2023届高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量
一、选择题（共20小题；）
1. 若随机变量 的概率分布如下表所示，则表中 的值为
A. B. C. D.
2. 已知某项试验的成功率是失败率的 倍，用随机变量 描述 次试验成功的次数，则 等于
A. B. C. D.
3. 若随机变量 ，且 ，则 的值是
A. B. C. D.
4. 甲射击时命中目标的概率为 ，乙射击时命中目标的概率为 ，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为
A. B. C. D.
5. 在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是 ，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是
A. B. C. D.
6. 一个盒子里装有相同大小的 个黑球， 个红球， 个白球，从中任取 个，其中白球的个数记为 ，则下列概率等于 的是
A. B.
C. D.
7. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为 ，现有 颗子弹，命中后的剩余子弹数目 的期望为
A. B. C. D.
8. 在 次独立重复试验中，随机事件 恰好发生 次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件 在一次试验中发生的概率 的取值范围是
A. B. C. D.
9. 设随机变量 的分布列为 ，，则实数 的值为
A. B. C. D.
10. 一袋中有 个白球， 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 次时停止，设停止时共取了 次球，则 等于
A. B. C. D.
11. 已知随机变量 ， 满足 ，若 ，，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
12. 在一组样本数据中，，，， 出现的频率分别为 ，，，，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
13. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为 ，现有 颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目 的均值为
A. B. C. D.
14. 某群体中每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体 位成员中使用移动支付的人数，，，则
A. B. C. D.
15. 现有语文、数学课本共 本（其中语文课本不少于 本），从中任取 本，至多有 本语文课本的概率是 ，则语文课本的本数为
A. 本 B. 本 C. 本 D. 本
16. 某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验 次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为 ，则此人试验次数 的数学期望是
A. B. C. D.
17. 函数 的图象如图所示，在区间 上可找到 （ 且 ）个不同的数 ，，，，使得 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
18. 已知 ，， 为实数，随机变量 ， 的分布列如下：
若 ，随机变量 满足 ，其中随机变量 ， 相互独立，则 的取值范围是
A. B. C. D.
19. 在下列各函数中，最小值等于 的函数是
A. B.
C. D.
20. 某地一条主于道上有 盏路灯，相邻两盏路灯之间间隔 米，有关部门想在所有相邻路灯间都新添一盏，假设工人每次在两盏灯之间添新路灯是随机，并且每次添新路灯相互独立．新添路灯与左右相邻路灯的间隔都不小于 米是符合要求的，记符合要求的新添路灯数量为 ，则
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；）
21. 设离散型随机变量 的分布列为
若离散型随机变量 满足 ，则 ； ．
22. 设 次独立重复试验中，事件 发生的概率相等，若已知 至少发生一次的概率等于 ，则事件 在一次试验中发生的概率是 ．
23. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 分，罚不中得 分．已知某运动员罚球命中的概率为 ，则他连续罚球 次，得到的分数 的期望为 ．
24. 设离散型随机变量 的可能取值为 ，，，，，又 的数学期望 ，则 ．
25. 一个盒子里有 个红 个绿 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为 ，则 ； ．
三、解答题（共5小题；）
26. 某科研团队硏发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了 位患者和 位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：
（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；
（2）从该地区患者中随机选取 人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求 的分布列和数学期望；
（3）假设该地区有 万人，患病率为 ．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过 并说明理由
27. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 位顾客的相关数据，如表所示．
已知这 位顾客中一次购物量超过 件的顾客占 ．
（1）确定 ， 的值，并求顾客一次购物的结算时间 的分布列与数学期望．
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 分钟的概率（注：将频率视为概率）．
28. ， 两组各有 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：，，，，，，
组：，，，，，，
假设所有病人的康复时间互相独立，从 ， 两组随几各选 人， 组选出的人记为甲， 组选出的人记为乙．
（1）求甲的康复时间不少于 天的概率．
（2）如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
（3）当 为何值时，， 两组病人康复时间的方差相等 （结论不要求证明）
29. 已知某种动物服用某种特药一次后当天出现A症状的概率为 ．为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关．
（1）如果出现A症状即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；
（2）如果在一个用药周期内出现 次或 次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为 ，求 的期望．
30. 从甲地到乙地要经过 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ，，．
（1）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（2）若有 辆车独立地从甲地到乙地，求这 辆车共遇到 个红灯的概率．
答案
1. D
2. C 【解析】“”表示试验失败，“”表示试验成功．设失败率为 ，则成功率为 ，则 ，得 ．
3. C 【解析】利用二项分布期望公式求得 ，利用独立重复试验概率公式： 可求．
4. C 【解析】所求概率 ．
5. B
【解析】根据每次比赛中，运动员甲胜运动员乙的概率是 ，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是
6. B 【解析】本题相当于至多取出 个白球的概率，即取到 个白球或没有取到白球的概率．
7. C 【解析】由题意知 ，
因为当 时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，
所以 ，
因为当 时，表示前两次都没射中，第三次射中，
所以 ，
因为当 时，表示第一次没射中，第二次射中，
所以 ，
因为当 时，表示第一次射中，
所以 ，
所以 ．
8. A 【解析】设事件 发生的概率为 ，则 ，解得 ．
9. D 【解析】因为随机变量 的分布列为 ，，
所以 ，解得 ．
10. D
【解析】“”表示第 次取到红球，前 次有 次取到红球， 次取到白球，
因此 ．
11. A 【解析】因为 ，所以 ，，
又 ，，所以 ，．
12. B 【解析】，所以
同理选项B：，；
选项C：，；
选项D：，．
13. C
14. B 【解析】某群体中每位成员使用移动支付的概率都为 ，可看做是独立重复事件，该群体 位成员的支付情况满足 ，
其中
解得 ，且 ，故 ．
15. C
【解析】设语文课本有 本，任取 本书中的语文课本数为 ，
则 服从参数为 ，， 的超几何分布，
其中 的所有可能取值为 ，，，
且 ．
由题意，得
所以 ，
解得 或 ．
即 本书中语文课本有 本．
16. B 【解析】试验次数 的可能取值为 ，，，
，，．
所以 的分布列为
所以 ．
17. B 【解析】设 ，则 的图象与直线 的交点的坐标满足题中等式．由题图易知交点可以有 个， 个， 个， 个或 个，又 且 ，故 的取值可以是 ，，．
18. B 【解析】由已知得，，，
所以 ，即 ，
又 ，故 ，
所以 ，
随机变量 的可能取值为 ，，，
，
，
，
可得随机变量 的分布列为
所以 ．
19. D 【解析】对于选项A：当 时，A显然不满足条件；
选项B：，当 时取等号，
当 时，，B显然不满足条件；
对于C：不能保证 ，故错；
对于D：因为 ，所以 ，
故只有D满足条件．
20. C
【解析】因为工人每次在两盏灯之间添新路灯是随机，并且每次添新路灯相互独立，
所以符合要求的新添路灯数量为 服从二项分布，
因为相邻两盏路灯之间间隔 米，且新添路灯与左右相邻路灯的间隔都不小于 米是符合要求的，
所以每次添路灯符合要求的概率 ，
由题可知要添路灯 盏路灯，则 ，
所以 ．
21. ，
22.
23.
24.
25. ，
【解析】因为 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以 ．
随机变量 ，
，
，
所以 ．
26. （1） 由题意知， 位患者中有 位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．
所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率佔计为 ．
（2） 由题意可知 ，其中 ，．
的所有可能的取值为 ，，，．
，
，
，
．
所以 的分布列为
故 的数学期望 ．
（3） 此人患该疾病的概率未超过 ，理由如下：
由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为 ，其中患者人数为 ．
若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 ，
所以此人患该疾病的概率未超过 ．
27. （1） 由已知得 ，，所以 ，．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 的简单随机样本，将频率视为概率得 ，，，，．
的分布列如表所示．
的数学期望为 ．
（2） 记 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 分钟”， 为该顾客前面第 位顾客的结算时间，则
由于各顾客的结算相互独立，且 ， 的分布列都与 的分布列相同，所以
故该顾客结算前的等候时间不超过 分钟的概率为 ．
28. （1） 设“甲康复的时间不少于 天”为事件 ．
由“从 ， 两组随机地各选 人”，可认为基本事件数为 ，其中满足“甲康复的时间不少于 天”的基本事件数为 ，所以 ．
（2） 设事件 为“甲是 组第 个人”，事件 为“乙是 组第 个人”，．
由题知，当甲是从 组中康复时间为 ， 两人中选或乙是从 组中康复时间为 ， 两人中选时，必不满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”．故甲是从 组中康复时间为 ，，，， 五人中选取，且乙是从 组中康复时间为 ，，，， 五人中选取，
可认为基本事件数为 ，其中满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”的基本事件数为 ．
设事件 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，因此 .
（3） 或 ；
29. （1） 方法一：设持续 天为事件 ，，
用药持续最多一个周期为事件 ，
所以 ，，，，
则 ．
方法二：设用药持续最多一个周期为事件 ，则 为用药超过一个周期，
所以 ，
所以 ．
（2） 因为随机变量 可取 ，，
所以 ，，
所以 ．
30. （1） 随机变量 的所有可能取值为 ，，，；
则 ，
；
所以，随机变量 的分布列为
随机变量 的数学期望为 ．
（2） 设 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
所以，这 辆车共遇到 个红灯的概率为 ．
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