4.3 用乘法公式分解因式
第1课时 用平方差公式分解因式
一、选择题
1．【2022·杭州西湖区期末】下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2 B．a2＋b2 C．－a2－b2 D．－a2＋b2
2．分解因式：1－4y2 ＝( )
A．(1－2y)(1＋2y) B．(2－y)(2＋y) C．(1－2y)(2＋y) D．(2－y)(1＋2y)
3．下列因式分解正确的是( )
A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2)
4．分解因式(x－1)2－9的结果是( )
A．(x＋8)(x＋1) B．(x＋2)(x－4) C．(x－2)(x＋4) D．(x－10)(x＋8)
5．分解因式： x3－4x＝ ( )
A．x(x2－4x) B．x(x＋4)(x－4) C．x(x＋2)(x－2) D．x(x2－4)
6．若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k等于( )
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
7．在实数范围内分解因式x4－49的结果为( )
A．(x2＋7)(x2－7) B．(x2＋7) (x＋) (x－)
C．(x2＋7) 2 (x－) D．(x2－7)2
8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌
9．将x4－1分解因式的结果是( )
A．(x2＋1)(x2－1) B．(x＋1)2(x－1)2
C．(x－1)(x＋1)(x2＋1) D．(x－1)(x＋1)
10．n是整数，式子[1－(－1)n](n2－1)的计算结果( )
A．是0 B．总是奇数 C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
二、填空题
11．分解因式：1－x2＝____________．
12．分解因式：ax2－ay2＝_____________．
13．已知|x－y＋2|＋＝0，则x2－y2的值为________．
14．已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为________．
三、解答题
15．把下列各式分解因式：
(1)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；
(2)x4－81y4；
(3)a4－9a2b2；
(4)m2x4－16m2y4；
(5)2x4－；
(6)(x－1)2＋2(x－5)．
16．利用因式分解进行简便计算：
(1)8×7582－2582×8．
(2)
17．若n是非零的自然数，则(2n＋1)2－1能否被8整除？请说明理由．
18．(1)已知4m＋n＝40，2m－3n＝5，求(m＋2n)2－(3m－n)2的值．
(2)若(x＋y－3)2＋(x－y＋5)2＝0，求x2－y2的值．
(3)已知|m＋4|与n2－2n＋1互为相反数，把多项式(x2＋4y2)－(mxy＋n)因式分解．
19．【2022·金华婺城区期末】在当今“互联网”的时代，密码与我们的生活已经紧密联系在一起，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：先将一个多项式分解因式，再计算各因式所得的值，最后将各因式的值进行组合．如：将多项式x(x2－9)＋2(x2－9)因式分解的结果为(x＋2)(x＋3)(x－3)．当x＝15时，x＋2＝17，x＋3＝18，x－3＝12，此时，可获得密码171812或171218或181712等．根据上述方法，解答以下问题．
(1)对于因式分解结果为(x＋2)(x－1)的多项式，当x＝21时，用“因式分解”法获得的密码为____________．
(2)当x＝20，y＝2时，对于多项式x3－xy2，用“因式分解”法可以产生哪些数字密码(求出四个即可)
(3)已知多项式x3＋ax2＋bx＋3因式分解成三个一次式，当x＝23时，用“因式分解” 法可以得到密码202224，求a，b的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
一、选择题
1．【2022·杭州西湖区期末】下列多项式能用平方差公式分解因式的是( D )
A．a2＋(－b)2 B．a2＋b2 C．－a2－b2 D．－a2＋b2
2．分解因式：1－4y2 ＝( A )
A．(1－2y)(1＋2y) B．(2－y)(2＋y) C．(1－2y)(2＋y) D．(2－y)(1＋2y)
3．下列因式分解正确的是( D )
A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2)
4．分解因式(x－1)2－9的结果是( B )
A．(x＋8)(x＋1) B．(x＋2)(x－4) C．(x－2)(x＋4) D．(x－10)(x＋8)
5．分解因式： x3－4x＝ ( C )
A．x(x2－4x) B．x(x＋4)(x－4) C．x(x＋2)(x－2) D．x(x2－4)
6．若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k等于( A )
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
7．在实数范围内分解因式x4－49的结果为( B )
A．(x2＋7)(x2－7) B．(x2＋7) (x＋) (x－)
C．(x2＋7) 2 (x－) D．(x2－7)2
8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( C )
A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌
【解析】∵(x2－y2)a2－(x2－y2)b2＝(x2－y2)(a2－b2)＝(x－y)(x＋y)(a－b)(a＋b)，∵x－y，x＋y，a＋b，a－b四个式子分别对应爱、我、宜、昌，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故选C.
9．将x4－1分解因式的结果是( C )
A．(x2＋1)(x2－1) B．(x＋1)2(x－1)2
C．(x－1)(x＋1)(x2＋1) D．(x－1)(x＋1)
10．n是整数，式子[1－(－1)n](n2－1)的计算结果( C )
A．是0 B．总是奇数 C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
【解析】当n是偶数时，[1－(－1)n](n2－1)＝[1－1](n2－1)＝0；当n是奇数时，[1－(－1)n](n2－1)＝×(1＋1)(n＋1)(n－1)＝，
设n＝2k－1(k为整数)，则＝＝k(k－1)．
∵0和k(k－1)(k为整数)都是偶数，∴选C.
二、填空题
11．分解因式：1－x2＝____________．
【答案】(1－x)(1＋x)
12．分解因式：ax2－ay2＝_____________．
【答案】a(x＋y)(x－y)
13．已知|x－y＋2|＋＝0，则x2－y2的值为________．
【解析】由|x－y＋2|＋＝0，根据非负数的性质，可求得x－y＝－2与x＋y＝2，继而由x2－y2＝(x－y)(x＋y)求得答案．
【答案】－4
14．已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为________．
【解析】a2－b2＋2b＋9＝(a＋b)·(a－b)＋2b＋9＝a－b＋2b＋9＝a＋b＋9＝1＋9＝10.
【答案】10
三、解答题
15．把下列各式分解因式：
(1)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；
解：＝[(3a－2b)＋(2a＋3b)][(3a－2b)－(2a＋3b)]
＝(3a－2b＋2a＋3b)(3a－2b－2a－3b)
＝(5a＋b)(a－5b)．
(2)x4－81y4；
解：＝(x2＋9y2)(x2－9y2)
＝(x2＋9y2)(x＋3y)(x－3y)．
(3)a4－9a2b2；
＝a2(a2－9b2)
＝a2(a＋3b)(a－3b)．
(4)m2x4－16m2y4；
解：＝m2(x4－16y4)
＝m2(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝m2(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
(5)2x4－；
解：＝2
＝2
＝2.
(6)(x－1)2＋2(x－5)．
解：(x－1)2＋2(x－5)
＝x2－2x＋1＋2x－10
＝x2－9＝(x＋3)(x－3)．
16．利用因式分解进行简便计算：
(1)8×7582－2582×8．
解：原式＝8×(7582－2582)＝8×(758－258)×(758＋258)＝8×500×1 016＝4 064 000.
(2)
解：原式＝＝＝.
17．若n是非零的自然数，则(2n＋1)2－1能否被8整除？请说明理由．
解：能．
理由：(2n＋1)2－1＝(2n＋1＋1)·(2n＋1－1)＝
2n(2n＋2)＝4n(n＋1)，∵n是非零的自然数，
∴n(n＋1)是两个连续自然数的乘积，是偶数，
∴4n(n＋1)一定能被8整除，即(2n＋1)2－1能被8整除．
18．(1)已知4m＋n＝40，2m－3n＝5，求(m＋2n)2－(3m－n)2的值．
解：(m＋2n)2－(3m－n)2
＝(m＋2n＋3m－n)(m＋2n－3m＋n)
＝(4m＋n)(3n－2m)＝－(4m＋n)(2m－3n)，
当4m＋n＝40，2m－3n＝5时，
原式＝－40×5＝－200.
(2)若(x＋y－3)2＋(x－y＋5)2＝0，求x2－y2的值．
解：∵(x＋y－3)2＋(x－y＋5)2＝0，
∴x＋y－3＝0，x－y＋5＝0，
∴x＋y＝3，x－y＝－5，
∴x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－15.
(3)已知|m＋4|与n2－2n＋1互为相反数，把多项式(x2＋4y2)－(mxy＋n)因式分解．
解：由题意可得|m＋4|＋(n－1)2＝0，
∴解得
∴(x2＋4y2)－(mxy＋n)
＝x2＋4y2＋4xy－1
＝(x＋2y)2－1＝(x＋2y＋1)(x＋2y－1)．
19．【2022·金华婺城区期末】在当今“互联网”的时代，密码与我们的生活已经紧密联系在一起，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：先将一个多项式分解因式，再计算各因式所得的值，最后将各因式的值进行组合．如：将多项式x(x2－9)＋2(x2－9)因式分解的结果为(x＋2)(x＋3)(x－3)．当x＝15时，x＋2＝17，x＋3＝18，x－3＝12，此时，可获得密码171812或171218或181712等．根据上述方法，解答以下问题．
(1)对于因式分解结果为(x＋2)(x－1)的多项式，当x＝21时，用“因式分解”法获得的密码为____________．
【答案】2320或2023
(2)当x＝20，y＝2时，对于多项式x3－xy2，用“因式分解”法可以产生哪些数字密码(求出四个即可)
解：x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)·(x－y)．
当x＝20，y＝2时，x＋y＝22，x－y＝18.
∴密码为202218或201822或222018或221820或182022或182220.(写出4个即可)
(3)已知多项式x3＋ax2＋bx＋3因式分解成三个一次式，当x＝23时，用“因式分解” 法可以得到密码202224，求a，b的值．
解：∵当x＝23时，密码为202224.∴多项式x3＋ax2＋bx＋3因式分解成的三个一次式分别为x－3，x－1，x＋1.∴x3＋ax2＋bx＋3＝(x－3)(x＋1)(x－1)．
∵(x－3)(x＋1)(x－1)＝x3－3x2－x＋3，∴x3＋ax2＋bx＋3＝x3－3x2－x＋3.∴a＝－3，b＝－1.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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