鸡泽县第一中学2022-2023学年高二下学期3月第一次月考
数学答案
一、单选题（共40分）
1-5 D BC A B 6-8 D A D
8、解：因为，所以，
所以， 所以，将代入可得： ，因为，所以 ，则，
所以 ，所以，
令，则，当时， ，当时， ，故当时， 取最大值，故恒成立，故恒成立，故既无极大值也无极小值，故选D．
二、多选题
9.AC． 10. BC 11．BCD. 12.AD
11、由题意知，，恒成立，
所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确；
设切点为，则，
切线方程为，
代入点得，
即，解得或，
所以切线方程为或，C正确；
易知，令，则．
当时，，，所以点是的对称中心，
所以有，即．
令，
又，所以，
所以，D正确．故选：BCD.
12、解：由题意，令，则，
所以在上单调递减，
因为，所以，即，故A正确，B错误；
令，则，
令，，所以在上单调递增，
且，，所以存在使得，
即，，所以当时，，当时，；
故在上单调递减，在上单调递增，所以和之间的大小关系无法确定，故C错误；令，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，则有，
所以，即，故D正确．故选：．
三、填空题
13. 14. 15. 540 16. ，
16、解：当时，，
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，
所以的零点个数为，，
当时，，单调递增，不会有两个零点；
当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，所以，若有两个零点，则，所以，又，所以，故答案为：；．
四、解答题
17. 解：将2个相声节目捆绑在一起，看成1个节目，与其余4个节目一起排，
则共有种不同排法；
若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，可以用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有种不同排法；
18. 解：展开式通项为，
由题意知，该展开项的前三项系数成等差数列，又前三项的系数分别为，，
故，即，解得或者舍去；
故展开式的通项公式为
令，得展开式中所有项的系数之和为
令为整数，则，，，所以当时，，
当时，，当时，；
所以展开式中的有理项，
设第项的系数最大则，解得，
因为，所以或展开式中系数最大的项为，．
19.（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，
．．
（2），令得或（舍．
当时，，当时，．
在，上单调递减，在，上单调递增．
当时，取得最小值（5）．
当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．
20. 解：当时，，所以，所以，，所以切线方程为：，即：
函数定义域为，，因为，
当时，在上恒成立，所以函数的增区间为，无减区间.
当时，由得，
由得，
所以函数的增区间为，减区间为
21. 解：由已知，当时， ，，
在上单调递增，且，则，随变化如下表：
极小值
有极小值，没有极大值．
由题可得恒成立，，当时，上式恒成立；
当时，，又，故
令，则，令，解得，
当时， ，当时， ，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则，，解得： ，
的取值范围是．
22．(1)的定义域为．由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．鸡泽县第一中学2022-2023学年高二下学期3月第一次月考
数学试题
一、单选题（共40分）
1. 下列函数的求导正确的是 ( )
A. B.
C. D.
2. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是( )
A. 函数在处取得最小值 B. 是函数的极值点
C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率大于零
3. 的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4. 电影院一排个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，且每人左右两边都有空位的坐法种数为( )
A. B. C. D.
5. 设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为( )
A. B. C. D.
6. 如图为并排的块地，现对种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且块地全部种上农作物，则至少同时种植种不同农作物的种植方法种数为．( )
A. B. C. D.
7. 在张百元纸币中混有张假币，从中任意抽取张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是( )
A. B. C. D. 以上都不正确
8. 函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为( )
A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值
C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值
二、多选题（共20分。漏选得2分）
9. 已知事件，且，，，则( )
A. B. C. D.
10. 下列结论正确的是．( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 在的展开式中，含的项的系数是
D. 的展开式中，第项和第项的二项式系数最大
11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ）
A．一定有两个极值点 B．函数在R上单调递增
C．过点可以作曲线的2条切线
D．当时，
12. 若，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（共20分,16题第一空2分，第二空3分）
13. 已知函数，则 ．
14. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，构成的数列的第项，则 ．
15. 6个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则每个盒子至少放一个小球放法共有__________种用数字作答
16. 已知函数，若，则的零点个数为 ；若有两个不同的零点，则的取值范围是 ．
四、解答题（共70分）
17. 本小题10分
班级迎接元旦晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单．
2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
18. 本小题12分
在的展开式中，前三项系数成等差数列，求
展开式中所有项的系数之和；
展开式中的有理项；
展开式中系数最大的项．
19. 本小题12分
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
20. 本小题12分
已知函数，其中
当时，求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
21. 本小题12分
设函数．
当时，求的极值；
如果在上恒成立，求实数的取值范围．
本小题12分
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
