连南民族高级中学 2022-2023 学年第二学期
高一第一次月考数学答案
1．D
【解析】直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.
【详解】因为 a (1, 2), b (m,m 2)，且 a b，
所以 a b (1, 2) (m,m 2) m 2 m 2 0，
化为 4 m 0，解得m 4，故选 D.
【点睛】利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，
利用 x1y2 x2 y1 0解答；（2）两向量垂直，利用 x1x2 y1y2 0解答.
2．C
【解析】利用余弦型函数的最小正周期的计算公式可得 的值.
2
【详解】因为T ，所以ω= 4 .
2
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的周期，考查运算求解能力，此题属于基础题.
3．B
【分析】根据所给角的范围及正弦函数的性质可确定 2 的范围即可得解.
4
【详解】由 x
, ，
8
则 2x
( , 2 ).
4 2 4
若使 f (x)
π 3π
在开区间上取得最小值则必须 2θ ，
4 2
5π
解得θ ，
8
故选：B
4．D
【分析】根据向量的夹角公式运算求解.
r r r ra b 3
【详解】由题意可得： cos a,b r r 2 ，a b
∵ a,b 0,π ，
答案第 1页，共 12页
∴向量 a,b的夹角为150 .
故选：D
5．B
【分析】由b2 c2 ac结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出 sinA 2sinCcosB sinC，
再由内角和定理以及三角恒等变换得出 B .
【详解】由 b c b c ac得b2 c2 ac，
结合余弦定理b2 a2 c2 2accosB，可得 a 2ccosB c，
再由正弦定理得 sinA 2sinCcosB sinC，因为
sinA 2sinCcosB sin B C 2sinCcosB sin B C ，
所以 sin B C sinC，所以B C C，得 B 2C．
因为C ，所以B ．
6 3
故选：B
6．B
2 B
【分析】根据二倍角公式将 3sinB 2cos 3化简得到 B
π
，利用余弦定理和正弦定理
2 3
cosB cosC sinAsinB
将 化简可得 ，进而求出结果.
b c 6sinC b 4 3
【详解】因为 3sinB 2cos 2
B 3 1 cosB ，所以 3sinB 2 3，
2 2
π
所以 3sinB cosB 2 ，即 sin B 1
6
，
又B 0, π π π 7π，所以 B , ，6 6 6
π π
所以 B ，所以 B
π
.
6 2 3
cosB cosC sinAsinB
因为 ，
b c 6sinC
a2 c2 b2 a2 b2 c2 sinA sinB
由余弦定理得 ，
2bac 2cab 6sinC
a sinAsinB
即 ，
bc 6sinC
又B
，所以 sinB 3 a 3sinA ，所以 ，
3 2 bc 12sinC
a 3a
由正弦定理得 ，所以b 4 3 .
bc 12c
答案第 2页，共 12页
设 ABC的外接圆的半径为 R，
b
所以 2R 8，解得 R 4，
sinB
所以 ABC的外接圆的面积为 πR2 16π .
故选：B.
7．C
uuur
【分析】先由等式OA OB OC ，得出 AOB 120o，并计算出 AB 2 3，以及 AB与OA
uuur uur
的夹角为150 ，然后利用平面向量数量积的定义可计算出 AB OA的值．
【详解】由于 A,B,C是圆O : x2 y 2 4上的三点，OA OB OC, AOB 120 ，
则 OAB 30 , AB 2 3， AB OA AB OA cos30 2 3 2 3 6，故选 C．
2
【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，解题的关键就是要确定向量的模和夹角，考查
计算能力，属于中等题．
8．B． 2 21
9．AD
4
【分析】对于 A，直接利用周期公式求解即可；对于 B，直接把 x 代入解析式中验证即
3
可；对于 C，求出 f (x)的单调区间进行判断；对于 D，把 x 代入计算即可.
3
【详解】根据函数 f (x) cos
x
知最小正周期为2 ，A正确.
6
x 4 4 4 3 当 时， f cos cos 0 ，由余弦函数的对称性知， B错误；3 3 3 6 2
f (x) 函数 cos
x 在 ,
5 5
上单调递减，在 ,
上单调递增，故C错误；
6 2 6 6
f (x ) cos x
7
6
，
f cos 7 3 3 6 3
cos 0 ，故D正确.
2
故选：AD
【点睛】此题考查余弦型函数的图像和性质，属于基础题
10．ABD
【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项
【详解】由图可得 a 3,0 ,b 2,2 ，
答案第 3页，共 12页
对于 A，a b 3 2 6，故 A正确；
a
b a
2
对于 B，向量b 在向量a方向上的投影向量 2,0 aa a 3 ，故 B正确；
对于 C， a b 5,2 ,a b 1, 2 ，
a b a
所以 b 5 1 2 2 1 0 ，故 C不正确；
对于 D，因为 c 1,2 a ， b 1, 2 ，所以 c a b ，故 c // a b ，故 D正确.
故选：ABD
11．AB
【分析】由正弦定理进行边角转化判断 A，由正弦定理求出 sin B，再根据 a,b大小关系确定
B角的解判断 B，正弦定理化边为角，进行三角恒等变换后判断 C，利用余弦定理变形后得
出 B角范围判断 D．
【详解】 ABC中，由正弦定理 sin A sin B a b A B，A正确；
若 A 45o
a b
,a 14,b 16 sin B b sin A 16sin 45 4 2，由 得 1，
sin A sin B a 14 7
又a b，所以 A B，因此 B角可以为锐角也可以为钝角，有两解，B正确；
若a cos A bcosB，则 sin Acos A sinBcosB， sin 2A sin 2B，2A 2B或2A 2B 180 ，
即 A B或 A B 90 ， ABC是等腰三角形或直角三角形，C错误；
2 2 2 2 2 2
若 2b cosC 2a c a b c，则 2a c a c b 1，整理得 a2 c2 b2 ac， cosB ，
a 2ac 2
所以 0 B
，D错误．
3
故选：AB．
12．AC
【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求 sin B，再利用 a b，可知 ABC为等边
三角形，从而判断A；利用四点A，B，C，D共圆，四边形对角互补，从而判断 B；设 AC x，
x 0，在 ADC中，由余弦定理可得 x2 10 6cosD ，利用三角形的面积公式，三角函数恒
等变换的，可求 S四边形ABCD ，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD．
【详解】由正弦定理 a 2R sin A,b 2R sin B,c 2R sinC，
得 3 (sin AcosC sinC cos A) 2sin B sin B，
答案第 4页，共 12页
3 2sin B, sin B 3 ，
2
a b，B是等腰 ABC的底角， B (0, )，
2
B , △ABC是等边三角形，A正确；
3
B不正确：若 A,B,C,D四点共圆，则四边形对角互补，
2
由 A正确知 D , cosD
1
，
3 2
但由于DC 1,DA 3, AC 2 3时，
DC 2 DA2 AC 2 12 32cosD (2 3)
2 1 1
，
2 DA DC 2 1 3 3 2
∴B不正确．
C正确，D不正确：
设 D ，则 AC 2 DC 2 DA2 2DC DA cos 10 6cos ，
S 3△ABC (10 6cos )
5 3 3 3
cos ，
4 2 2
S 3△ADC sin ，2
S S S 3 3 3 5 3 四边形ABCD ABC ADC sin cos ，2 2 2
3(sin 1 cos 3 ) 5 3 ，
2 2 2
3sin( ) 5 3 ，
3 2
(0, ), sin( ) ( 3 ,1]，
3 2
3 S 5 3四边形ABCD 3，∴C正确，D不正确；2
故选：AC.．
【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在
解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
1
13．
4
【分析】将 | a 2b | 2两边平方后可得a b，从而可求夹角的余弦值.
【详解】由 | a 2b | 2 可得 a2 4a b 4b 2 4，
a
因为 ,b 为单位向量，故1 4 1 1 cos a,b 4 1 4，
答案第 5页，共 12页
故 cos a
,b 1 ，
4
1
故答案为：
4
r r r
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 a a ga 来求；（2）计
r r r
算角， cos a
r,b a b r
ar b .
特别地，两个非零向量 a,b 垂直的等价条件是 a b 0 .
14． 6
【分析】由向量垂直可得2a b 1，根据模长公式即可求解.
【详解】由 a a 2b :a a 2b a2 知 2a b 1 2a b 0知2a b 1，
2
a b a b 2 a 2 2a b b 2 1 1 4 6，所以 a b 6 .
故答案为： 6
15．9
解析 因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交 AC于点 D，
所以∠ABD＝∠CBD＝60°，
1
由三角形的面积公式可得 acsin120° 1＝ asin60° 1＋ csin60°，化简得 ac＝a＋c.又 a>0，c>0，
2 2 2
1 1
所以 ＋ ＝1，
a c
则 4a＋c 1 1 c 4a c 4a＝(4a＋c)·( ＋ )＝5＋ ＋ ≥5＋2 · =9,
a c a c a c
当且仅当 c＝2a时取等号，故 4a＋c的最小值为 9.
16．6
x
【分析】推导出函数 y f x 是周期为 4的周期函数 ，然后作出函数 y cos 与函数2
y f x 在区间 5,8 上的图象，利用对称性可求得函数 y g x 在区间 5,8 上的零点之
和.
【详解】由于函数 y f x 为定义域为 R的奇函数，则 f x f 2 x f x 2 ，
f x 4 f x 2 f x ，所以，函数 y f x 是周期为 4的周期函数，
作出函数 y f x y cos x与函数 在区间 5,8 上的图象，如下图所示：
2
答案第 6页，共 12页
由图象可知，函数 y f x 与函数 y cos x 在区间 5,8 上的图象共有6个交点，
2
且有3对关于直线 x 1对称，
因此，函数 g x cos x f x 在区间 5,8 上的所有零点的和为2 3 6 .
2
故答案为：6 .
【点睛】本题考查函数零点之和的求解，解题时要结合图形得出函数图象的对称性，考查数
形结合思想的应用，属于中等题.
17．（1）b 13；（2）b 5 2 .
【分析】（1）利用余弦定理可求b .
（2）求出A后利用正弦定理可求b .
【详解】（1）由余弦定理可得b2 a2 c2 2ac cos B 25 12 13，故b 13 .
7
（2） A ，
4 12 6
5 b
由正弦定理可得 sin sin ，解得b 5 2 .
6 4
18．(1)1
(2)2
1
【分析】（1）先求 a 2b 1,0 ，进而求 a 2b ；（2）列出方程组，求出 ，进而求
3
uuur r r
出 ；（3）求出 AC 2a b，从而得到CD 4a 2b 2AC，得到结果.
【详解】（1） a 2b 1,2 2, 2 1,0 ， a 2b 1 0 1；
答案第 7页，共 12页
4 1
（2） 4, 5 1,2 1, 1 ，所以 2 ，解得： ，所以 2； 5
3
π
19．(1)C ；
3
(2) 7 3
4
1
【分析】（1）先利用正弦定理及两角和的正弦公式求得 cosC ，进而求得C的值；
2
（2）先利用余弦定理及均值定理求得 ab的最大值，进而求得 ABC面积的最大值．
(1)
由 2cosC a cos B b cos A c，
可得 2cosC sin Acos B sin B cos A sinC
即2cosC sin A B 2cosC sinC sinC，又 sinC 0，则 cosC 1 ，
2
π
又0 C π，则C
3
(2)
π
ABC中， c 7，C 3
则由余弦定理可得7 a2 b2 ab，即7 ab a2 b2
则7 ab 2ab，（当且仅当a b时等号成立）
解之得 ab 7（当且仅当 a b 7时等号成立）
1 3 7 3
则 S ABC ab sinC ab （当且仅当 a b c 7时等号成立），2 4 4
即 ABC 7 3面积的最大值为
4
20.
答案第 8页，共 12页
答案第 9页，共 12页
21.解析 (1)在△ABH中,∠BAH=15°,∠ABH=30°,∴∠AHB=135°,
AB AH AB 760
由正弦定理得 = ,sin∠AHB sin∠ABH 即 = ,解得 AB = 760 2m,，则两名旅客sin135 sin30
从招商证券大厦行驶到市图书馆所需时间为 760 2 = 38 2s.
20
(2) Rt PHE , PEH tan PEH , PH在 △ 中 ∠ 取得最大值等价于 ∠ 取得最大值 即 取得最大值，因为
EH
PH为定值，所以∠PEH取得最大值等价于 EH取得最小值,此时 EH⊥AB.在 Rt△AHE中,
EH = AHsin EAH = 760 × 6 2∠ = 190 6 2 m.
4
在 Rt△PHE中, PH = EHtan∠PEH = 190 6 2 × 3 = 570 2 190 6 m,故龙塔的
高度为 (570 2 190 6)m.
5π
22.1．(1) f x 2sin 2x
6
(2) 1,2 2,3 4,5
π
【分析】（1）由最小正周期先求出 ．选①：利用函数 f x 向左平移 个单位得到的图象
6
关于 y 5π π
π
轴对称求得 的可能取值为 6 、 ，再由
f 0 0验证出 得到
6 6
f x 2sin 2x
5π
6
；
f x π 5π π选②：由函数 的一条对称轴 x ，求出 的可能取值为 、 ．再由 f 06 0验证3 6
出
π
得到 f x 2sin 2x
5π
；
6 6
t f x π 17π 3π 5π π 5π 3π（2）令 ，由 x , 得， 2x 2π时 f x 为增函数， 2x 2 12 2 6 2 6 2
时 f x 为减函数，并且 t 2,2 ．
t2由 4 a t 3 a 0得：t1 1，t2 a 3 f 2，研究方程 x 4 a f x 3 a 0存在
4个不相等的实数根，列不等式，求出 a的取值范围.
(1)
π 2π
由题意可知，函数 f x 的最小正周期为T 4 π，∴ 2．
4 T
答案第 10页，共 12页
选①，将函数 f x π向左平移 个单位，所得函数为
6
y 2sin 2 x π π 2sin 2x .
6 3
由于函数 y 2sin 2x
π
π π 的图象关于 y轴对称，可得 kπ（ k Z ），解得
3 3 2
π kπ k Z
6 （ ）.
π 5π π∵ ，所以， 的可能取值为 6 、 ．6
5π若 ，则 f x 2sin 5π 2x ， f 0 2sin
5π
6 6 6
1，符合题意；
π f x 2sin 2x π f 0 2sin π若 ，则 ， 1，不符合题意．6 6 6
5π
所以， f x 2sin 2x ；
6
选②：因为函数 f x π π π的一条对称轴 x ，则 2 3 3 kπ（ k Z ）， 2
7π
解得 kπ（ k Z ）.
6
5π π
∵ π，所以， 的可能取值为 6 、 ．6
若
5π
，则 f x 2sin 5π π π
6
2x ，则 f 2sin 2 f 1 ，符合题意；
6 6 2
π f x 2sin 2x π 若 ，则 ，则 f
π
2sin
π
2 f 1 ，不符合题意．
6 6 6 2
f x 2sin 2x 5π所以， ；
6
(2)
t f x x π ,17π π令 ，由 得， 2x
5π
2π，
2 12 6 6
t 5π f x 2sin 2x 2, 2 x π 2x 5π π 3π 5π所以 ．其中 满足 ， 2x 2π时
6 6 6 2 2 6
f x π 5π 3π为增函数，满足 2x 时 f x 为减函数
2 6 2
2
解方程 t 4 a t 3 a 0得： t1 1， t2 a 3
2
要使方程 f x 4 a f x 3 a 0存在 4个不相等的实数根，
5π π 17π
当 t1 1，即 2sin 2x 1在 , 上存在两解， 6 2 12
故 t2 a 3取值范围应在 1,2 或在 2, 1 或 1,0 ．
答案第 11页，共 12页
即1 a 3 2或 2 a 3 1或 1 a 3 0
解得： 4 a 5或1 a 2或 2 a 3
故所求的 a的取值范围是 1,2 2,3 4,5
【点睛】（1）已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质求其解析式时，A比较容易，
困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
2
①由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零
T
点”横坐标 x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
②代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图
形解出ω和φ，若对 A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
（2）“结构不良问题”是 2020年高考出现的新题型：题目所给的几个可选择的条件是平行
的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的这几个条件中，并没有哪个条件
让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.
答案第 12页，共 12页连南民族高级中学2022-2023学年第二学期
高一第一次月考数学试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
一：单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．设，向量，若，则等于
A． B． C．－4 D．4
2．若函数的最小正周期为，则
A．2 B．3 C．4 D．8
3．若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量满足，那么向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少.（ ）
A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h
8．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是( )
A． B． C．3 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减 D．的一个零点为
10．已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．向量在向量方向上的投影向量为
C．
D．若，则
11．中，角A、B、C所对的边为，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则．
B．若，则有两个解.
C．若，则是等腰三角形.
D．若，则．
12．如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形
B．若，则，，，四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为_____.
14．若，，，则__________．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
16．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，根据下列条件求相应的值.
（1）已知，，，求；
（2）已知，，，求.
18．设向量，，.
(1)求；
(2)若，，求的值；
19．已知的内角A，，C的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
20．已知向量，向量，函数.
（1）求单调递减区间；
（2）已知分别为内角的对边，为锐角，，且恰是在上的最大值，求和的面积.
21.“龙塔”是哈尔滨市有名的地标性建筑，位于黑龙江省哈尔滨市南岗区，是亚洲著名高钢塔，2008年11月8日龙塔被正式批准加入世界高塔协会.如图所示，两名外地旅客从龙塔(图中PH)正西方的招商证券大厦(图中A 点)出发，沿长江路以北偏东75°方向匀速驾驶机动车到达市图书馆(图中B点)，此时望见龙塔底端(图中H点)位于南偏西45°方向，坐副驾驶的旅客沿途始终保持观察龙塔，他发现在途中的点E处观察的仰角∠PEH达到最大值，此时仰角为60°.已知招商证券大厦与龙塔的距离为760m，机动车行驶速度为20m/s.
(1)这两名旅客从招商证券大厦行驶到市图书馆用时多少秒
(2)龙塔的高度为多少
22.已知函数（，），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称且．
②函数的一条对称轴为且；
(1)求函数的解析式；
(2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．答案第1页，共2页连南民族高级中学 2022-2023 学年第二学期
高一第一次月考数学试卷
满分：150 分 考试时间：120 分钟
一：单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中只有一项
是符合题目要求的．
1．设m R，向量 a (1, 2), b (m,m 2) ，若 a b，则m等于
2
A．
2
B． 3 C．－4 D．43
2．若函数 f x cos x 0 的最小正周期为 ，则
3 2
A．2 B．3 C．4 D．8
3．若函数 f x 2sin 2x
在区间 , 内存在最小值，则 的值可以是（ ）
4 8
7 5 3
A． B． C． D．
4 8 8 8
r r r r
4．已知向量 a,b满足 | a | 1,| b | 2,a b 3，那么向量 a,b的夹角为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
5．在 ABC中，内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，若 b c b c ac ,C ，则B （ ）
6
2
A． B． C． D．
6 3 2 3
6 2
B
．在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 3sinB 2cos 3，
2
cosB cosC sinAsinB
，则 ABC的外接圆的面积为（ ）
b c 6sinC
A．12π B．16π C．24π D． 64π
7．一条东西方向的河流两岸平行，河宽 250m，河水的速度为向东2 3 km/h.一艘小货船准
备从河的这一边的码头 A处出发，航行到位于河对岸 B(AB与河的方向垂直)的正西方向并
且与 B相距 250 3m的码头 C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为
6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少.（ ）
A． 21 km/h B．2 21km/h C． 22 km/h D． 2 22 km/h
答案第 1页，共 4页
sinB 1 cos B
8．在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C所对的边，b＝c，且满足 ＝ ，
sinA cos A
若点 O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形 OACB面积的最
大值是( )
A 8 5 3 4 5 3 4 5． B． C．3 D．
4 4 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知函数 f (x) cos x
，则（ ）
6
A．2 为 f (x)
4
的一个周期 B． y f (x)的图象关于直线 x 对称
3
f (x) π ,π C． 在 上单调递减 D． f (x )的一个零点为
2 3
10 a ．已知向量 ,b 在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为 1，
则下列选项中正确的是（ ）
A．a b 6
2
B．向量b 在向量 a方向上的投影向量为 a3
C． a b a b
D．若 c 1,2 ，则 c // a b
11． ABC中，角 A、B、C所对的边为 a,b,c，下列叙述正确的是（ ）
A．若 sin A sin B，则 A B ．
B．若 A 45o ,a 14,b 16，则 ABC有两个解.
C．若a cos A bcosB，则 ABC是等腰三角形.
D．若 2b cosC 2a c，则 B
0, ．
3
12．如图， ABC的内角A， B，C所对的边分别为 a，b， c．若 a b，且
3 acosC ccos A 2bsin B ，D是 ABC外一点，DC 1，
DA 3，则下列说法正确的是（ ）
A． ABC是等边三角形
B．若 AC 2 3，则A， B，C，D四点共圆
答案第 2页，共 4页
C．四边形 ABCD 5 3面积最大值为 3
2
D．四边形 ABCD 5 3面积最小值为 3
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13 ．已知单位向量 a,b 满足 | a 2b | 2，则 a与b 的夹角的余弦值为_____.
14．若 a 1， b 2， a a 2b ，则 a b __________．
15．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线
交 AC于点 D，且 BD＝1，则 4a＋c的最小值为________．
16．设函数 f x 为定义域为 R的奇函数，且 f x f 2 x ，当 x 0,1 时， f x sin x，
x
则函数 g x cos f x 在区间 5,8 上的所有零点的和为__________.
2
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在 ABC中，根据下列条件求相应的值.
（1）已知 a 3， c 4， B ，求b；
3
7
（2）已知 a 5， B ，C ，求b .
4 12
r
18．设向量 a 1, 2 ，b 1, 1 ， c 4, 5 .
(1)求 a 2b ；
r r r
(2)若 c a b， , R ，求 的值；
19．已知 ABC的内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c， 2cosC a cos B b cos A c．
(1)求C；
(2)若 c 7，求 ABC面积的最大值．
1
20．已知向量m sin x, 1 ，向量 n 3 cos x, ，函数 f x (m n) m .
2
（1）求 f x 单调递减区间；
（2）已知 a,b,c分别为 ABC内角 A,B,C的对边，A为锐角， a 2 3,c 4，且 f A 恰是
f x 在 0， 上的最大值，求 A,b和 ABC的面积S . 2
答案第 3页，共 4页
21.“龙塔”是哈尔滨市有名的地标性建筑，位于黑龙江省哈尔滨市南岗区，是亚洲著名高
钢塔，2008年 11月 8日龙塔被正式批准加入世界高塔协会.如图所示，两名外地旅客从龙塔
(图中 PH)正西方的招商证券大厦(图中 A 点)出发，沿长江路以北偏东 75°方向匀速驾驶机
动车到达市图书馆(图中 B点)，此时望见龙塔底端(图中 H点)位于南偏西 45°方向，坐副驾
驶的旅客沿途始终保持观察龙塔，他发现在途中的点 E处观察的仰角∠PEH达到最大值，
此时仰角为 60°.已知招商证券大厦与龙塔的距离为 760m，机动车行驶速度为 20m/s.
(1)这两名旅客从招商证券大厦行驶到市图书馆用时多少秒
(2)龙塔的高度为多少
22.已知函数 f x 2sin x （ 0， π），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横
π
坐标相差 ，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
4
①函数 f x π向左平移 个单位得到的图象关于 y轴对称且 f 0 0．
6
②函数 f x π π 的一条对称轴为 x 且 f f 1 ；3 6
(1)求函数 f x 的解析式；
π 17π
(2) 2若 x , ，方程 f x 4 a f x 3 a 0存在 4个不相等的实数根，求实数 a的 2 12
取值范围．
答案第 4页，共 4页连南民族高级中学2022-2023学年第二学期
高一第一次月考数学答案
1．D
【解析】直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.
【详解】因为，且，
所以，
化为，解得，故选D.
【点睛】利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
2．C
【解析】利用余弦型函数的最小正周期的计算公式可得的值.
【详解】因为，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的周期，考查运算求解能力，此题属于基础题.
3．B
【分析】根据所给角的范围及正弦函数的性质可确定的范围即可得解.
【详解】由，
则
若使在开区间上取得最小值则必须，
解得，
故选：B
4．D
【分析】根据向量的夹角公式运算求解.
【详解】由题意可得：，
∵，
∴向量的夹角为.
故选：D
5．B
【分析】由结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出，再由内角和定理以及三角恒等变换得出.
【详解】由得，
结合余弦定理，可得，
再由正弦定理得，因为，
所以，所以，得．
因为，所以．
故选：B
6．B
【分析】根据二倍角公式将化简得到，利用余弦定理和正弦定理将化简可得，进而求出结果.
【详解】因为，所以，
所以，即，
又，所以，
所以，所以.
因为，
由余弦定理得，
即，
又，所以，所以，
由正弦定理得，所以.
设的外接圆的半径为，
所以，解得，
所以的外接圆的面积为.
故选：B.
7．C
【分析】先由等式，得出，并计算出，以及与的夹角为，然后利用平面向量数量积的定义可计算出的值．
【详解】由于是圆上的三点，，
则，，故选C．
【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，解题的关键就是要确定向量的模和夹角，考查计算能力，属于中等题．
8．B．
9．AD
【分析】对于A，直接利用周期公式求解即可；对于B，直接把代入解析式中验证即可；对于C，求出的单调区间进行判断；对于D，把代入计算即可.
【详解】根据函数知最小正周期为，正确.
当时，，由余弦函数的对称性知，错误；
函数在上单调递减，在上单调递增，故错误；
，
，故正确.
故选：AD
【点睛】此题考查余弦型函数的图像和性质，属于基础题
10．ABD
【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项
【详解】由图可得，
对于A，，故A正确；
对于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正确；
对于C，，
所以，故C不正确；
对于D，因为，，所以，故，故D正确.
故选：ABD
11．AB
【分析】由正弦定理进行边角转化判断A，由正弦定理求出，再根据大小关系确定角的解判断B，正弦定理化边为角，进行三角恒等变换后判断C，利用余弦定理变形后得出角范围判断D．
【详解】中，由正弦定理，A正确；
若，由得，
又，所以，因此角可以为锐角也可以为钝角，有两解，B正确；
若，则，，或，即或，是等腰三角形或直角三角形，C错误；
若，则，整理得，，所以，D错误．
故选：AB．
12．AC
【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知为等边三角形，从而判断；利用四点，，，共圆，四边形对角互补，从而判断；设，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求，利用正弦函数的性质，求出最值，判断．
【详解】由正弦定理，
得，
，
，B是等腰的底角，，
是等边三角形，A正确；
B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，
由A正确知，
但由于时，
，
∴B不正确．
C正确，D不正确：
设，则，
，
，
，
，
，
，
，∴C正确，D不正确；
故选：AC.．
【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
13．
【分析】将两边平方后可得，从而可求夹角的余弦值.
【详解】由可得，
因为为单位向量，故，
故，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.
14．
【分析】由向量垂直可得，根据模长公式即可求解.
【详解】由知:知，
，所以.
故答案为：
15．9
解析 因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，
所以∠ABD＝∠CBD＝60°，
由三角形的面积公式可得acsin120°＝asin60°＋csin60°，化简得ac＝a＋c.又a>0，c>0，所以＋＝1，
则4a＋c＝(4a＋c)·(＋)＝5＋＋≥5＋2 =9,
当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9.
16．
【分析】推导出函数是周期为的周期函数 ，然后作出函数与函数在区间上的图象，利用对称性可求得函数在区间上的零点之和.
【详解】由于函数为定义域为的奇函数，则，
，所以，函数是周期为的周期函数，
作出函数与函数在区间上的图象，如下图所示：
由图象可知，函数与函数在区间上的图象共有个交点，
且有对关于直线对称，
因此，函数在区间上的所有零点的和为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数零点之和的求解，解题时要结合图形得出函数图象的对称性，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）利用余弦定理可求.
（2）求出后利用正弦定理可求.
【详解】（1）由余弦定理可得，故.
（2），
由正弦定理可得，解得.
18．(1)1
(2)2
【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.
【详解】（1），；
（2），所以，解得：，所以；
19．(1)；
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理及两角和的正弦公式求得，进而求得的值；
（2）先利用余弦定理及均值定理求得的最大值，进而求得面积的最大值．
(1)
由，
可得
即，又，则，
又，则
(2)
中，，
则由余弦定理可得，即
则，（当且仅当时等号成立）
解之得（当且仅当时等号成立）
则（当且仅当时等号成立），
即面积的最大值为
20.
21.解析 (1)在△ABH中,∠BAH=15°,∠ABH=30°,∴∠AHB=135°,
由正弦定理得 即 解得 ，则两名旅客从招商证券大厦行驶到市图书馆所需时间为
(2)在Rt△PHE中,∠PEH取得最大值等价于tan∠PEH取得最大值,即 取得最大值，因为PH为定值，所以∠PEH取得最大值等价于EH取得最小值,此时EH⊥AB.在Rt△AHE中,
在Rt△PHE中, 故龙塔的高度为
22.1．(1)
(2)
【分析】（1）由最小正周期先求出．选①：利用函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称求得的可能取值为、，再由验证出得到；
选②：由函数的一条对称轴，求出的可能取值为、．再由验证出得到；
（2）令，由得，时为增函数， 时为减函数，并且．
由得：，，研究方程存在4个不相等的实数根，列不等式，求出的取值范围.
(1)
由题意可知，函数的最小正周期为，∴．
选①，将函数向左平移个单位，所得函数为.
由于函数的图象关于轴对称，可得（），解得（）.
∵，所以，的可能取值为、．
若，则，，符合题意；
若，则，，不符合题意．
所以，；
选②：因为函数的一条对称轴，则（），
解得（）.
∵，所以，的可能取值为、．
若，则，则，符合题意；
若，则，则，不符合题意．
所以，；
(2)
令，由得，，
所以．其中满足，时为增函数，满足时为减函数
解方程得：，
要使方程存在4个不相等的实数根，
当，即在上存在两解，
故取值范围应在或在或．
即或或
解得：或或
故所求的的取值范围是
【点睛】（1）已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质求其解析式时，A比较容易，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
①由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
②代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
（2）“结构不良问题”是2020年高考出现的新题型：题目所给的几个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的这几个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.
答案第1页，共2页
