2022-2023学年陕西省西安市新城区西安工业大学附中八年级第一学期第一次月考数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列实数中的无理数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．若a，b，c为△ABC的三边，下列条件中：①∠B＝∠A﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：，则能判定△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列各式中运算正确的是（ ）
A．﹣＝﹣3 B．＝±7 C．＝﹣2 D．＝8
4．下列说法中错误的是（ ）
A．有理数和无理数统称为实数
B．实数和数轴上的点是一一对应的
C．平方根是其本身的数只有0
D．负数没有立方根
5．如图，若在象棋盘上规定“马”位于点（2，2），“炮”位于点（﹣1，2），则“兵”位于点（ ）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2）
6．已知点A（﹣m﹣1，3m）在x轴上，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．
7．如图，有一个圆柱形油罐，其底面周长是12m，高AB为5m，现在要以点A为起点环绕油罐表面建梯子，终点正好建在点A的正上方的点B处，则梯子最短需要（ ）
A．10米 B．11米 C．12米 D．13米
8．如图，根据作图的痕迹可知，点C表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，点M（1，﹣3）与点N（1，y）之间的距离是4，则y的值（ ）
A．1 B．±7 C．1或﹣7 D．﹣3或5
10．一长方体容器如图①摆放，长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5．若将其倾斜（水未倒出容器），倾斜后的长方体容器的主视图如图②所示，则图中CD的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
11．计算：＝ ．
12．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标 ．
13．如果，那么x+y的值为 ．
14．如图，露在水面的鱼线BC长为3m，钓鱼者把鱼竿AC提起到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为4m，若BB'的长为1m，则钓鱼竿AC的长为 m．
15．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（2，1）．线段PQ在x轴上运动（点P在点Q的左侧），且PQ＝1，则四边形APQB周长的最小值为 ．
三、解答题（共7小题，计55分.解答要写出过程）
16．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（2，3），C（﹣4，5）．
（1）作出△ABC；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，并写出C'点的坐标为 ．
18．已知实数a、b、c满足＝0，判断以a、b、c为边的三角形的形状，并说明理由．
19．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）若AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
20．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
21．如图，在等腰△ABC中，AO＝AB＝5，OB＝6．
（1）请以点O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，此时点A的坐标为 ；
（2）若点P在y轴上，且△OAP为等腰三角形，求满足条件的所有点P的坐标．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，4）．点C为线段AB上一点．
（1）∠OBA＝ ；
（2）若BC＝，点P的横坐标为3，求OP+CP的最小值；
（3）连接OC，使∠BOC＝15°，点M是直线AB上一动点，以OM为边在OM的下方作等边△OMN，连接CN，求CN的最小值．
参考答案
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列实数中的无理数是（ ）
A．0 B． C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
解：A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、0.2是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
2．若a，b，c为△ABC的三边，下列条件中：①∠B＝∠A﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：，则能判定△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
解：①∵∠B＝∠A﹣∠C，
∴∠B+∠C＝∠A，
∵∠B+∠C+∠A＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴能判定△ABC是直角三角形；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴能判定△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠B+∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴不能判定△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：，
∴设a＝k，b＝k，c＝k，
∵a2+b2＝k2+（k）2＝3k2，c2＝（k）2＝3k2，
∴a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC是直角三角形；
所以，能判定△ABC是直角三角形的个数有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
3．下列各式中运算正确的是（ ）
A．﹣＝﹣3 B．＝±7 C．＝﹣2 D．＝8
【分析】由立方根，算术平方根的概念直接可求解．
解：由﹣＝﹣3，则选项A符合题意；
由＝7，则选项B不符合题意；
由＝2，选项C不符合题意；
由＝﹣8，选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了立方根，算术平方根，掌握立方根，算术平方根的概念是解题的关键．
4．下列说法中错误的是（ ）
A．有理数和无理数统称为实数
B．实数和数轴上的点是一一对应的
C．平方根是其本身的数只有0
D．负数没有立方根
【分析】根据实数的分类和平方根及立方根的定义解答即可．
解：A、有理数和无理数统称为实数，符合实数的定义，故本选项不符合题意；
B、实数和数轴上的点是一一对应的，符合数轴的特点，故本选项不符合题意；
C、平方根是其本身的数只有0，符合平方根的定义，故本选项不符合题意；
D、负数也有立方根，例如＝﹣3，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类和平方根及立方根的定义是解题的关键．
5．如图，若在象棋盘上规定“马”位于点（2，2），“炮”位于点（﹣1，2），则“兵”位于点（ ）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2）
【分析】直接利用“马”位于点（2，2），得出原点的位置，进而得出答案．
解：如图所示：“兵”所在位置的坐标为：（﹣2，3）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
6．已知点A（﹣m﹣1，3m）在x轴上，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求解即可．
解：∵点P（﹣m﹣2，3m）在x轴上，
∴3m＝0，
解得：m＝0；
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
7．如图，有一个圆柱形油罐，其底面周长是12m，高AB为5m，现在要以点A为起点环绕油罐表面建梯子，终点正好建在点A的正上方的点B处，则梯子最短需要（ ）
A．10米 B．11米 C．12米 D．13米
【分析】把圆柱沿AB侧面展开，连接AB，再根据勾股定理即可得出结论．
解：如图，∵油罐的底面周长为12m．
又∵高AB为5m，即展开图中，BC＝5m，
∴AB＝＝13（m）．
故所建梯子最短为13m．
故选：D．
【点评】本题考查的是平面展开 最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
8．如图，根据作图的痕迹可知，点C表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用基本作图得到OB＝OC，AB＝2，再利用勾股定理计算出OB，从而得到OC的长，然后利用数轴表示数的方法得到点C表示的实数．
解：作图的痕迹得OB＝OC，AB＝2，
∵OB＝＝＝，
∴OC＝，
∴C点表示的数为．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了实数与数轴．
9．在平面直角坐标系中，点M（1，﹣3）与点N（1，y）之间的距离是4，则y的值（ ）
A．1 B．±7 C．1或﹣7 D．﹣3或5
【分析】根据点M（1，﹣3）与点N（1，y）之间的距离是4，可得|y+3|＝4，从而可以求得y的值．
解：∵点M（1，﹣3）与点N（1，y）之间的距离是4，
∴|y+3|＝4．
∴y+3＝4或y+3＝﹣4．
解得y＝1或y＝﹣7．
故选项A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查两点之间的距离，解题的关键是明确两个点如果横坐标相同，那么它们之间的距离就是纵坐标之差的绝对值．
10．一长方体容器如图①摆放，长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5．若将其倾斜（水未倒出容器），倾斜后的长方体容器的主视图如图②所示，则图中CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD即可．
解：如图2，
设DE＝x，则AD＝8﹣x，
根据题意得：（8﹣x+8）×2×2＝2×2×5，
解得：x＝6，
∴DE＝6，
∵∠E＝90°，
∴CD＝＝＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、三视图、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
11．计算：＝ 4 ．
【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
解：∵42＝16，
∴＝4，
故答案为4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
12．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标 （2，3） ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
解：点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．如果，那么x+y的值为 7 ．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数可得x﹣3＝0，可得x和y的值，再解答即可．
解：∵，
∴3﹣x≥0，x﹣3≥0，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴y＝4，
∴x+y＝3+4＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
14．如图，露在水面的鱼线BC长为3m，钓鱼者把鱼竿AC提起到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为4m，若BB'的长为1m，则钓鱼竿AC的长为 5 m．
【分析】根据题意设AB'＝x，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可．
解：设AB'＝x，
∵AC'＝AC，
∴AB'2+B'C'2＝AB2+BC2，
即x2+42＝（x+1）2+32，
解得：x＝3，
∴AB＝3+1＝4，
∴，
故答案为：5．
【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．
15．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（2，1）．线段PQ在x轴上运动（点P在点Q的左侧），且PQ＝1，则四边形APQB周长的最小值为 +6 ．
【分析】作B关于x轴对称点C，作CD//x轴，且CD＝CQ＝1，连接 AD，与x轴交于点P．作CQ∥AD交x轴于点Q．如图所示：则BQ＝CQ＝PD，AP+BQ＝AP+PD，即AP+BQ的最小值为AD．推出四边形APQB周长最小值为AP+BQ+AB+PQ＝＝+6．
解：作B关于x轴对称点C，作CD//x轴，且CD＝CQ＝1，连接 AD，与x轴交于点P．作CQ∥AD交x轴于点Q．如图所示：
则BQ＝CQ＝PD，
∴AP+BQ＝AP+PD，即AP+BQ的最小值为AD．
∵B（2，1）．
∴C（2，﹣1），
∵CD＝1，
∴D（1，﹣1），
∴AD＝＝，
AP+BQ的最小值为．
四边形ABQP中AB，PQ长度不变，其中PQ＝1，AB＝＝5，
∴四边形APQB周长最小值为AP+BQ+AB+PQ＝＝+6．
故答案为：+6．
【点评】本题目主要考查轴对称的性质及坐标中两点之间的距离，勾股定理等，理解题意，作出相应图象是解题的关键．
三、解答题（共7小题，计55分.解答要写出过程）
16．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（2）先计算括号里的二次根式的加减法，再算括号外，即可解答；
（3）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答；
（4）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：（1）
＝3﹣﹣6
＝3﹣7；
（2）
＝（9﹣+2）÷4
＝10÷4
＝2.5；
（3）
＝（﹣2﹣）（﹣2+）﹣（4﹣2）
＝4﹣5﹣4+2
＝2﹣5；
（4）
＝3×1﹣（﹣）﹣1
＝3﹣（﹣）﹣1
＝3﹣2+﹣1
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算即可解答．
17．在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（2，3），C（﹣4，5）．
（1）作出△ABC；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，并写出C'点的坐标为 （﹣4，﹣5） ．
【分析】（1）在坐标系中描出各点，然后顺次连接即可；
（2）根据题意得出对称点，然后连接即可．
解：（1）在坐标系中描出各点，然后顺次连接，
∴△ABC即为所求；
（2）根据题意得：A（﹣3，0），B（2，3），C（﹣4，5）关于x轴的对称点分别为A'（﹣3，0），B'（2，﹣3），C'（﹣4，﹣5），顺次连接，
∴△A'B'C'即为所求，
故答案为：（﹣4，﹣5）．
【点评】题目主要考查坐标与图形及轴对称图形的作法与坐标，熟练掌握轴对称图形的作法是解题关键．
18．已知实数a、b、c满足＝0，判断以a、b、c为边的三角形的形状，并说明理由．
【分析】先根据非负数的定义求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状．
解：以a、b、c为边的三角形是直角三角形，理由如下：
由题意可知：a﹣1＝0，b﹣2＝0，c﹣3＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝3．
∵c2＝32＝9，a2+b2＝12+（2）2＝1+8＝9，
∴c2＝a2+b2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，解题的关键是正确求出a、b、c的值．
19．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）若AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
【分析】（1）先根据折叠的性质得出∠1＝∠2，再由矩形的对边平行，内错角相等，所以∠1＝∠3，然后根据角之间的等量代换可知DE＝BE；
（2）设DE＝x，则AE＝8﹣x，BE＝x，在△ABE中，运用勾股定理得到BE2＝AB2+AE2，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再根据三角形的面积公式，即可求得△BED的面积．
【解答】（1）证明：∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的，
∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴BE＝DE；
（2）解：设DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝8﹣x，
在直角△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝DE＝x，
∴BE2＝AB2+AE2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴△BED的面积＝DE×AB＝×5×4＝10．
【点评】此题通过折叠变换考查了三角形的有关知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后对应边、对应角相等．
20．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【分析】（1）根据小明的方法，将（m+n）2按完全平方公式展开，和a+b的系数进行对比，即可求出a和b的值；
（2）欲求出a，m，n的值，需要先求出m，n的值，根据题意可知b＝2mn＝4，进而得到mn＝2，结合m，n均为正整数即可求出m，n的值；再根据a＝m2+3n2即可求出a的值．
解：（1）仿照小明的方法，将（m+n）2展开，得：
m2+3n2+2mn，
将m2+3n2+2mn与的系数进行对比，可得：
a＝m2+3n2、b＝2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）观察a+4＝（m+n）2可知，
b＝4，
由（1）中的规律可知，
2mn＝4，
则mn＝2，
由于m、n均为正整数，则有：
或
将m＝1、n＝2代入a＝m2+3n2，得：
a＝13，
将m＝2、n＝1代入a＝m2+3n2，得：
a＝7，
综上可知，a的值为13或7．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，并对相应的运算法则的掌握．
21．如图，在等腰△ABC中，AO＝AB＝5，OB＝6．
（1）请以点O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，此时点A的坐标为 （3，4） ；
（2）若点P在y轴上，且△OAP为等腰三角形，求满足条件的所有点P的坐标．
【分析】（1）作AH⊥OB于H，利用勾股定理求出AH的长即可解决问题；
（2）分AP＝AO，OP＝OA，PA＝PC三种情况求出OP长度即可．
解：（1）作AH⊥OB于H，如图所示：
∵AO＝AB，
∴OH＝HB＝3，
在Rt△AOH中，AH＝＝4，
∴A（3，4），
故答案为：（3，4）；
（2）①当AP＝AO时，作AC⊥OP于C，如图：
∵AP＝AO，AC⊥OP，
∴C为OP中点，
∵A（3，4），
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∴OP＝2OC＝8，
∴P点坐标为（0，8）；
②当OP＝OA时，
∵OA＝5，
∴OP＝5，
∴P点坐标为（0，5）或（0，﹣5）；
③当PA＝PC时，如图所示：
由①知，AC＝3，OC＝4，
设PA＝PO＝x，则PC＝4﹣x，
在Rt△APC中，AP2＝PC2+AC2，
∴x2＝（4﹣x）2+32，
解得x＝，
∴OP＝，
∴P点坐标为（0，）．
综上所述，P点坐标为（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）．
【点评】本题考查了勾股定理，关键是对勾股定理的掌握和运用．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，4）．点C为线段AB上一点．
（1）∠OBA＝ 45° ；
（2）若BC＝，点P的横坐标为3，求OP+CP的最小值；
（3）连接OC，使∠BOC＝15°，点M是直线AB上一动点，以OM为边在OM的下方作等边△OMN，连接CN，求CN的最小值．
【分析】（1）证明△AOB是等腰直角三角形，可得结论；
（2）如图1中，过点C作CH⊥OB于点H，作点C关于直线x＝3的对称点C′，连接OC′交直线x＝3于点P，连接CP，此时OP+PC的值最小，最小值＝OC′的长．
（3）如图2中，在AB上取一点EM使得AE＝BC，连接OE，EN，过点C作CT⊥NE于点T，过点O作OJ⊥AB于点J．证明△COE是等边三角形，再证明△COM≌△EON（SAS），推出∠CCM＝∠OEN＝60°，推出点N的运动轨迹是直线EN，根据垂线段最短，求出CT，可得结论．
解：（1）∵A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
故答案为：45°；
（2）如图1中，过点C作CH⊥OB于点H，作点C关于直线x＝3的对称点C′，连接OC′交直线x＝3于点P，连接CP，此时OP+PC的值最小，最小值＝OC′的长．
在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，BC＝，∠CBH＝45°，
∴∠HCB＝∠CBH＝45°，
∴CH＝BH，
∴CH2+BH2＝2，
∴CH＝BH＝1，
∴C（1，3），
∵C与C′关于直线x＝3对称，
∴C′（5，3），
∴OC′＝＝，
∴OP+PC的最小值为；
（3）如图2中，在AB上取一点EM使得AE＝BC，连接OE，EN，过点C作CT⊥NE于点T，过点O作OJ⊥AB于点J．
∵BO＝AO，∠OBC＝∠OAE＝45°，BC＝AE，
∴△OBC≌△OAE（SAS），
∴OC＝OE，
∵∠BOC＝15°，
∴∠OCE＝∠BOC+∠OBC＝60°，
∴△OCE是等边三角形，
∵OJ⊥AB，OB＝OA，
∴AJ＝JB＝AB＝2，
∵OJ＝JB＝JA＝2，
∵OC＝OE，
∴∠JOC＝∠JOE＝30°，
∴OC＝2OC，
∴4CJ2＝CJ2+（2）2，
∴CJ＝，
∴CE＝2CJ＝，
∵△OCE，△OMN都是等边三角形，
∴∠COE＝∠MON，OC＝OE，OM＝ON，
∴∠COM＝∠OEN，
∴△COM≌△EON（SAS），
∴∠CCM＝∠OEN＝60°，
∴点N的运动轨迹是直线EN，
∴∠CET＝60°，
∵CT⊥EN，
∴∠ECT＝30°，
∴ET＝CE＝，
∴CT＝＝＝2，
根据垂线段最短可知当点N与T重合时，CN的值最小，最小值为2．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
