三角形，△ACE是等边三角形，
∴∠AD＝BD，DAB＝60°，∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴DF⊥AB，
∴∠DFA＝∠BAE＝90°，
∴DF∥AE，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，
由①知：AC⊥EF，BC⊥AC，
∴EF∥BC，
∴AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
故②正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AF＝2AG，
∵AD＝AB，AB＝2AF，
∴AD＝B＝4AG，
故③正确；
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ABC＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBF＝∠AFE，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE，
∵∠DFB＝∠EAF＝90°，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
故④正确，
综上所述：①②③④均正确，
故选择：D．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝，
故答案为．
12.答案：10
解析：∵平行四边形ABCD，∴，
∵，∴，
∵，
∴，
∵，
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
13.答案：
解析：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝8，
∴∠DAO＝90°，
，
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴，EF∥AB，，
∵AB＝2AD，
∴，
∴AD＝EF＝2，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴，
∵∠DAO＝90°，
∴
故答案为：．
14.答案：4或8
解析：四边形是平行四边形，，点，
，
设直线平移后的解析式为，交于，交于，
把代入得，，解得，
，，
把代入得，，解得，
，，
若四边形的面积是四边形的面积的时，则，
，
解得；
此时直线要向下平移8个单位；
时间为4秒；
若四边形的面积是四边形的面积的时，则，
，
解得，
此时直线要向下平移16个单位；
时间为8秒，
故答案为：4或8．
15.答案：
解析：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴DE=BE+CD-BC=5，
∴MN=DE=．
16.答案：3.6或6或7.2．
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝9cm，AD∥BC，
∴当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
①点Q的运动路线是C﹣B，
则9﹣4t＝9﹣t，
解得：t＝0，不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，
则4t﹣9＝9﹣t，
解得：t＝3.6；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，
则9﹣（4t﹣2×9）＝9﹣t，
解得：t＝6；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，
则4t﹣3×9＝9﹣t，
解得：t＝7.2；
综上所述，t＝3.6或6或7.2时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：3.6或6或7.2．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，BD=2BO.
∵BD=2AD，
∴BO=BC，
又∵点E是OC中点，
∴BE⊥AC；
（2）证明：由（1）知BE⊥AC
又∵点G是AB中点，
∴EG是Rt△ABE斜边上的中线，
∴EG=AB，
又∵EF是△OCD的中位线，
∴EF=CD，
又∵AB=CD，
∴EG=EF.
18.解析：（1）如图，取AB的中点M，连接FM，DM，
∵F为BE中点，M为AB中点，
∴FM∥AE，FM＝AE，
∴∠MFD＝∠CDG，
∵D为AC中点，M为AB中点，
∴DM＝BC，DM∥BC，
∴∠MDF＝∠G，
∵AE＝BC，
∴MF＝DM，
∴∠MFD＝∠MDF，
∵∠G＝∠CDG，
∴CD＝CG；
（2）解：由（1）知：∠MFD＝∠MDF，
∴MF＝MD，
如图，作MN⊥DF于N，
∴DN＝NF＝DF，∠MND＝90°，
∵∠ACB＝∠CDG+∠G＝60°，
∴∠G＝∠CDG＝30°，
∴∠MDN＝30°＝∠G，
在Rt△DMN中，DM＝BC＝3，
∴MN＝DM＝，
∴DN＝，
∴DF＝2DN＝．
19.解析：（1）∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD．
在△ABC与△AED中，
．
∴△ABC≌△AED（SAS）．
∴BC＝DE；
（2）由（1）可知，△ABC≌△AED，
∴∠B＝∠AED，BC＝DE，AC＝AD，
∵AC＝BC，
∴BC＝AD＝DE，
∴∠EAD＝∠AED，
∴∠B＝∠EAD，
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B，
∴∠EAD＝∠AEB，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
20.解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠EFC，
∵点E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）证明：∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
∵BE⊥AF，
∴BA＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∵∠DAE＝∠BFA，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴AE平分∠DAB；
（3）∵∠DAB＝60°，AB＝4，
∴∠DAE＝∠BAF＝30°，
∵BE⊥AF，
∴BE＝AB＝2，
∴AE＝BE＝2，
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE的面积＝△FCE的面积，
∴ ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2××AE BE＝2×2＝4．
21.解析：（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）＝（10﹣4）＝3．
22.解析：（1）∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，
∴AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∴BQ＝（15﹣3t）cm，
故答案为：t，15﹣3t；
（2）设点A到BC的距离为h，
∵四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍，
∴×（12﹣t+3t）×h＝2××（t+15﹣3t）×h，
∴t＝3；
（3）若四边形APQB是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴t＝15﹣3t，
∴；
若四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴12﹣t＝3t，
∴t＝3，
若四边形APCQ是平行四边形，
∴AP＝CQ，
∴t＝3t，
∴t＝0（不合题意舍去），
若四边形PDQB是平行四边形，
∴PD＝BQ，
∴12﹣t＝15﹣3t，
∴，
综上所述：当或3或时，点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
23.解析：（1）∵OA=8，
∴点A的坐标为（8，0），
∴，
∴b=4，
∴直线的解析式为；
(2)∵直线：与y轴交于点D，直线：与y轴交于点B，
∴点D的坐标为（0，-6），点B的坐标为（0，4），
∴BD=10，
联立 ，
解得，
∴点C的坐标为（4，2），
∴；
(3)假设存在，
设点E的坐标为（，），则点F的坐标为（m，2m-6），
∴，
∵四边形OBEF是平行四边形，
∴EF=OB=4，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（，），
∴存在点E（，）使得四边形OBEF是平行四边形．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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