04：三角形--备战2023年中考数学之易错题集训
1．下列说法正确的有：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形，等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形；⑤等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合；⑥如果一个三角形某一边上的高线与所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形；⑦等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑧到角的两边的距离相等的点在角的平分线．其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如图，在中，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．7
3．下列说法不正确的是（ ）
A．三角形的三条高线交于一点 B．直角三角形有三条高
C．三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形的三条中线交于一点
4．等腰三角形的两边a、b满足，则这个三角形的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．13或17
5．如图，的三边长均为整数，且周长为，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有（ ）个．
A． B．
C． D．
6．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是( )
A．和 B． C． D．或
7．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是 （ ）
A．75°或30° B．75° C．15° D．75°和15°
8．如果三角形两个不同顶点外角的和为，则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
9．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图，△为直角三角形，，AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线BE交于点E，BG是△ABC的外角平分线，AD与BG相交于点G，则∠ADC与∠GBF的和为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．160°
11．等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为，则等腰三角形的顶角大小为
A． B． C．或 D．或
12．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是（ ）m．
A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8
14．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为切线，弦ADOC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论正确的是（ ）
A．CD是⊙O的切线 B．CO⊥DB
C．△EDA∽△EBD D．
15．长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有________个
16．已知等腰三角形一腰上的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是50°，则底角的度数为________．
17．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠B=30°，且AD=1，那么BD=__________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝24，BD平分∠ABC，点E是AB的动点，点F是BD上的动点，则AF＋EF的最小值为________．
19．如图，在中，，，平分，交于点D，若，则_______．
20．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有___对．
21．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是线段BC上一点，将△ABE沿着AE折叠，得到△AFE，当F点落到矩形的对角线上时，BE的长为____________．
22．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，AD＝2DB，△ADE和△ABC重心间的距离为2；当点D，E分别在AB，AC延长线上且 时，△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，设此时AB：AD的值为k，那么k的取值范围是 _____．
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=10，BC=24，点P是线段CD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为___________．
24．如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为__________米（保留根号）．
25．数学课外活动中，小明探究在Rt△ABC中尺规作图，步骤如下：
①分别以斜边的端点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点E、F，
②作直线EF，交BC于点D．连接AD．
(1)直线EF是线段AB的（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高线 D．垂直平分线
(2)若AD是∠BAC的角平分线，求的值．
26．在中，是边上的高，，求的度数．
27．如图，在△ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E．求∠AEC的度数．
28． 等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为和两部分，求此三角形的腰和底边的长．
29．课本矩形一节，根据矩形的的性质得到了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中为直角，AD为斜边BC上的中线，．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使，连结BE，再证，从而就可以证明得到；
(1)小聪同学还想借助图②，在任意的中，为直角，AD为斜边BC上的中线，证明结论，请你帮助小聪同学完成；
(2)如图③，在中，垂足为D，如果，，，求的中线AE的长度．
30．如图，D是线段BE的中点，，
(1)请类比小红的表达方法，在图中找出一对全等三角形（要求与小红所找的不同），并说明理由；
小红：，理由是：
在△BCD和△EFD中
∵D是线段BE的中点，∴
又∵，
∴（AAS）
(2)连接CF，判断CF与BE有怎样的位置关系，并说明理由．
31．如图，已知OA＝OD，AE＝DF．求证：
(1)OB=OC；
(2)ABCD．
32．已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2＋FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．
33．如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：
(1)线段BC的长；
(2)若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．
34．如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，，BF与EC相交于点M．求证：．
35．如图1，，，，BD、CE相交于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，当时，取CE、BD的中点分别为点M、N，连接AM、AN、MN，求证：；
(3)在（2）问的条件下直接写出AM和MN的数量关系．
36．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为．
(1)当移动几秒时，的面积为？
(2)当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？
37．如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（-2，0）．
(1)求直线AP和双曲线的表达式；
(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
38．如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西的C处之后，货轮继续往东航行．通过计算，你认为货轮继续向东航行的途中会有触礁的危险吗？（已知，，）．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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04：三角形--备战2023年中考数学之易错题集训
1．下列说法正确的有：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形，等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形；⑤等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合；⑥如果一个三角形某一边上的高线与所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形；⑦等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑧到角的两边的距离相等的点在角的平分线．其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形与等边三角形的定义与性质、角平分线的判定定理对各说法进行分析即可得出结果．
【详解】解：①等边三角形是特殊的等腰三角形，故说法①正确；
②等腰三角形中有等腰直角三角形，故说法②正确；
③三角形按边分类可分为等腰三角形与三边都不相等的三角形，故说法③错误；
④三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，故说法④正确；
⑤等腰三角形的顶角角平分线、中线和高互相重合，故说法⑤错误；
⑥如果一个三角形某一边上的高线与所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形，故说法⑥正确；
⑦等边三角形的高、中线、角平分线都相等，故说法⑦正确；
⑧角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故说法⑧错误．
综上所述，说法正确的共有5个，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形与等腰三角形的定义和性质、角平分线的判定定理，熟练掌握各定义和性质是解题关键．
2．如图，在中，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．7
【答案】A
【分析】根据已知条件利用ASA证明 ．再计算出BG，根据点E、F是中点，得到EF是△BGC的中位线，得出EF的长度．
【详解】解：∵
∴∠AFC=∠AFG
∵AF是的角平分线
∴∠GAF=∠CAF
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
故选：．
【点睛】本题考查三角形的中位线、全等三角形．灵活使用中点是本题的解题关键．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．三角形的三条高线交于一点 B．直角三角形有三条高
C．三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形的三条中线交于一点
【答案】A
【分析】根据三角形的角平分线，三角形中线、高线的性质判断即可．
【详解】解：A、三角形的三条高线所在的直线交于一点，错误；
B、直角三角形有三条高，正确；
C、三角形的三条角平分线交于一点，正确；
D、三角形的三条中线交于一点，正确；
故选A．
【点睛】本题考查三角形角平分线、三角形高线、中线的定义，熟记各性质以及概念是解题的关键．
4．等腰三角形的两边a、b满足，则这个三角形的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．13或17
【答案】C
【分析】先将58改成9+49，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出a，b的值，最后根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴a=3，b=7.
分两种情况讨论：
当腰为3时，3+3<7，不能构成三角形，
当腰为7时，3+7>7，能构成三角形，等腰三角形的周长为7+7+3=17．
综上所述：该等腰三角形的周长为17．
故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质．解题的关键是将58改成9+49，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式．
5．如图，的三边长均为整数，且周长为，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有（ ）个．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依据的周长为22，的周长比的周长大2，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到，6，8，10．
【详解】解：的周长为22，的周长比的周长大2，
，
解得，
又的三边长均为整数，的周长比的周长大2，
为整数，
边长为偶数，
，6，8，10，
即的长可能值有4个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题的关键是掌握：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
6．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是( )
A．和 B． C． D．或
【答案】D
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．
【详解】①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=40°，
∴∠A=50°，
即顶角的度数为50°；
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=40°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BAC=130°．
综上，这个等腰三角形的顶角是50°或130°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
7．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是 （ ）
A．75°或30° B．75° C．15° D．75°和15°
【答案】D
【分析】等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，所以应分两种情况进行讨论．
【详解】当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示：
∵CD⊥AB，
即在Rt△ACD中， CD=AC，
∴∠A=30°，
∴∠B=∠ACB==75°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图2示，
∵CD⊥AB，
即在Rt△ACD中， CD=AC，
∴∠CAD=30°，
∴∠B=∠C=∠CAD=15°．
综上，其底角为75°或15°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，含30°的角的直角三角形的性质，在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
8．如果三角形两个不同顶点外角的和为，则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【分析】根据三角形的外角和为，即可求得另一个顶点的外角为，据此即可判定．
【详解】解：三角形两个不同顶点外角的和为，
另一个顶点的外角为，
这个顶点的内角为，
此三角形一定是钝角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，熟练掌握和运用多边形的外角和定理是解决本题的关键．
9．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据外角的位置，与底角相邻和与顶角相邻分类讨论，求出顶角的度数即可．
【详解】解：①当外角与底角相邻时，如图：
∵，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴
②当外角与顶角相邻时，如图：
∵，
∴，
故顶角的度数为或
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及平角的应用，正确理解等腰三角形的性质是解题的关键．
10．如图，△为直角三角形，，AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线BE交于点E，BG是△ABC的外角平分线，AD与BG相交于点G，则∠ADC与∠GBF的和为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．160°
【答案】B
【分析】利用三角形内角和定理，角平分线的定义求出∠BEG=45°，∠EBG=90°，推出∠G=45°，可得结论．
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AE，BE分别平分∠CAB，∠CBA，
∴∠EAB+∠EBA=∠CAB+∠CBA=45°，
∵BG平分∠CBF，
∴∠CBG=∠CBF，
∵∠CBE=∠CBA，
∴∠CBE=∠CBG+∠CBE=∠CBF+∠CBA=90°，
∴∠G=90°-45°=45°，
∵∠ADC=∠BDG，
∴∠ADC+∠GBF=∠BDG+∠DBG=180°-∠G=135°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为，则等腰三角形的顶角大小为
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．
【详解】如图1，，
，
平分，
，
，
，
，
，
如图2，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
等腰三角形的顶角大小为或，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．
12．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，
此时，
而，
∴，
∴长度的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的最大值是解题的关键．
13．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是（ ）m．
A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8
【答案】C
【分析】先把树干当作圆柱体从侧面展开，求出葛藤绕树干盘旋1圈时上升的高度，进而可得出结论．
【详解】解：∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，
∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，
如图所示：
AC＝（m）．
∴这段葛藤的长＝2×1.3＝2.6（m）．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平面展开 最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图是解答此题的关键．
14．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为切线，弦ADOC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论正确的是（ ）
A．CD是⊙O的切线 B．CO⊥DB
C．△EDA∽△EBD D．
【答案】ABC
【分析】由切线的性质得∠CBO＝90°，首先连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；根据全等三角形的性质得到CD＝CB，根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO⊥DB；根据余角的性质得到∠ADE＝∠BDO，等量代换得到∠EDA＝∠DBE，根据相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD；根据相似三角形的性质得到，于是得到ED BC＝BO BE．
【详解】解：A．证明：连接DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∵ADOC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
故选项正确，符合题意；
B．证明：∵△COD≌△COB，
∴CD＝CB，
∵OD＝OB，
∴CO垂直平分DB，
即CO⊥DB，
故选项正确，符合题意；
C．证明：∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠ADE＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，
∴△EDA∽△EBD，
故选项正确，符合题意；
D．证明：∵∠EDO＝∠EBC＝90°，
∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴，
∵OD＝OB，
∴ED BC＝BO BE，
故选项错误，不符合题意．
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．
15．长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有________个
【答案】3
【分析】根据三角形的构成条件：任意两边之和大于第三边，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴2cm，3cm，4cm可以构成三角形；
∵，
∴2cm，3cm，5cm不可以构成三角形；
∵，
∴2cm，4cm，5cm可以构成三角形；
∵，
∴3cm，4cm，5cm可以构成三角形；
∴可以构成3个不同的三角形．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
16．已知等腰三角形一腰上的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是50°，则底角的度数为________．
【答案】
【分析】分两种情况讨论，①三角形为锐角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可；②三角形为钝角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可．
【详解】解：由题意，分两种情况讨论，
①如图1，三角形为锐角三角形时，
，
底角为：；
②三角形为钝角三角形时，，
底角为：，
综上，底角的度数为．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题关键是分类讨论．
17．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠B=30°，且AD=1，那么BD=__________．
【答案】3
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质分别求解AC，AB的长，再利用BD=AB-AD计算可求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°
∵CD⊥AB
∴∠ACD=30°
∵AD=1
∴AC=2
∴AB=4
∴BD=AB-AD=4-1=3．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，求解AC，AB的长是解题的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝24，BD平分∠ABC，点E是AB的动点，点F是BD上的动点，则AF＋EF的最小值为________．
【答案】12
【分析】在射线BC上取一点，使得．过点A作AH⊥BC于H．证明，推出AF+FE=AF+，根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：在射线BC上取一点，使得．过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，
∴AHAC＝12，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBE＝，
∵，BF＝BF，
∴△FBE≌△（SAS），
∴，
∴AF＋FE＝AF＋，
根据垂线段最短可知，当A，F，共线且与AH重合时，AF＋FE的值最小，
最小值＝12，
故答案为12．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，角平分线的定义，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
19．如图，在中，，，平分，交于点D，若，则_______．
【答案】4
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可得，根据三角形角平分线定义可得，可得，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．
20．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有___对．
【答案】6
【分析】根据相似三角形的判定定理找出相似的三角形即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴；
∴；
∵，，
∴；
∴；
∵，
∴；
综上所述：有6对相似三角形．
故答案为：6
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，找出所有的相似三角形．
21．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是线段BC上一点，将△ABE沿着AE折叠，得到△AFE，当F点落到矩形的对角线上时，BE的长为____________．
【答案】3或
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得，然后分两种情况讨论：当点F落在BD上时；当点F落在AC上时，即可求解．
【详解】解：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
由勾股定理得： ，
如图，当点F落在BD上时，则AE⊥BD，
∴∠BAE+∠ABD=90°，
∵∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴ ，
∴ ，即，
解得： ；
如图，当点F落在AC上时，则AF=AB=6，EF=BE，
设 ，则 ， ，
∵AC=10，
∴，
在 中， ，
即 ，解得： ，
即 ．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
22．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，AD＝2DB，△ADE和△ABC重心间的距离为2；当点D，E分别在AB，AC延长线上且 时，△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，设此时AB：AD的值为k，那么k的取值范围是 _____．
【答案】
【分析】过A点AH⊥BC交DE于点G，设M点是△ADE的重心，由已知求出AG=6，AH=9，当△ADE和△ABC重心间的距离等于6时，设△ADE的重心为M，则GM=6，求出AK=18，又由△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，可得．
【详解】解：过A作中线AH交DE于点G，设M点是△ADE的重心，
∴ ，
∵AD=2DB，
∴
∴ ，
∴△ABC的重心在DE上，
∴AG=2GH，
∵△ADE和△ABC重心间的距离为2，
∴MG=2， ∴AM=4，
∴AG=6，AH=9，
∴
当点D，E分别在AB，AC延长线上时， 当△ADE和△ABC重心间的距离等于6时，
设△ADE的重心为M，△ABC的重心为G，
则GM=6，由重心的性质可得：
而
∵
∴
∴
∴
同理由可得，
∴ ，
当两点重合时，
∵△ADE和△ABC重心间的距离不大于6，
∴≤k＜，
故答案为： ≤k＜．
【点睛】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形重心的性质是解题的关键．
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=10，BC=24，点P是线段CD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为___________．
【答案】或
【分析】分三种情况，⊙P与BC边相切，⊙P与AC边相切，⊙P与AB边相切．利用相似三角形的判定和性质，切线的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，
∴AB==26，
∵CD⊥AB，
∴△ABC的面积=AB CD=AC BC，
∴26CD=10×24，
∴CD=，
分三种情况：
当⊙P与BC边相切，如图：
过点P作PE⊥BC，垂足为E，
∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90°，
∴∠CPE+∠PCE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠PCE+∠B=90°，
∴∠B=∠CPE，
∵∠CEP=∠ACB=90°，
∴△BCA∽△PEC，
∴，
∴，
∴PC=；
当⊙P与AB边相切，如图：
∵PD⊥AB，
∴CP=CD-PD=-6=；
当⊙P与AC边相切，如图：
过点P作PF⊥AC，垂足为F，
∵PF⊥AC，
∴∠PFC=90°，
∴∠CPF+∠PCF=90°，
∵CD⊥AB，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠PCF+∠A=90°，
∴∠A=∠CPF，
∵∠CFP=∠ACB=90°，
∴△BCA∽△CFP，
∴，
∴，
∴PC=，
∵＞，
∴PC=（舍去），
综上所述，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．分三种情况讨论是解题的关键．
24．如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为__________米（保留根号）．
【答案】
【分析】如图，设AD⊥BC，垂足为D，根据题意AD=CD，BD=ADtan60°，根据BC=DB+DC计算即可．
【详解】解：如图，设AD⊥BC，垂足为D，
∵∠DAC=45°，
∴∠ACD=45°，
∴AD=CD=30，
∵∠BAD=60°，
∴BD=ADtan60°=30，
∴BC=DB+DC=30+30=米．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、特殊角的三角函数值等知识点，正确选择三角函数和特殊角的三角函数值是解题的关键．
25．数学课外活动中，小明探究在Rt△ABC中尺规作图，步骤如下：
①分别以斜边的端点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点E、F，
②作直线EF，交BC于点D．连接AD．
(1)直线EF是线段AB的（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高线 D．垂直平分线
(2)若AD是∠BAC的角平分线，求的值．
【答案】(1)D
(2)
【分析】（1）根据作图步骤即可的答案；
（2）由角平分线和垂直平分线的性质可求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，再根据特殊角的正弦值求解即可．
【详解】（1）由作图步骤可知，直线EF是线段AB的垂直平分线，
故选：D；
（2）直线EF是线段AB的垂直平分线，
，
，
AD是∠BAC的角平分线，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作图，角平分线和垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余及特殊角的正弦值，熟练掌握知识点是解题的关键．
26．在中，是边上的高，，求的度数．
【答案】的度数为或．
【分析】分是锐角和是钝角两种情况进行讨论，利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：当是锐角时，如图（1），
∵是高，
∴；
当是钝角时，如图（2），
∴，
则．
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，正确分两种情况进行讨论是关键．
27．如图，在△ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E．求∠AEC的度数．
【答案】66°
【分析】利用外角的性质可得∠CAD+∠FCA=∠B+∠BCA+∠B+∠BAC，再利用三角形内角和可求得其和，再结合角平分线的性质可求得∠EAC+∠ECA，在△ACE中利用三角形内角和可求得∠AEC．
【详解】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠CAE+∠ACE=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）
=（∠BAC+∠B+∠ACB+∠B）
=（180°+48°）
=114 °
在△ACE中，∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-114°
=66°
【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，由条件求得∠CAD+∠FCA的度数是解题的关键．
28． 等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为和两部分，求此三角形的腰和底边的长．
【答案】腰和底边长分别为8cm，11cm或10cm，7cm
【分析】根据等腰三角形的性质，可设腰长是x，底边长是y，然后根据已知条件得出方程，求出腰长和底长，再根据三角形的三边关系验证是否构成三角形，最后得出结论．
【详解】解：设腰长为，分两种情况：
.①腰长与腰长的一半是时，，解得，
所以，底边，所以，，能组成三角形；
②腰长与腰长的一半是时，，解得，
所以，底边，
所以，三角形的三边为，，能组成三角形，
综上所述，此三角形的腰和底边的长分别为，或，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；此题由于没有明确哪部分的长是15和6，所以一定要分情况进行讨论．最后还要注意看是否符合三角形的三边关系．
29．课本矩形一节，根据矩形的的性质得到了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中为直角，AD为斜边BC上的中线，．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使，连结BE，再证，从而就可以证明得到；
(1)小聪同学还想借助图②，在任意的中，为直角，AD为斜边BC上的中线，证明结论，请你帮助小聪同学完成；
(2)如图③，在中，垂足为D，如果，，，求的中线AE的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连接BE，先证明△ACD≌△EBD，得到∠C=∠EBD，从而可证明∠BAC=∠ABE，然后证明△ABC≌△BAE，从而得到AE=BC，故此BC=AE=2AD，即可得证；
（2）根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，根据结论可知ABC的中线AE的长度等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）证明：如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连接BE．
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD．
∴∠C=∠EBD
∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE．
在△ABC和△BAE中，
，
∴△ABC≌△BAE．
∴AE=BC．
∴BC=AE=2AD
∴AD＝BC．
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°．
∵CD=1，AD=2，BD=4，
∴根据勾股定理得：
，
，
∴△ABC是直角三角形．
∴AE =
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，根据△ACD≌△EBD、△ABC≌△BAE是解题的关键．
30．如图，D是线段BE的中点，，
(1)请类比小红的表达方法，在图中找出一对全等三角形（要求与小红所找的不同），并说明理由；
小红：，理由是：
在△BCD和△EFD中
∵D是线段BE的中点，∴
又∵，
∴（AAS）
(2)连接CF，判断CF与BE有怎样的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)（答案不唯一），理由见解析
(2)；理由见解析
【分析】（1），理由是：根据可得，再根据定理即可证出；
（2）先根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据对顶角相等、三角形的内角和定理可得，最后根据平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
在和中，，
．
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
31．如图，已知OA＝OD，AE＝DF．求证：
(1)OB=OC；
(2)ABCD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，利用两直线平行得到两对内错角相等，再由OE＝OF，利用AAS得到△OBE≌△OCF，利用全等三角形对应边相等得到OC=OB；
（2）证明△ABO≌△DCO（SAS）得出∠3＝∠4，，利用内错角相等两直线平行即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠E＝∠F，
∵OA＝OD，AE＝DF，
∴OE＝OF，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（ASA），
∴OB＝OC，
（2）在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴∠3＝∠4，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
32．已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2＋FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．
【答案】见解析
【分析】延长FD到G使DG＝DF，连接BG，EG，先证明△BDG≌△CDF（SAS）得BG＝FC，∠GBD＝∠C，从而有，DG＝DF，又由勾股定理的逆定理得，再利用平行线的性质即可证明结论成立．
【详解】证明：如图，延长FD到G使DG＝DF，连接BG，EG，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵在△BDG和△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝FC，∠GBD＝∠C，
∴，DG＝DF，
∵ED⊥DF，
∴EG＝EF，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质、三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
33．如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：
(1)线段BC的长；
(2)若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．
【答案】(1)5
(2)10a
【分析】（1）分析题意，易证得△ADE≌△ADC，则有CD＝DE，而BC＝BD＋DC可求BC的长；
（2）根据题意画出图形，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中
∵，
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC，
∴BC＝BD＋DC＝BD＋DE＝2＋3＝5（cm）；
（2）解：如图，∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是a，
∴S△ABC＝S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝×6a＋×9a＋×5a＝3a＋a＋a＝10a．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
34．如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，，BF与EC相交于点M．求证：．
【答案】见解析
【分析】由AB=CD，得AC=BD，再利用SAS证明△AEC≌△DFB，即可得结论．
【详解】证明：，
，
．
在和中，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
35．如图1，，，，BD、CE相交于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，当时，取CE、BD的中点分别为点M、N，连接AM、AN、MN，求证：；
(3)在（2）问的条件下直接写出AM和MN的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)AM=MN
【分析】（1）由SAS可证△ABD≌△ACE，即可解决问题；
（2）先证明△ACE≌△ABD，得到CE=BD，∠AEC=∠ADB，再证明△AEM≌△AND，即可解决问题；
（3）由△AEM≌△AND，∠MAE=∠NAD，由∠MAE+∠EAN=∠NAD+∠EAN，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：∵∠CAB=∠DAE，
∴∠DAB=∠EAC，
又∵AC=AB，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：∵∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠EAC=∠DAB，
又∵AC=AB，AD=AE，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE=BD，∠AEC=∠ADB，
∵CE、BD的中点分别为点M、N，
∴EM=CE，DN=BD，
∴EM=DN，
又∵∠AEC=∠ADB，AE=AD，
∴△AEM≌△AND（SAS），
∴AM=DN．
（3）解：AM=MN，理由如下：
由（2）知△AEM≌△AND，
∴∠MAE=∠NAD，
∴∠MAE+∠EAN=∠NAD+∠EAN=∠DAE=90°，
∴∠MAN=90°，
∴MA⊥NA，
∵AM=AN，
∴△MAN是等腰直角三角形，
∴AM=MN．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，解题的关键是证明△ACE≌△ABD．
36．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为．
(1)当移动几秒时，的面积为？
(2)当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？
【答案】(1)3秒
(2)3秒或秒
【分析】（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】（1）解：运动时间为t秒时（0≤t≤6），PB＝6 t，BQ＝2t，
由题意得：＝PB·BQ＝（6 t）·2t＝＝9，
解得：，
答：当移动3秒时，△BPQ的面积为9cm2；
（2）分两种情况：
①当△BPQ∽△BAC时，
则，即，
解得：，
②当△BPQ∽△BCA时，
则，即，
解得：，
综上，当移动3秒或秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式是解答此题的关键．
37．如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（-2，0）．
(1)求直线AP和双曲线的表达式；
(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）把点A（-2，0）代入，求出的值，求出一次函数解析式，在求出点P坐标，代入反比例函数解析式，即可得到答案；
（2）作轴，设Q（m，n），根据相似三角形的性质，通过列方程并求解，即可得到答案；
【详解】（1）解：把A（-2，0）代入中，求得，
，
由PC=2，把y=2代入中，得，
即P（2，2），
把P（2，2）代入y=得k=4，
双曲线表达式为；
（2）如图，作轴，
，
设Q（m，n），
∵Q（m，n）在y=上，
∴n=.
当△QCH∽△BAO时，可得，
即，
∴，
即，
整理得，
解得或（舍去），
，
当△QCH∽△ABO时，可得，
即，
整理得，
，
解得或（舍去），
∴Q，
综上，或．
【点睛】本题考查了一次函数、双曲线、三角函数、分式方程、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握双曲线、三角函数、相似三角形的性质，从而完成求解．
38．如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西的C处之后，货轮继续往东航行．通过计算，你认为货轮继续向东航行的途中会有触礁的危险吗？（已知，，）．
【答案】货轮继续向东航行的途中没有触礁的危险，理由见解析
【分析】如图，过点A作的延长线于点D，只需要解直角三角形求出AD的长，然后与10海里进行比较即可得到答案．
【详解】
解：如图，过点A作的延长线于点D，
根据题意可知，海里，设，则：在中，
，
．
在中，
，
，
，
即，
（海里）（海里）．
答：货轮继续向东航行的途中没有触礁的危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于能够根据题意解直角三角形求出AD的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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