广东省部分学校2023届高三下学期3月高考模拟考试（一模）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，，则集合B中所有元素之和为( )
A.0 B.1 C.-1 D.
2、已知i为虚数单位，复数z满足，则( )
A. B. C. D.
3、命题“，”的否定为( )
A.， B.，
C.， D.，
4、已知多项式，则( )
A.-960 B.960 C.-480 D.480
5、设非零向量，满足，，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6、衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为( )
A. B. C. D.
7、已知等差数列()的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为( )
A.9 B.10 C.17 D.18
8、我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列()的通项公式为，，记为的值域，为所有的并集，则E为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知函数，则下列说法正确的是( )
A.的值域为
B.的图像关于点中心对称
C.的最小正周期为
D.的增区间为()
10、已知曲线C：()，则下列说法正确的是( )
A.若曲线C表示两条平行线，则
B.若曲线C表示双曲线，则
C.若，则曲线C表示椭圆
D.若，则曲线C表示焦点在x轴的椭圆
11、已知函数，则下列说法正确的是( )
A.的图像是轴对称图形 B.的极大值为0
C.的所有极值点之和为 D.的极小值之积为
12、勒洛FranzReuleaux(1829～1905)，德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是( )
A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
B.勒洛四面体被平面截得的截面面积是
C.勒洛四面体表面上交线的长度为
D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2
三、填空题
13、已知，，则的值为___________.
14、椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.
15、已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为___________.
16、已知，，是方程()的两根，且，则的最大值是________.
四、解答题
17、已知数列()满足，，且.
(1)求数列是通项公式；
(2)求数列的前n项和.
18、在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，依次组成等差数列.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
19、某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.
x 1 2 3 4 5 6
y 0.5 1 1.5 3 6 12
-0.7 0 0.4 1.1 1.8 2.5
(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；(注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数)
(2)根据下表中数据，用相关指数(不必计算，只比较大小)比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？
18.29 0.65
参考公式及数据：，，
，
，.
20、如图，在四棱锥中，底面是菱形，O是的中点，点E在上，且平面.
(1)求的值；
(2)若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值.
21、已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形(O为原点)的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.
22、已知函数，其中.
(1)若的图像在处的切线过点，求a的值；
(2)证明：，，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；
(3)当时，求证：有3个零点，且3个零点之积为定值.
参考答案
1、答案：C
解析：根据条件分别令，0，1，解得，，，
又，所以，，
，
所以集合B中所有元素之和是-1，
故选：C.
2、答案：B
解析：
3、答案：D
解析：
4、答案：A
解析：因为，所以第8项为，
所以.
故选：A.
5、答案：B
解析：
6、答案：D
解析：从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B.
事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，又，则，即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为.
故选：D.
7、答案：C
解析：因为，所以，异号，
因为，所以，，
又有，所以，即，
因为，，
所以的最大整数n为17.
故选：C.
8、答案：C
解析：
9、答案：AD
解析：对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，但，因此的图象不可能关于点成中心对称，故B错误；
对于C，因为的最小正周期是，所以的最小正周期是，故C错误；
对于D，由得，，，
时，，可得时，单调递增，
当时，单调递减，
又的最小正周期是，
所以的增区间是，故D正确.
故选：AD.
10、答案：BD
解析：对于A选项，若曲线C表示两条平行线，则有或，且.
若，则，此时曲线C的方程为，可得或，合乎题意，
若，则，此时曲线C的方程为，可得或，合乎题意，故A错；
对于B选项，若曲线C表示双曲线，则，由于且，则，可得，则，B对；
对于C选项，若曲线C表示椭圆，则，解得且，C错；
对于D选项，若，则，则，
曲线C的方程可化为，
此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，D对.
故选：BD.
11、答案：BCD
解析：
12、答案：ABD
解析：A选项，先求解出正四面体ABCD的外接球，如图所示：
取CD的中点G，连接BG，AG，过点A作于点F，则F为等边的中心，
外接球球心为O，连接OB，则OA，OB为外接球半径，设，
由正四面体的棱长为2，则，，
，，
，，
由勾股定理得：，即，
解得：，
此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：
图中取正四面体ABCD中心为O，连接BO交平面ACD于点E，交于点F，其中与共面，其中BO即为正四面体外接球半径.
设勒洛四面体内切球半径为r，则，故A正确；
B选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：
面积为，B正确；
C选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC所在圆的圆心为BD的中点M，
故，又，
由余弦定理得：，
故，且半径为，故交线AC的长度等于，C错误；
D选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：
连接GH，交AB于中点S，交CD于中点T，连接AT.则，则由C选项的分析知：，
所以.
故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D正确.
故选：ABD.
13、答案：
解析：因为，所以，
又，所以，
所以或(舍去)，
所以.
14、答案：
解析：
15、答案：
解析：由已知得，，向量在向量的投影为，
所以坐标原点O到直线l的距离为.
16、答案：
解析：
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)，.
又，，
，
又，
数列是以1为首项，3为公比的等比数列.
.
(2)，
方法一：，
，
，
，
.
方法二：令.
比较系数得：，，
，
.
18、答案：(1)
(2)
解析：(1)由条件得：
，
所以，
由正弦定理得：，所以.
(2)由及知：为锐角三角形，当且仅当，
即，解得：，
又，所以.
又，
令，则，
，
所以在上递增，又，，
所以的取值范围是.
19、答案：(1)方案①回归方程；方案②回归方程
(2)30千件
解析：(1)，，
，
，
，
，
方案①回归方程.
对两边取对数得：，
令，是一元线性回归方程.
，
，
，
方案②回归方程.
(2)方案①相关指数，
方案②相关指数，
，
故模型②的拟合效果更好，精度更高.
当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量(千件).
20、答案：(1)
(2)
解析：(1)连接与交于点F，
因为底面是菱形，O是的中点，
所以，且，所以.
因为平面，平面，
平面平面，所以，
所以.
(2)因为底面是菱形，O是的中点，，所以.
因为平面，平面，平面，
所以，，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
设，，则，
所以.
因为，所以，解得.
所以，，.
设为平面的法向量，
则，，得
取，所以为平面的一个法向量.
因为.
所以直线与平面所成角的正弦值是.
21、答案：(1)轨迹C方程为()
(2)
解析：(1)设动点，
由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.
，，
动点在右侧，代入有，同理有，
，即，
所以所求轨迹C方程为().
(2)如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，
，，在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
斜率或，或，得或.
.
，解得或(舍去).
时，直线的方程为，
联立，消y得：，或，得.
直线的方程为，
联立，消y得：，
或，得，
.
点Q到直线的距离，
.
方法二：，
，，，
.
22、答案：(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)由条件得：，.
又，在处的切线为：，
，.
(2)证明：，
令，，则，
令，，
在递减，
，在递减，
，即，，
(3)的定义域为：，，
时，令得：，，
时，；时，；时，，
在，上单调递增，在递减，
至多有三个零点.
又，在递减，
，又由(2)知，所以，结合零点存在定理知：
，使得，
又，，
，又，，
恰有三个零点：，1，，
时，的所有零点之积为(定值).
