莆田市荔城区2022-2023年第一学期质量监测
九年级数学
（满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：请把所有答案填涂到答题纸上!请不要错位、越界答题!
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
4．“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．一个不透明的盒子中装有5个乒乓球，这些球除颜色外其他完全相同，做了1000次摸球试验，摸到黄球的频数为401，则估计其中的黄球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠BCD=30°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
8．如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6 m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面上的BC的夹角为48°，则拉线AB的长度约为（ ）．（结果精确到0.1m，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．6.7m B．7.2m C．8.1m D．9.0m
9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，中遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB=AN
B．AB∥NC
C．∠AMN=∠ACN
D．MN⊥AC
二、细心填一填（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系xOy中，点（2，－1）关于原点对称的点的坐标是________．
12．已知关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值为________．
13．在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，），B（5，）在反比例函数（）的图象上，则____________（填“＞”“＝”或“＜”）．
14．北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A、F、B、D、C、E是正六边形的六个顶点，则__________°．
15．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，，则图中阴影部分的面积是__________．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为__________．
第14题图 第15题图 第16题图
三、耐心做一做（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分8分）解方程：．
18．（本题满分8分）如图，在Rt△ABC中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D．求证：△ADE∽△ABC．
19．（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，，且，求m的值．
20．（本题满分8分）为扎实描进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表 参加四个社团活动人数扇形统计图
社团活动 舞蹈 篮球 围棋 足球
人数 50 30 80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有_________人，其中参加围棋社的有___________人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
21．（本题满分8分）如图，△ABC中，，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E落在边AB上（点E不与点B重合）．
（1）求作△DEC（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）试判断线段AB、CD的位置关系，并证明．
22．（本题满分10分）为实施“乡村振兴”计划，村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨．据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
23；（本题满分10分）如图，在△ABC中，，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，AF∥CD．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径．
24．（本题满分12分）如图1，已知△ABC和△CDE为等腰三角形，其中，， AB∥CE，点B、C、D在同一直线上，连接AE，过点D作DF∥AE交AC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△CAE；
（2）若，求证：；
（3）如图2，延长FB与EA相交于点M，若，求的值．
25．（本题满分14分）已知抛物线经过（0，－3），（2，－3）两点，与x轴交于A、B两点（点A在B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为第四象限抛物线上一动点，直线AC与y轴交于点D，连接BC．
① 如图1，若时，求点C的坐标；
② 如图2，直线BD与抛物线交于点E，连接AE．问：是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
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九年级数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C B B A C A C
二、填空题
11．（－2，1）；12．2；13．＞；14．；15．；16．2．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为__________．
解：∵对称轴为，A（0，），
∴M（0，），
∵AM=BM，
∴B（4，），
又顶点P（1，），
∴直线OB斜率：，．
三、解答题
17．（本题满分8分）
解：△=4+4=8，
，
，．
18．（本题满分8分）
解：∵，
∴，
∵，，
∴∠BAC+∠C=90°，∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠BAC=∠DEA，
∴△ADE∽△ABC．
19．（本题满分8分）
解：（1）∵△
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵，，
∴
∴．
20．（本题满分8分）
解：（1）200，40；
（2）（人）；
（3）画树状图如下：
在这20种可能结果中，共有12种是“一男一女”，
∴．
21．（本题满分8分）
解：（1）作图如右：
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
由旋转知：△DEC≌△ABC，
∴∠DCB=∠ACB=∠B，
又CE=CB，
∴∠CEB=∠B，
∴∠DCB=∠CEB，
∴DC∥AB．
22．（本题满分10分）
解：（1），（）；
（2），，
∵，在对称轴左侧，
∴y随x增大而增大，
∴当时，W有最大值：，
即：批发价为5.5千元/吨时，每天获得最大利润31.5千元．
23；（本题满分10分）
解：（1）作OH⊥AF，连接OE，
∵AB与⊙O的相切于E，
∴∠AEO=90°，
∵，D是AB的中点，
∴AD=CD，
∴∠CAD=∠ACD，
又AF∥CD，
∴∠FAC=∠ACD，
∴∠FAC=∠CAD，
∴OH=OE，
又AO=AO，
△AOH≌△AOE （HL）
∴∠AHO=∠AEO=90°，
∴AF是⊙O的切线；
（2）在△ABC中，
∵，，
∴AC=8，AB=10，
∵，
∴，，
∴．
24．（本题满分12分）
解：（1）如图1，
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∵AB∥CE，DF∥AE，
∴四边形AEDF是□AEDF，
∴AF=DE，
又，
∴AF=CE，
又，
∴△ABF≌△CAE；
（2）∵AB∥CE，，
∴，
∵，
∵B、C、D在同一直线上，
∴，
在△DCF中，，
∴，
∴△ECD∽△DCF，
∴，，
即：，
∴；
（3）设，，
由（1）知
又∠M=∠M，
∴△ABM∽△FAM，
∴，
又△ECD∽△ABC，
∴，
∵AF=EC，
∴，
设，，
则，
∴，
∵，
∴，
即:，，
设，则，
解之得：．
∴．
25．（本题满分14分）已知抛物线经过（0，－3），（2，－3）两点，与x轴交于A、B两点（点A在B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为第四象限抛物线上一动点，直线AC与y轴交于点D，连接BC．
① 如图1，若时，求点C的坐标；
② 如图2，直线BD与抛物线交于点E，连接AE．问：是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：（1）；
（2）
①设C（t，）
∵，
∴A（3，0），B（-1，0），
∴直线AC斜率：，
直线BC斜率：，
∵，
∴，
∴，（负舍），
∴C（，-1）；
②直线AC解析式：，
∴D（0，），
直线BE解析式：，
与抛物线联立后：，
