武威市2023年高中招生及毕业会考模拟数学试题
（本试题满分120分，考试时间120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共30分，每小题3分)
1．下列图标中，可以看作既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．的相反数是（ ）
A． B．3 C． D．
3．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．2022年10月16日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会上作报告，报告指出，过去十年，人均国内生产总值从39800元增加到81000元．数据81000用科学记数法可以表示为( )
A． B． C． D．
5．如图是某校学生参加课外兴趣小组的人数占总人数比例的 统计图，则参加人数最多的课外兴趣小组是 （ ）
A．音乐组 B．美术组 C．体育组 D．科技组
6．二次函数的最大值为（ ）
A． B．2 C．5 D．9
7．如图是一个水平放置的由圆柱体和正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．《九章算术》中记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百：人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x人，金价y钱，则根据题意可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．图1，矩形ABCD中，，点P以每秒2个单位长度沿AD→DC→CB运动，点Q沿AB以每秒1个单位长度运动，当点Q运动到点B时，P，Q停止运动，设运动时间为x（秒），的面积为y，图2是y随x变化的关系图像，则a的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题(共24分，每小题3分)
11．若，，则__________．
12．函数中自变量的取值范围是__________.
13．已知函数y＝，那么自变量x的取值范围是_________．
14．如图所示，给出如下条件：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不能判定直线的是___．
15．如图，∠AOB＝45°，角内有点P，PO＝10，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为_____．
16．如图，线段AB与AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∠ABC＝75°，BC＝4，则图中阴影部分的面积是 _____．
17．抛物线y＝2x2﹣4x+4的顶点坐标为_____．
18．如图，AB是⊙O的直径，AM为弦，∠MAB＝30o，过点M的⊙O的切线交AB延长线于点N．若ON＝12 cm，则⊙O的半径为____cm．
三、解答题(共66分)
19．（6分）（1）计算：
（2）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
20．（4分）先化简，再求值：，其中是的解．
21．（6分）如图，在中，，，平分，点到的距离是，求.
22．（6分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点C上下调节一定的角度，当时，点D到桌面的距离是多少？（精确到，参考数据：）．
23．（6分）近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中的m= ；
（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为 度；
（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？
24．（6分）阅读下列材料：
厉害了，我的国！
近年来，中国对外开放的步伐加快，与世界经济的融合度日益提高，中国经济稳定增长是世界经济复苏的主要动力．“十二五”时期，按照2010年美元不变价计算，中国对世界经济增长的年均贡献率达到30.5%，跃居全球第一，与“十五”和“十一五”时期14.2%的年均贡献率相比，提高16.3个百分点，同期美国和欧元区分别为17.8%和4.4%．分年度来看，2011、2012、2013、2014、2015年，中国对世界经济增长的贡献率分别为28.6%、31.7%、32.5%、29.7%、30.0%，而美国分别为11.8%、20.4%、15.2%、19.6%、21.9%．
2016年，中国对世界经济增长的贡献率仍居首位，预计全年经济增速为6.7%左右，而世界银行预测全球经济增速为2.4%左右．按2010年美元不变价计算，2016年中国对世界经济增长的贡献率仍然达到33.2%．如果按照2015年价格计算，则中国对世界经济增长的贡献率会更高一点，根据有关国际组织预测，2016年中国、美国、日本经济增速分别为6.7%、1.6%、0.6%．
根据以上材料解答下列问题：
（1）选择合适的统计图或统计表将2013年至2015年中国和美国对世界经济增长的贡献率表示出来；
（2）根据题中相关信息，2016年中国经济增速大约是全球经济增速的 倍（保留1位小数）；
（3）根据题中相关信息，预估2017年中国对世界经济增长的贡献率约为 ，你的预估理由是 ．
25．（6分）如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，－1），另一顶点B坐标为（－2，0），已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A'D'∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A'D'与y轴重合时运动停止．
（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
（2）若运动过程中直尺的边A'D'交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（3）如图②，设点P为直尺的边A'D'上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ＝时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D'在抛物线外．）
26．（8分）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D，E为BC边上的点，且∠DAE＝60°．若BD＝1，EC＝2，求DE的长．
思考如下：注意到条件中有AB＝AC，∠BAC＝120°，不妨把△ACE绕点A顺时针旋转120°，得到△ABF，连接DF．易证△ADF≌△ADE，从而将线段BD，DE，EC集中在了△FBD中，因为∠FBD的度数是 ．BF＝EC＝2，BD＝1，所以DE的长为 ；
类比探究
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝AC，D，E为BC边上的点，且∠DAE＝30°，BD＝2，EC＝，求DE的长；
拓展应用
（3）如图3，E是正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，F是BC边上一点，且∠EDF＝45°，若AB＝2，请直接写出当DE取最小值时CF的长．
27．（8分）小邕做数学题时遇到了如下问题：如图1，是的内接三角形，直线l经过点A，点E是直线l上的一点，且．求证：直线l是⊙O的切线，小邕添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．
(1)请你根据小邕的思考，写出解决这一问题的过程；
(2)在图2中，作直径，连接，得到图3．若，，，求的长．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为，抛物线经过A，B两点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作轴于点D，交线段AB于点E，使PE最大．
①求点P的坐标和PE的最大值．
②在直线PD上是否存在点M，使点M在以AB为直径的圆上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称图形以及轴对称图形的识别，掌握它们的定义是解题的关键.
2．B
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．
【详解】解：-（-3）=3，
故-3的相反数是3．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
3．A
【分析】根据二次根式的减法、乘法以及化简方法逐项判断即可得．
【详解】A、，则此项成立，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不可合并，则此项不成立，不符题意；
C、，则此项不成立，不符题意；
D、，则此项不成立，不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法与减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
4．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据81000用科学记数法表示为．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．C
【分析】根据扇形统计图中扇形所占百分比越大，相应的人数越多，可得答案．
【详解】解：根据扇形统计图中扇形面积越大，所占的比例越重，相应的人数越多，由40%＞25%＞23%＞12%，
所以体育组的人数最多
故选C
【点睛】本题考查了扇形统计图的特征，熟记扇形统计图的特征是解题的关键．
6．C
【分析】将化成顶点式，确定最值即可．
【详解】因为化成顶点式，
所以函数的最大值为5，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法化二次函数的一般式为顶点式是解题的关键．
7．D
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】从上面看，一个正方形里面有一个圆．故选D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
8．B
【详解】试题分析：图中与∠C（除之C外）相等的角有∠ADE、∠FAD、∠FDB共3个，故答案选B．
考点：直角三角形的性质；同角或等角的余角相等．
9．A
【分析】设合伙人数为x人，金价y钱，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设合伙人数为x人，金价y钱．
∵每人出钱400，会多出3400钱，
∴y＝400x 3400；
∵每人出钱300，会多出100钱，
∴y＝300x 100．
联立两方程组成方程组得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．C
【分析】由题意得，当点P，Q运动到第6秒时，P，Q停止运动，分情况讨论，当时，y取最大值；当时，y取最大值；当时，y取最大值；进行比较即可得．
【详解】解：（s），
当点P，Q运动到第6秒时，P，Q停止运动，
当时，，当时， ；
当时，，当时，；
当时，，当时，；
综上，a的值为10，
故选C．
【点睛】本题考查了动点问题，解题的关键是分类讨论．
11．3
【分析】根据平方差公式分解因式，再代入求值即可．
【详解】解：=3×1=3，
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握平方差公式是关键．
12．且
【详解】根据题意得：
解得：且.
故答案为且.
【点睛】二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零.
13．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数的非负数是解题的关键．
14．②③④⑤
【分析】根据平行线的判定方法逐条分析即可.
【详解】①∵，
∴（内错角相等，两直线平行），故不符合题意；
②∵∠2与∠3不具备特殊位置关系，
∴由不能判断，故符合题意；
③∵∠4与∠5不具备特殊位置关系，
∴由不能判断，故符合题意；
④∵时，，
∴由不能判断，故符合题意；
⑤∵∠3与∠5不具备特殊位置关系，
∴由不能判断，故符合题意；
⑥∵，
∴（同位角相等，两直线平行），故不符合题意；
故答案为②③④⑤.
【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.
15．10 ．
【分析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接AB，根据两点之间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可．
【详解】解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．
连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．
连接OM、ON，
则OM＝ON＝OP＝10，
∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
故△MON为等腰直角三角形．
∴MN＝＝10．
即为△PQR周长的最小值
故答案为10．
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，根据题意构造出对称点，转化为直角三角形的问题是解题的关键．
16．8
【分析】如图，连接OA，OB，OC，延长AO交BC于点H．根据S阴＝S△ABC﹣S△OBC +S扇形OBC，求解即可．
【详解】解：如图，连接OA，OB，OC，延长AO交BC于点H．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=4，
∴OA=4，
∵AB＝AC，
∴，
∴AO⊥BC，
∴BH＝CH＝2，
∴OH＝2，
∴AH=4+2，
∴S△ABC BC AH4×（4+2）＝8+4，S△OBC4，S扇形OBC
∴S阴＝S△ABC﹣S△OBC+ S扇形OBC＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，求扇形面积，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，根据题意得到S阴＝S△ABC﹣S△OBC+ S扇形OBC是解题的关键．
17．(1，2)
【分析】利用配方法把一般式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵y＝2x2﹣4x+4
＝2(x2﹣2x+1)+2
＝2(x﹣1)2+2，
∴顶点坐标为(1，2)，
故答案为(1，2)．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
18．6
【分析】连接MO得垂直，并根据外角的性质及互余求出∠N为30°，再根据直角三角形边的特点即可求解.
【详解】连接MO，由题意得，OM⊥MN,所以，∠N＝30o，即,所以OM＝6，则⊙O的半径为6cm．
【点睛】本题考查了直线与圆的关系，熟练掌握直线与圆的关系是本题解题关键.
19．（1）
（2），作图见详解
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义以及特殊角的正弦函数值对各项化简，再计算即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，两个解集的公共部分就是不等式组的解集，据此在数轴上画图即可．
【详解】（1）
；
（2）
解不等式①，得；
解不等式②，得；
即不等式组的解集为：；
作图如下：
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值以及解不等式组等知识，在数轴上表示不等式解集时，端点在解集内的用实心圆点，端点不在解集内的用空心圆点．
20．，当a=2时，原分式的值为
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着解一元二次方程得到满足条件的a的值，然后把a的值代入计算求解．
【详解】解：
．
解方程得，，
∵是的解，
∴，．
∴时，分式没有意义，
∴，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再求出∠CAD=∠BAD=∠B=30°，再根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半可得AD=2CD，根据等角对等边可得BD=AD，然后利用BC=CD+BD计算即可得解．
【详解】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，
∴CD=DE=3cm．
∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=∠B=30°，
∴AD=2CD=2×3=6cm，BD=AD=6cm．
∴BC=CD+BD=3+6=9cm．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质，熟记各性质是解题的关键．
22．50cm
【分析】作于于于F，首先根据矩形的性质得出，进而求出和的度数，然后分别在和中解直角三角形即可．
【详解】如图，作于于于F．
，
∴四边形是矩形，
．
，
，
．
在中，，
．
在中，，
，
cm，
答：点D到桌面的距离是．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，构造出直角三角形是关键．
23．（1）40；（2）108；（3）0.2．
【详解】试题分析：（1）调查的总人数=没有影响的人数÷其所占的百分比，减去没有影响和影响不大的人数即可得到m；
（2）利用360°乘以影响不大所占的百分比即可求得影响不大对应扇形的圆心角；
（3）用影响很大的人数除以总人数即可解答．
试题解析：（1）调查的总数为：100÷50%=200人，则影响很大的人数为：200﹣100﹣60=40；
（2）“影响不大”的扇形的圆心角度数为：360°×=108°；
（3）接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是：=0.2．
答：持“影响很大”看法的概率是0.2．
考点：1．扇形统计图；2．统计表；3．概率公式．
24．（1）2013年至2015年中国和美国对世界经济增长的贡献率如图（表）所示，见解析；（2）2016年中国经济增速大约是全球经济增速的2.8倍；（3）从2011年到2016年中国对世界经济增长的贡献率平均每年为31.0%左右．（答案不唯一）
【分析】（1）根据2013年至2015年中国和美国对世界经济增长的贡献率绘制统计图或统计表即可；
（2）根据2016年中国全年经济增速为6.7%左右，而世界银行全球经济增速为2.4%左右，可得2016年中国经济增速大约是全球经济增速的2.8倍；
（3）根据2011年到2016年中国对世界经济增长的贡献率的平均值为30.95%，可预估2017年中国对世界经济增长的贡献率约为31.0%．答案不唯一，预估理由与预估结果相符即可．
【详解】（1）2013年至2015年中国和美国对世界经济增长的贡献率如图（表）所示：
（2）∵2016年中国全年经济增速为6.7%左右，而世界银行全球经济增速为2.4%左右，
∴6.7%÷2.4%＝2.8，
即2016年中国经济增速大约是全球经济增速的2.8倍，
故答案为2.8；
（3）从2011年到2016年中国对世界经济增长的贡献率的平均值为：（28.6%+31.7%+32.5%+29.7%+30.0%+33.2%）÷6＝30.95%，
所以2017年中国对世界经济增长的贡献率约为31.0%．
故答案为31.0%，从2011年到2016年中国对世界经济增长的贡献率平均每年为31.0%左右．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了统计图的选择，解题时注意：折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势．根据具体问题选择合适的统计图，可以使数据变得清晰直观．
25．（1）C（-1，-3）．y=x2+x-3．（2）．（3）PB-PC=PA．
【详解】试题分析：（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA≌△AOB，所以C点坐标易知．进而抛物线解析式易得．
（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．
（3）计算易得，BC=，因为Q为BC的中点，PQ=恰为半径，则以作圆，P点必在圆上．此时连接PB，PC，PA，因为BC为直径，故BP2+CP2=BC2为定值，而PA不固定，但不超过BC，所以易得结论BP2+CP2≥PA2，题目要求考虑三种情况，其中P在抛物线上时，P点只能与B或C重合，此时，PA，PB，PC可求具体值，则有等量关系．
试题解析：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，
∵△CDA≌△AOB，
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（-1，-3）．
将B（-2，0），C（-1，-3）代入抛物线y=x2+bx+c，
解得 b=，c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-3．
（2）设lBC：y=kx+b，
∵B（-2，0），C（-1，-3），
∴，
解得 ，
∴lBC：y=-3x-6，
设M（xM，-3xM-6），N（xN，xN2+xN-3），
∵xM=xN（记为x），yM≥yN，
∴线段MN长度=-3x-6-（x2+x-3）=-（x+）2+，（-2≤x≤-1），
∴当x=-时，线段MN长度为最大值．
（3）答：P在抛物线外时，BP2+CP2≥PA2；P在抛物线上时，BP+CP=AP；P在抛物线内，BP2+CP2≥PA2．
分析如下：
如图2，以Q点为圆心，为半径作⊙Q，
∵OB=2，OA=1，
∴AC=AB==，
∴BC=，
∴BQ=CQ=，
∵∠BAC=90°，
∴点B、A、C都在⊙Q上．
①P在抛物线外，
如图3，圆Q与BD′的交点即为点P，连接PB，PC，PA，延长PC交y轴于点D
∵BC为直径，
∴∠BPC=90°
∵BD′与y轴平行
∴∠ADC=90°，且D点为抛物线与y轴交点
∴PD∥x轴
易得PC=1，PB=3，PA=2
∴BP+CP=AP．
②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，
∵AC=AB=，
∴AP=，
∵BP+CP=BC=，
∴BP+CP=AP．
③P在抛物线内，有两种情况，如图4，5，
如图4，在PC上取BP=PT，
∵BC为直径，
∴∠BPC=90°
∴△BPT为等腰直角三角形
∴∠PBT=45°=∠1+∠2
∵∠ABC=∠3+∠2=45°
∴∠1=∠3
∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）
∴△BPA∽△BTC
∴
∵PC=PT+CT
∴PC=PT+PA=PB+PA
∴PC-PB=PA
同理，如图5，也可得PB-PC=PA．
考点：二次函数综合题．
26．（1）60°，；（2）；（3）
【分析】（1）把△ACE绕点A顺时针旋转120°，得到△ABF，连接DF，则AE＝AF，∠EAF＝120°，∠ABF＝∠ACE＝30°，证△ADE≌△ADF（SAS），得DE＝DF，再由勾股定理求出DF＝，即可得出答案；
（2）先证△ABC是等边三角形，得∠CAB＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△ACF，连接EF，再证△EAF≌△EAD（SAS），得EF＝DE，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，然后由含30°角的直角三角形的性质得CG＝1，则EG＝，即可解决问题；
（3）将△CDF绕点D顺时针旋转90°，得到△ADG，取AB的中点O，连接OD、OE、OF，则OA＝OB＝AB＝1，由DE≥OD﹣OE，得DE取最小值时，点E在OD上，再由旋转的性质得DF＝DG，∠CDF＝∠ADG，然后证△ODF≌△ODG（SAS），得OF＝OG，设CF的长为x，则OF＝OG＝1+x，BF＝2﹣x，在Rt△OBF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣120°）＝30°，
把△ACE绕点A顺时针旋转120°，得到△ABF，连接DF，如图1所示：
则AE＝AF，∠EAF＝120°，∠ABF＝∠ACE＝30°，
∴∠FBD＝∠ABF+∠ABC＝30°+30°＝60°，∠DAF＝120°﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DAE＝∠DAF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，
∵BF＝EC＝2，BD＝1，
∴BD＝BF，
在BF上取中点M，连接DM，
则BM＝BF＝1，
∴BM＝BD，
∵∠FBD＝60°，
∴△△BDM是等边三角形，
∴∠BDM＝∠BMD＝60°，DM＝BM＝FM，
∴∠MDF＝∠MDF＝∠BMD＝30°，
∴∠FDB＝∠BDM+∠MDF＝90°，
∴，
∴DE＝，
故答案为：60°，；
（2）∵∠CAB＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△ACF，连接EF，如图2所示：
则AF＝AD，FC＝BD＝2，∠ACF＝∠B＝60°，∠CAF＝∠BAD，
∵∠CAB＝60°，∠DAE＝30°，
∴∠CAE+∠BAD＝30°，
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAD＝30°＝∠DAE，
在△EAF和△EAD中，
，
∴△EAF≌△EAD（SAS），
∴EF＝DE，
过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝60°+60°＝120°，
∴∠FCG＝60°，
∴∠CFG＝30°，
∴CG＝FC＝×2＝1，
∴EG＝EC+CG＝+1＝，
在Rt△FCG中，由勾股定理得：，
在Rt△FEG中，由勾股定理得：，
∴；
（3）将△CDF绕点D顺时针旋转90°，得到△ADG，取AB的中点O，连接OD、OE、OF，如图3所示：
则OA＝OB＝AB＝1，
∵DE≥OD﹣OE，
∴DE取最小值时，点E在OD上，如图4所示：
由旋转的性质得：DF＝DG，∠CDF＝∠ADG，
∵∠EDF＝45°，
∴∠CDF+∠ADO＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ODG＝∠ADO+∠ADG＝∠ADO+∠CDF＝45°，
∴∠ODF＝∠ODG，
在△ODF和△ODG中，
，
∴△ODF≌△ODG（SAS），
∴OF＝OG，
设CF的长为x，
则OF＝OG＝OA+AG＝1+x，BF＝BC﹣CF＝AB﹣CF＝2﹣x，
在Rt△OBF中，由勾股定理得：（2﹣x）2+12＝（x+1）2，
解得：x＝，
∴当DE取最小值时CF的长为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）作直径，连接，根据圆周角定理得到，，进而证明，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点作于，根据含角的直角三角形的性质求出、，根据勾股定理求出、，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】（1）证明：如图2，作直径，连接，
则，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图3，过点作于，
∵，，，
∴，，
∴，
由勾股定理得： ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
28．（1）；（2）①PE的最大值为，此时；②存在点M，或．
【分析】（1）先求出点B、点C和点A的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）①先求直线AB的解析式，设P(a，-a2-3a+4)，则E(a，-2a+2)，即可用含字母a的代数式表示出PE的长度，由二次函数的图象及性质可知，当a=-时，PE有最大值，可进一步写出点P的坐标；
②设M(-，m)，分别用含m的代数式表示出AM2，BM2，AB2的值，确定∠AMB=90°，用勾股定理列方程即可求出m的值，进一步写出点M的坐标．
【详解】（1）∵，∴．
∵，∴，．
在中，，
∴，∴．
把，代入，
得，解得．
∴抛物线的函数解析式为；
（2）①设直线AB的函数解析式为，
把，代入，
得，解得．
∴直线AB的函数解析式为．
设，则，
∴，
∴当时，PE的最大值为，此时；
②在直线PD上存在点M，使点M在以AB为直径的圆上．
∵点M在直线PD上，且，
∴设，
则，，．
∵点M在以AB为直径的圆上，∴，
∴，
∴，
解得，．
∴或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，利用二次函数的性质求最值，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等，解题关键是能够熟练运用待定系数法求出函数解析式．
答案第1页，共2页
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