河北省沧州市部分学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若，则( )
A.0 B. C.1 D.2
2、已知等比数列的公比为，且，则( )
A.2 B.1 C. D.
3、一质点做直线运动，它所经过的路程s与时间t的关系为，若该质点在时间段内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则( )
A.10 B.16 C.26 D.28
4、已知是函数的导函数，若，则( )
A.-1 B.-2 C.2 D.3
5、已知是等差数列的前n项和，若，，则( )
A.40 B.45 C.50 D.55
6、已知，，实数a，，，b成等差数列，a，，，b成等比数列，则的最小值为( )
A.2 B.8 C.6 D.4
7、已知数列的前n项和为，，，则( )
A.675 B.674 C.1384 D.2023
8、已知是数列的前n项和，若，，则( )
A.0 B.2 C.4 D.6
二、多项选择题
9、下列运算错误的是( )
A. B. C. D.
10、设为等差数列的前n项和，若，，，则( )
A.数列的公差小于0
B.
C.的最小值是
D.使成立的n的最小值是4045
11、已知数列满足，，，，数列的前n项和为，且对，恒成立，则( )
A. B.数列为等差数列
C. D.的最大值为225
12、已知数列是斐波那契数列，，，记是数列的前n项和，是数列的前n项和，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
13、在公差不为0的等差数列中，为其前n项和，若，则正整数___________.
14、设等差数列满足，，且，，则___________.
15、若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数__________.
16、某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金4000万元，到年底资金增长了，以后每年资金年增长率与第一年相同.集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年年底上缴资金800万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底甲制造厂上缴资金后的剩余资金为万元，若，则正整数k的最小值为_____________.(取，)
四、解答题
17、已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：是等差数列.
18、已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与x轴，y轴分别交于点M，N，求的面积(O为坐标原点)；
(2)求与曲线相切，并过点的直线方程.
19、已知数列是由正数组成的等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前n项和.
20、已知各项均不为0的数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，求证：.
21、在数列中，，，且.
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设为数列的前n项和，是否存在互不相等的正整数m，n，t满足，且，，成等比数列 若存在，求出所有满足要求的m，n，t的值；若不存在，请说明理由.
22、已知无穷等差数列和中，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项；
(3)若定义集合，或，将集合M中的元素从小到大排列组成一个新数列，求数列的前4n项和.
参考答案
1、答案：D
解析：由题意可知，，.故选D.
2、答案：C
解析：由，得，所以，.故选C.
3、答案：C
解析：由题，.
由题，.则.
故选：C.
4、答案：B
解析：因为，所以，令，得，所以，所以，则.故选B.
5、答案：A
解析：由等差数列的性质得，，成等差数列，所以，解得40.故选A.
6、答案：D
解析：由题意得，，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4.故选D.
7、答案：A
解析：.故选A.
8、答案：B
解析：当n为奇数时，，，…，，累加可得，，所以，当n为偶数时，，，…，，所以，又，所以，所以，解得.故选B.
9、答案：AC
解析：对于选项A，；对于选项C，.故选AC.
10、答案：BD
解析：由，得，整理可得，所以等差数列为递增数列，公差大于0，A错误；又，所以，即，所以，，的最小值是，所以B正确，C错误；因为，，所以使成立的n的最小值是4045，D正确.故选BD.
11、答案：BD
解析：由，得，又，所以，，，A错误；，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，B正确；由B知，所以，，，由累乘法知，又，
满足上式，所以，C错误；，由，得，又，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的最大值为225，D正确.故选BD.
12、答案：ACD
解析：，A正确；，B错误；，C正确；因为，所以，所以，所以，D正确.故选ACD.
13、答案：29
解析：设等差数列的公差为，由，得，即，解得.
14、答案：10100
解析：设等差数列的公差为d，由，，得，所以，即，当时，，当时，，满足上式，所以，所以.
15、答案：
解析：令，，则，；
设与的公共点为，
与在公共点处有相同的切线，
，即，，解得：，
，解得.
故答案为：.
16、答案：6
解析：第一年年底剩余资金，第二年年底剩余资金，…，第n年年底剩余资金，所以，所以是以2800为首项，公比为的等比数列，所以.令，所以，两边取对数，得，又，所以k的最小值为6.
17、答案：(1)
(2)数列是以4为首项，以1为公差的等差数列
解析：(1)解：设等差数列的公差为d，
由，，得，，解得，，
所以.
(2)证明：，
所以，故，
所以数列是以4为首项，以1为公差的等差数列.
18、答案：(1)6
(2)
解析：(1)由题意，则，
又，所以曲线在点处的切线方程为，即，
所以，，所以的面积为.
(2)设切点为，则，
又，所以切线方程为，
又切线过点，所以，解得，
所以切线方程是，即.
19、答案：(1)
(2)
解析：(1)设等比数列的公比为，
由，得，即，解得或(舍)，
又，
所以，解得，
所以.
(2)，
所以
.
20、答案：(1)数列是以1为首项，1为公差的等差数列；数列的通项公式为
(2)证明见解析
解析：(1)因为数列的各项均不为0，所以.
将两边同时除以，得，又，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以.
(2)由(1)得，
所以，
因为，所以，即.
21、答案：(1)是首项为2，公比为2的等比数列
(2)不存在，理由见解析
解析：(1)证明：因为，，
所以.
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)解：由(1)知，故.
，①
由①，得，②
①-②，得
，
所以.
假设存在互不相等的正整数m，n，t满足，且，，成等比数列，
则，，成等比数列，
即，
化简，得，
又，所以，即，解得，与正整数m，n，t互不相等矛盾，
所以不存在互不相等的正整数m，n，t满足，且，，成等比数列.
22、答案：(1)，
(2)
解析：(1)解：设的公差为，的公差为，
由题意得解得
所以，.
(2)证明：由(1)知，，，
假设为的第k项，则，所以，
故为中的项，且为第项，
假设为中的第m项，则，
所以，故不是中的项.
故，，…，是中的项，，，…，不是中的项.
(3)解：由(2)知，，，，互不相同，
又，，，且，
所以，，，，
所以，
即是以13为首项，24为公差的等差数列，
所以
.
