第三章：函数的概念与性质 章末测试
一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于，是二次函数，
在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，在区间上为减函数，不符合题意故选：B
2．已知函数的定义域为，求函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
所以函数的定义域满足：
解得，即
所以函数的定义域为故选：：C
3．已知奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2）∪（0，2） B．（－2，0）∪（2，＋∞）
C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－2，0）∪（0，2）
【答案】C
【解析】因为奇函数在上单调递减，且，
所以函数在上单调递减，且，
所以当，，，满足，
当，，，不满足，
当，，，不满足，
当，，，满足，
综上：的解集为.故选：C
4．已知函数，若，则（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，函数在和上均为增函数，
因为，所以，可得，
由题意可得，即，解得，合乎题意，
所以，.故选：D.
5．函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故在上单调递减，
由题意得解得，故选：B
6．若函数在上是增函数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，即，
由于在上单调递增，
所以.故选：B
7．设的定义域为R，且满足，，若，则（ ）
A．2023 B．2024 C．3033 D．3034
【答案】A
【解析】因为，，所以，
由得，
所以，，
即，
所以
所以.故选：A.
8．已知函数，的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．的图象关于点对称
【答案】A
【解析】因为为奇函数，所以，
所以函数的图象关于点对称，则的图象关于直线对称.
因为为偶函数，所以，
所以函数的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称.故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】AD
【解析】对于选项A，，两个函数的定义域均为，且，
所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A正确；
对于选项B，，两个函数的对应关系不相同，
所以不是同一个函数，故B错误；
对于选项C，的定义域为，
的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故C错误；
对于选项D，，两个函数的定义域均为R，
对应关系也相同，是同一个函数，故D正确．
故选：AD.
10．下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是非奇非偶函数
【答案】BC
【解析】对于A，由且，得，
则的定义域不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数，故A错误;
对于B，函数的定义域关于原点对称，
当x>0时，，，
当x<0时，也有，所以为奇函数，故B正确;
对于C，由且，得，即，
的定义域关于原点对称，此时，
所以既是奇函数又是偶函数，故C正确;
对于D，由且，得且x≠0，
的定义域关于原点对称，因为，
，所以函数为奇函数，故D错误.
故选:BC.
11．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【解析】设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，
，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
12．已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，，由于，所以，
所以，故不存在正数M，使得成立.
对于B，令，则，，当时，u取得最大值4，所以
所以，故存在正数2，使得成立.
对于C，令，则，易得，所以
即，故存在正数5，使得成立.
对于D，令，则，，则，
易得，所以，故不存在正数M，使得成立.
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设（、为常数），若，则______
【答案】40
【解析】由题意，则，即，
由，
故答案为：40.
14．若函数的定义域为，则的范围是__________.
【答案】
【解析】依题意，，成立，当时，成立，即，
当时，，解得，因此得，
所以的范围是.
故答案为：
15．若函数在区间上是减函数，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为函数的对称轴为直线，开口向上，
又函数在上单调递减，所以，解得，
即．
故答案为:.
16．已知函数，，对，，使成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】函数图象的对称轴为直线x=2，
所以在上单调递减，
则在上的值域为.
因为在上单调递增，
所以在上的值域为.
由题意，可得，
即，解得.
故答案为：
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）因为，所以．
（2）方法一设，则，，即，
所以，所以．
方法二因为，所以．
（3）因为是二次函数，所以设．
由，得c＝1．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替换中的x，得，
由，解得．
18．已知函数.
（1）用单调性定义证明函数在上为减函数；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：设对任意的，
则
由题设可得，，
，即.
故函数在上为减函数..
（2）由题知，
又的定义域为关于原点对称，
是奇函数.
又由（1）得在上为减函数，
在上也是减函数.
函数在上的最大值为.
19．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求当x＞0时，函数的解析式；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，
故，
故当x＞0时，．
（2）由，得，
故或．
如图所示，画出函数的图象．
由图易得的解集为（0，2），的解集为，
故不等式的解集为．
20．已知幂函数的定义域为全体实数R.
（1）求的解析式；
（2）若在上恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵是幂函数，∴，∴或2.
当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，
∴m＝2,∴.
（2）即，要使此不等式在上恒成立，
令,只需使函数在上的最小值大于0.
∵图象的对称轴为，故在上单调递减，
∴，
由，得，
∴实数k的取值范围是.
21．某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
【答案】（1）小时；（2）小时
【解析】（1）设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，
即血液含药量须不低于4微克，可得，解得，
所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．
（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；
若，药物浓度，解得，
若，药物浓度，
化简得，所以；
若，药物浓度，解得，所以；
综上，
所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．
22．已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
（1）证明：为奇函数；
（2）证明：在上是增函数；
（3）设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）证明见解析.;（2）证明见解析.;（3）
【解析】（1）因为有，
令，得，所以，
令可得：，
所以，故为奇函数．
（2）由（1）可知是定义在，上的奇函数，
由题意设，则
由题意时，有，
是在上为单调递增函数；
（3）由（1）（2）可知是上为单调递增函数，
所以在上的最大值为
所以要使，对所有，恒成立，
只要，
由，可得，解得
所以实数的取值范围为第三章：函数的概念与性质 章末测试
一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域为，求函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．已知奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2）∪（0，2） B．（－2，0）∪（2，＋∞）
C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－2，0）∪（0，2）
4．已知函数，若，则（ ）
A． B．6 C． D．
5．函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在上是增函数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．设的定义域为R，且满足，，若，则（ ）
A．2023 B．2024 C．3033 D．3034
8．已知函数，的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．的图象关于点对称
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是非奇非偶函数
11．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
12．已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设（、为常数），若，则______
14．若函数的定义域为，则的范围是__________.
15．若函数在区间上是减函数，则实数k的取值范围是______．
16．已知函数，，对，，使成立，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
18．已知函数.
（1）用单调性定义证明函数在上为减函数；
（2）求函数在上的最大值.
19．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求当x＞0时，函数的解析式；
（2）解不等式．
20．已知幂函数的定义域为全体实数R.
（1）求的解析式；
（2）若在上恒成立，求实数k的取值范围.
21．某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
22．已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
（1）证明：为奇函数；
（2）证明：在上是增函数；
（3）设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.
