南通市重点中学2022-2023学年高一下学期教学质量调研（一）
参考答案
C 2.B 3.C 4.C 5.A 6.A 7.D 8.B
BC 10.BCD 11. ABD 12.ACD
π 14. 15.3 16.1；
17.（1）设.
因为，,
所以即………………………………1
因为，
所以.………………………………2
解得或，
所以或者.………………………………5
（2）记与夹角为.
因为，
所以即,………………………………7
所以又因为，所以………………………………10
（1）因为,
所以，………………………………2
所以.………………………………6
（2）方法一：
.……12
方法二：
因为，
所以，
所以.………………………………12
19（1）因为为中点，
所以.
因为为中点，
所以，…………………………3
所以
.………6
因为等边三角形,边长为2，为中点
所以为，
因为关于的对称点为，
所以,
所以，…………………9
因为动点在上，
所以当 时，取最小值，即，当与重合时，取最大值，即，
所以,
所以的取值范围为.………………………………12
20.（1）由题意知
，………………………………1
因为的最小值为，
所以，
又，
所以，………………………………2
所以.
因为，
所以，
所以，
所以在 区间上的值域为.………………………………6
（2）因为， ，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以.………………………………9
令，则且，即，
所以.
（1）方法一：
因为，
由余弦定理得，
，
整理得，………………………………2
所以，………………………………4
因为， 所以………………………………6
方法二：
因为，
所以，
由正弦定理得，
，………………………………2
因为，
所以，
所以，
整理得………………………………4
因为， 所以，
所以，
又， 所以.………………………………6
（2）因为，
由余弦定理得， ，
整理得，
又，
所以.………………………………8
方法一：
所以.
因为点在边上，，
所以为边上靠近的三等分点，
所以.
在中，
，
又，
所以. ………………………………12
方法二：
，
又，
所以.………………………………12
22.（1）方法一：因为，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
上式整理得，
即，………………………………3
所以，
所以.
因为， 所以，
因为， 所以， 即.………………………………6
方法二：因为，
整理得，
所以，
，
………………………………2
由和差化积公式得
，
，
整理得，
因为， 所以，
因为， 所以，
所以，
即， 所以，
得.………………………………6
（2）因为
，………………………………8
所以令，
则，
令，
所以在区间上单调递增，
所以的取值范围为，
所以的取值范围为.………………………………12南通市重点中学2022-2023学年高一下学期教学质量调研（一）
数 学 试 题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．己知向量，不共线，向量，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．±1 D．2
2．在中，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．在平行四边形中，为的重心，，则（ ）
A． B．2 C． D．1
4．定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA级旅游景区．地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈"回"字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成"水环寺，楼抱殿"独特格局．某同学为测量寺内观音塔的高度，在观音塔的正北方向找到一座建筑物，高约为22.5，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部A，观音塔顶部的仰角分别为30°和45°，在A处测得观音塔顶部的仰角为15°，观音塔的高度约为（ ）
A．32 B．39 C．45 D．55
5． 如图在直角梯形ABCD中，已知，， ，，则（ ）．
A．22 B．24
C．20 D．18
6． 已知，则（ ）
A． B． C． D．
7． 已知，则（ ）
A． B． C． D．
8． 24届国际数学家大会在北京召开,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍,直角三角形中较小的锐角为，则（ ）
A． B C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列各式中，值为1的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．若，则内切圆的半径为2
C．若，则
D．若P为内一点满足，则与的面积相等
11．下列说法错误的有（ ）
A．若，则
B．若与共线，则一定有使得
C．若，则四边形是平行四边形
D．若且，则和在上的投影向量相等
12．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若B+C=2A，则面积的最大值为
B．若，且只有一解，则b的取值范围为
C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．为的外心，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．已知函数，则的最小正周期为 ▲ ．
14．如图，、是以为直径的半圆上的两点，
其中，，，则与
所成角的余弦值为 ▲ ．
15．在中，角所对的边分别为，，，，且面积为，
若，则 ▲ ．
16．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则 ▲ ；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为 ▲ ．
图① 图②
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知是同一平面内的两个向量，其中，且．
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与夹角．
18．(本小题满分12分)
已知
（1）求的值
（2）求的值
19．(本小题满分12分)
等边三角形，边长为2，为的中点，动点在边上，关于的对称点为．
（1）若为的中点，求．
（2）求的取值范围．
20．(本小题满分12分)
已知函数，，若，的最小值为
(1)求在区间上的值域；
(2)若，，求的值．
21．(本小题满分12分)
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求A；
(2)若，点在边上，，求．
22．(本小题满分12分)
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C；
（2）求的取值范围．
