福建省莆田市荔城区2022-2023九年级上学期期末数学试题(含答案)

莆田市荔城区2022-2023年第一学期质量监测
九年级数学
(满分:150分;考试时间:120分钟)
友情提示:请把所有答案填涂到答题纸上!请不要错位、越界答题!
一、精心选一选(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列航天图标中,其图案是中心对称图形的是(  )
A. B. C. D.
2.下列方程属于一元二次方程的是(  )
A. B. C. D.
3.将抛物线向上平移3个单位,所得抛物线的解析式是(  )
A. B. C. D.
4.“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P,则(  )
A. B. C. D.
5.如图,在△ABC中,DE∥BC,,,则的值是(  )
A. B. C. D.
6.一个不透明的盒子中装有5个乒乓球,这些球除颜色外其他完全相同,做了1000次摸球试验,摸到黄球的频数为401,则估计其中的黄球个数为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,若∠BCD=30°,则∠ABD的大小为(  )
A.60° B.50° C.40° D.20°
8.如图,为固定电线杆AC,在离地面高度为6 m的A处引拉线AB,使拉线AB与地面上的BC的夹角为48°,则拉线AB的长度约为(  ).(结果精确到0.1m,参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)
A.6.7m B.7.2m C.8.1m D.9.0m
9.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,中遣人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.“其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是(  )
A. B.
C. D.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,若M是BC边上任意一点,将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN,点M的对应点为点N,连接MN,则下列结论一定正确的是(  )
A.AB=AN
B.AB∥NC
C.∠AMN=∠ACN
D.MN⊥AC
二、细心填一填(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.在平面直角坐标系xOy中,点(2,-1)关于原点对称的点的坐标是________.
12.已知关于x的一元二次方程的一个根是1,则m的值为________.
13.在平面直角坐标系xOy中,若点A(2,),B(5,)在反比例函数()的图象上,则____________(填“>”“=”或“<”).
14.北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计,体现了环保低碳理念.如图所示,它的主体形状呈正六边形.若点A、F、B、D、C、E是正六边形的六个顶点,则__________°.
15.如图,等边三角形ABC内接于⊙O,,则图中阴影部分的面积是__________.
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线()与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点.若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为__________.
第14题图 第15题图 第16题图
三、耐心做一做(本大题共9小题,共86分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分8分)解方程:.
18.(本题满分8分)如图,在Rt△ABC中,,E是边AC上一点,且,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D.求证:△ADE∽△ABC.
19.(本题满分8分)已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为α,,且,求m的值.
20.(本题满分8分)为扎实描进“五育并举”工作,某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动,每个学生只选择一项活动参加.为了解活动开展情况,学校随机抽取部分学生进行调查,将调查结果绘成如下表格和扇形统计图.
参加四个社团活动人数统计表 参加四个社团活动人数扇形统计图
社团活动 舞蹈 篮球 围棋 足球
人数 50 30 80
请根据以上信息,回答下列问题:
(1)抽取的学生共有_________人,其中参加围棋社的有___________人;
(2)若该校有3200人,估计全校参加篮球社的学生有多少人?
(3)某班有3男2女共5名学生参加足球社,现从中随机抽取2名学生参加学校足球队,请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率.
21.(本题满分8分)如图,△ABC中,,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使得点B的对应点E落在边AB上(点E不与点B重合).
(1)求作△DEC(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)试判断线段AB、CD的位置关系,并证明.
22.(本题满分10分)为实施“乡村振兴”计划,村产业合作社种植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收,销售前对本地市场进行调查发现:当批发价为4千元/吨时,每天可售出12吨,每吨涨1千元,每天销量将减少2吨.据测算,每吨平均投入成本2千元,为了抢占市场,薄利多销,该村产业合作社决定,批发价每吨不低于4千元,不高于5.5千元.请解答以下问题:
(1)求每天销量y(吨)与批发价x(千元/吨)之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)当批发价定为多少时,每天所获利润最大?最大利润是多少?
23;(本题满分10分)如图,在△ABC中,,点D是AB边的中点,点O在AC边上,⊙O经过点C且与AB边相切于点E,AF∥CD.
(1)求证:AF是⊙O的切线;
(2)若,,求⊙O的半径.
24.(本题满分12分)如图1,已知△ABC和△CDE为等腰三角形,其中,, AB∥CE,点B、C、D在同一直线上,连接AE,过点D作DF∥AE交AC的延长线于点F,连接BF.
(1)求证:△ABF≌△CAE;
(2)若,求证:;
(3)如图2,延长FB与EA相交于点M,若,求的值.
25.(本题满分14分)已知抛物线经过(0,-3),(2,-3)两点,与x轴交于A、B两点(点A在B的左侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点C为第四象限抛物线上一动点,直线AC与y轴交于点D,连接BC.
① 如图1,若时,求点C的坐标;
② 如图2,直线BD与抛物线交于点E,连接AE.问:是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
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九年级数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C B B A C A C
二、填空题
11.(-2,1);12.2;13.>;14.;15.;16.2.
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线()与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点.若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为__________.
解:∵对称轴为,A(0,),
∴M(0,),
∵AM=BM,
∴B(4,),
又顶点P(1,),
∴直线OB斜率:,.
三、解答题
17.(本题满分8分)
解:△=4+4=8,

,.
18.(本题满分8分)
解:∵,
∴,
∵,,
∴∠BAC+∠C=90°,∠DAE+∠DEA=90°,
∴∠BAC=∠DEA,
∴△ADE∽△ABC.
19.(本题满分8分)
解:(1)∵△
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)∵,,

∴.
20.(本题满分8分)
解:(1)200,40;
(2)(人);
(3)画树状图如下:
在这20种可能结果中,共有12种是“一男一女”,
∴.
21.(本题满分8分)
解:(1)作图如右:
(2)∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
由旋转知:△DEC≌△ABC,
∴∠DCB=∠ACB=∠B,
又CE=CB,
∴∠CEB=∠B,
∴∠DCB=∠CEB,
∴DC∥AB.
22.(本题满分10分)
解:(1),();
(2),,
∵,在对称轴左侧,
∴y随x增大而增大,
∴当时,W有最大值:,
即:批发价为5.5千元/吨时,每天获得最大利润31.5千元.
23;(本题满分10分)
解:(1)作OH⊥AF,连接OE,
∵AB与⊙O的相切于E,
∴∠AEO=90°,
∵,D是AB的中点,
∴AD=CD,
∴∠CAD=∠ACD,
又AF∥CD,
∴∠FAC=∠ACD,
∴∠FAC=∠CAD,
∴OH=OE,
又AO=AO,
△AOH≌△AOE (HL)
∴∠AHO=∠AEO=90°,
∴AF是⊙O的切线;
(2)在△ABC中,
∵,,
∴AC=8,AB=10,
∵,
∴,,
∴.
24.(本题满分12分)
解:(1)如图1,
∵AB∥CE,
∴∠BAC=∠ACE,
∵AB∥CE,DF∥AE,
∴四边形AEDF是□AEDF,
∴AF=DE,
又,
∴AF=CE,
又,
∴△ABF≌△CAE;
(2)∵AB∥CE,,
∴,
∵,
∵B、C、D在同一直线上,
∴,
在△DCF中,,
∴,
∴△ECD∽△DCF,
∴,,
即:,
∴;
(3)设,,
由(1)知
又∠M=∠M,
∴△ABM∽△FAM,
∴,
又△ECD∽△ABC,
∴,
∵AF=EC,
∴,
设,,
则,
∴,
∵,
∴,
即:,,
设,则,
解之得:.
∴.
25.(本题满分14分)已知抛物线经过(0,-3),(2,-3)两点,与x轴交于A、B两点(点A在B的左侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点C为第四象限抛物线上一动点,直线AC与y轴交于点D,连接BC.
① 如图1,若时,求点C的坐标;
② 如图2,直线BD与抛物线交于点E,连接AE.问:是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
解:(1);
(2)
①设C(t,)
∵,
∴A(3,0),B(-1,0),
∴直线AC斜率:,
直线BC斜率:,
∵,
∴,
∴,(负舍),
∴C(,-1);
②直线AC解析式:,
∴D(0,),
直线BE解析式:,
与抛物线联立后:,

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