专题训练：基本不等式求最值
1．若实数满足：，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
3．若，则有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
4．已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
5．若正实数x,y满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．设正实数m，n满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．若，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知正实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．设，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知正实数，且，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
14．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
15．设，则的最小值等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
16．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
17．已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
18．若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．1
19．（多选）已知，，且，则（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是3 D．的最小值是
20．（多选）若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
21．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是-1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
22．（多选）已知实数，，，则的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
23．已知，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围______．
24．已知正数满足，则的最大值是___________.
25．已知，则的最大值是_________
26．若正数a，b满足1，则的最小值为__．
27．若正数a，b满足，则的最小值是__．
28．设a，b≥0，且，则的最小值为___________.
29．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
30．（1）已知，则取得最大值时x的值为？
（2）已知，则的最大值为？专题训练：基本不等式求最值
1．若实数满足：，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为，所以，
由基本不等式可得，
故，解得或（舍），即
当且仅当时等号成立，
故的最小值为1，故选：A.
2．已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】因为为正实数且，
所以，
所以，
因为，
当且仅当时等号成立；
所以，当且仅当时等号成立；故选：D
3．若，则有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
【答案】D
【解析】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故有最大值．故选：D.
4．已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】由，得，
即，所以，当且仅当，
即时，等号成立，
所以的最小值是4.故选：D.
5．若正实数x,y满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得正实数x,y满足，
所以，
当且仅当即时取等号，
所以，故选：B．
6．设正实数m，n满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为正实数m，n，，
所以，
当且仅当且，即，时取等号，
此时取得最小值，故选：C
7．已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出，将与相乘，
利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的取值范围.
【解析】因为，，则，，
所以，，
所以，
当且仅当时，即，时等号成立．
又恒成立，所以．故选：C.
8．已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】转化后由基本不等式“1”的妙用求解
【解析】因为，，所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立.
所以的最小值为2.故选：A
9．若，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【解析】当时，，
当且仅当，即时等号成立.故选：A.
10．已知正实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在等式的两边同乘以，
结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可解得的最小值.
【解析】因为正实数、满足，
等式两边同乘以可得，
所以，，
因为，解得，当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.故选：C.
11．设，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得.
【解析】解：因为，且，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．故选：C．
12．若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得，利用“”的代换求最值.
【解析】因为，，且，所以，
所以，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为，故选：A.
13．已知正实数，且，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将变为，即可得，
因此将变为，结合基本不等式即可求得答案.
【解析】因为正实数，，故，
所以，
故，
当且仅当时取得等号，故选：C
14．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】令，用分别乘
两边再用均值不等式求解即可.
【解析】因为，且为正实数
所以，
当且仅当即时等号成立.
所以.故选：B.
15．设，则的最小值等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，结合基本不等式，即可求解.
【解析】因为，可得且，
所以，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为.故选：B.
16．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用基本不等式求解.
【解析】因为，所以．
因为x，y都是正数，由基本不等式有：，
所以，当且仅当
即时取“＝”．故A，C，D错误.故选：B．
17．已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】对原式化简，然后根据基本不等式求解.
【解析】因为，，．
所以，
当且仅当时，等号成立．故选：B.
18．若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【分析】对原不等式进行化简可得，再利用基本不等式求最值可得答案.
【解析】∵不等式对任意正数a，b恒成立，
∴（，）恒成立，
∵，
当且仅当且，即时等号成立.
∴.故选：C.
19．（多选）已知，，且，则（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是3 D．的最小值是
【答案】BD
【分析】根据基本不等式可求得，判断A;将变形为
结合基本不等式，判断B；由整理得到
结合基本不等式可判断C,D.
【解析】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，
即，解得，即，A错误；
对于B, 由，,，当且仅当时取等号，
得，所以,
又，所以，B正确；
对于C, 由，，，得，
则 ，
当且仅当，即时等号成立,但，
所以．（等号取不到）,故C错误；
对于D，由C的分析知：，,,
，
当且仅当，即时等号成立，D正确，
故选：BD
20．（多选）若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】BCD
【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.
【解析】由正实数满足，则，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A选项错误；
由，则，
当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故B选项正确；
由
，
当且仅当时，等号成立，
所以有最小值，故C选项正确；
由，
当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D选项正确.
故选：BCD.
21．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是-1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
【答案】ABD
【分析】对进行构造，利用基本不等式即可判断A；
由得，进而将转化为，
结合基本不等式即可判断B；由得，
根据可得，从而可判断C;
令，，原式转化成，结合基本不等式即可判断D
【解析】对于A，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为-1，故A正确；
对于B，因为，，都是正数，且，
所以，
所以
，
当且仅当，即即时等号成立，
所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所以，
即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，
所以，所以，
解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4，故C错误；
对于D，令，，则，，
因为，所以，同号，则，同号，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，故D正确，
故选：ABD．
22．（多选）已知实数，，，则的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】BCD
【分析】根据题中条件配凑，再运用“1”的代换与基本不等式求出原式范围即可得到答案.
【解析】因为，，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以，可能为8,9,10.
故选：BCD
23．已知，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围______．
【答案】
【分析】由题意结合基本不等式可得，则不等式等价于，
由此即可解出m的取值范围.
【解析】因为，且，
所以，
当且仅当时等号成立，
又不等式恒成立，
所以，即，解得．
故答案为：.
24．已知正数满足，则的最大值是___________.
【答案】
【分析】设，表达出，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可.
【解析】设，则，
所以，
当且仅当时取等号.
所以，解得，即的最大值，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
25．已知，则的最大值是_________
【答案】##
【分析】直接利用基本不等式求最大值.
【解析】，则，
当且仅当即时取等号．
故答案为：.
26．若正数a，b满足1，则的最小值为__．
【答案】16
【分析】由条件可得，，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，
注意等号成立的条件.
【解析】因为正数a，b满足1，则有1，
则有，1，即有，
则有16，
当且仅当即有b＝2a，又1，
即有a，b＝3，取得最小值，且为16．
故答案为：16．
27．若正数a，b满足，则的最小值是__．
【答案】
【分析】设，得到，
结合基本不等式，即可求解.
【解析】设，则，可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，取得最小值．
故答案为：．
28．设a，b≥0，且，则的最小值为___________.
【答案】0
【分析】由题可得，代入，结合均值不等式即可得出答案.
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当时取等.
所以的最小值为0.
故答案为：0.
29．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
【答案】（1）9；（2）．
【分析】（1）由于，则，然后利用基本不等式求解即可，
（2）由于，变形得，然后利用基本不等式求解即可.
【解析】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9．
（2）因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为．
30．（1）已知，则取得最大值时x的值为？
（2）已知，则的最大值为？
【答案】（1）；（2）1.
【分析】（1）根据基本不等式，和为定值求积的最大值，（2）由基本不等式即可求解.
【解析】（1），
当且仅当，即时取等号．
故所求的值为.
（2）因为，所以，
则
当且仅当，即时，取等号．
故的最大值为1.
