鹰潭市 2023 届高三第一次模拟考试数学试题(文科)
参考答案
一．选择题：1-4 DCCC 5-8 BADD 9-12 DCDC
1
二．填空题：13．13 23 33 103 552 14． 2
10
15． 16. 8
15
三．解答题：
17．解：（1）当 n 2时，由 2Sn n 1 an 可得 2Sn 1 nan 1，... ............................................1
分
上述两个等式作差可得
2an n 1 an nan 1，...........................................................................2 分
所以， n 1 an nan 1，则
an n ，...................................................................................3 分
an 1 n 1
所以，
a a a2 a3 an 1 2 3 nn 1 n ，.......................................................a1 a2 an 1 1 2 n 1
....5 分.
a1 1也满足 an n，故对任意的 n N ，
an n ......................................................................6 分
1
,n为奇数
（2）解：对于任意的正整数n， cn n n 2 ，
n
2 ,n为偶数
所以，
T 12n 2
2 1 24 1 22n
...................................................1 3 3 5 2n 1 2n 1
........7 分
1 1
1
22 24 22 n .............................................
1 3 3 5 2 n 1 2 n 1
..................8 分
n
1 1 1 1 1 1 1
4 1 4
......................................................2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 4
.....................10 分
n 4n 1 4
..........................................................................................
2n 1 3
....................................12 分
y a b x18．解：（1）因为 ，所以两边同时取常用对数，得 ln y ln a x ln b，.......................2 分
设 v lny，所以v ln a x lnb，设
ln a, ln b ，.................................................3 分
5
xivi 5x v
x 3,v 1.94 i 1 33.82 5 3 1.94因为 ，所以 5 0.472, ..................5 分
x2 2 55 5 3
2
i 5x
i 1
v x 1.94 0.472 3 0.524 ，............................................................
...........6 分
所以 ln a 0.524, ln b 0.472
所以
a e0.524 1.7,b e0.472 1.6 .............................................................................
7 分
所以
y 1.7 1.6 x ................................................................................................
........8 分
（2）由题意知 2023 年与 2024 年这两年的年平均增长率1.6 1.3 0.3，.......................10 分
2022 年中国车载音乐市场规模为 17，
2
故预测 2024 年的中国车载音乐市场规模17 1 0.3 28.73（十亿元）............12 分
19．解:（1） AA1 平面 ABC， BD 平面 ABC，故 AA1 BD，................................1 分
ABC 是等边三角形，D是 AC 中点，故 BD AC ，...........................2 分
AC AA1 A ， AC, AA1 面 A1ACC1 ，故 BD 平面 A1ACC1 ................3 分
（2）如图所示： F 是 AB 中点，连接DF ， A1F ，则DF / /BC ， BC // B1C1，故DF / /B1C1 ......4 分
异面直线 B1C1 与 A1D所成角为
A1DF ，..............................................................................5 分
在 A1DF
1
中，DF BC 1， AD 22 12 5 ， A F 22 12 5 ，.................62 1 1
分
cos ADF 5 1 5 5根据余弦定理： 1 ，2 1 5 10
故异面直线 B1C1 与 A1D所成角的余弦值为
5
....................................................................7 分
10
（3）过点D作DH AB于H ， AA1 平面 ABC，HD 平面 ABC，故HD AA1，................8 分
AA1 AB A ， AA1, AB 面 ABB1A1，故HD 平面 ABB1A1，
HD 1 3 3 .
2 2
V 1 S 1 3 3 HD 2 ，......................................................D A1B1B 3 △A1B1B 3 2 3
......................10 分
S 1 5 3 15 ，........................................................................... A1BD 2 2
................................11 分
V 1 S 1 15 3故 ，解得B1 A1DB 3 △A1DB
d d
3 2 3
d 2 5 ...........................................................12 分
5
2x
20.解：（Ⅰ）当m e时， h(x) e e(2x 1)，则
h (x) 2e2x 2e. .....................................................1 分
令 h (x) 0，得
x 1 ，.......................................................................................................
2
...2 分
x 1当 时， h (x) 0 ，
2
当 x 1 时， h (x) 0，
2
1 1
所以 h(x)的单调递减区间为 ( , ) ， 单调递增区间为 ( , ) ......................................4 分
2 2
2x
(II) 若 h x ≥1 m恒成立,即 e m(2x 1) m 1恒成立，
即 e2x 2mx 1 2x恒成立，设F(x) e 2mx ,则
F (x) 2e2x 2m ,.................................................................................
....................................5 分
当 m≤0 时， F (x) 0 恒成立，所以 F(x)是(-∞， +∞)上的增函数
注意到 F(0)=1，所以 x>0 时，F(x)>1,不合题意.................................................................6
分
x 1 lnm 1当 m>0 时，若 ，则 F (x) <0， 若 x lnm ,则 F (x) 0 ，
2 2
1
所以 F(x)是 ( , ln m) 1上的减函数，是 ( lnm, ) 上的增函数，...................................8 分
2 2
故只需
F (x) F ( 1min lnm) m m lnm 1 ，.....................................................................2
...9 分
令u(x) ln x 1 1(x 0).
x
则
u (x) 1 1 x 1 ......................................................................................
x x2 x2
...................10 分
当 0 x 1 时，u (x) 0，若 x 1时，u (x) 0
所以u(x)是(0,1)上的减函数，是 (1, )上的增函数，...................................................11
分
故u(x) u(1) 0,当且仅当 x 1时取等号，
所以 x x ln x 1时，即m m lnm 1，从而
m 1..........................................................12 分
x2 y2
2 2 1 a b 0
21 解：(1) 由条件可设椭圆G ： a b ，
2 2
因为抛物线M ： y2 8x的焦点为 2,0 2 0，所以 1，解得 a 2 ....................2 分
a2 b2
1 c 1
因为椭圆离心率为 ，所以 ，则
2 c 1，a 2 b a
2 c2 3
故椭圆G 的方程为
x2 y2
1 ..................................................................................4 分
4 3
(2)
设直线 l： y kx m k 0 ， A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
2 2 2
把直线 l的方程代入椭圆G 的方程，可得 4k 3 x 8kmx 4m 12 0 ，.................5 分.
x x 8km所以 1 2 2 ，4k 3
y y 6m1 2 2 ................................................................................6 分4k 3
因为 AO∥PB ， BO∥PA，所以四边形OAPB为平行四边形，
得OP OA OB，即 P x1 x2 , y1 y2 ，得
P 8km , 6m 2 2 ........................................7 分 4k 3 4k 3
8km 2 2 6m
由 P在椭圆G 上可得， 4k 2 3 2 2 4k
2 3 ，即 4m 4k 3...............................8 分 1
4 3
因为T x0 ,0 ，又Q 4,m 4k
所以TQ 4 x0 ,m 4k ，
OP 8km 6m 2 ,
2 ...........................................................9 分 4k 3 4k 3
8km 2
所以OP TQ 2 4
6m 6m 8km 8kmx
x 0 ........................10
4k 3 0 4k 2
m 4k
3 4k 2 3
分
将 4m2 4k 2 3代入得，
2k 1 x
OP TQ 3 0 3 .........................................................11 分
2 m 2
所以1 x0 0，即
x0 1......................................................................................................
.12 分
22.（1）将C : 4cos 2等号两边同时乘以 可得 4 cos ，
x2所以 y2 4x 2；即 (x 2) y2 4；
所以曲线 C 的普通方程为 (x 2)2 y2 4；...........................................................2
分
x 3 2t
将 l : 消去参数 t 可得， x 3 2(y 1)，整理得 x 2y 5 0；
y 1 t
即直线 l 的普通方程为
x 2y 5 0 .........................................................................4 分
（2）注意到 P(3, 1)
1
在直线 l 上，直线 l倾斜角为 ，tan ， cos 2sin ，
2
(0, π),sin 0,cos 0, sin2 cos2 1 ，
2
解得
sin 5 , cos 2 5 , ..................................................................................
5 5
...5 分
x 3 2 5 t
l 5所以直线 参数方程为 (t 为参数），......................................................6 分
y 1
5
t
5
2 5
联立 C 的直角坐标方程与 l 的参数方程得 ( t +1) 2 5 ( t 1) 2 4
5 5
整理得
t 2 2 5 t 2 0 ，.........................................................................................
5
....7 分
设方程的解为 t1 , t2
2 5
，则 t t ， t1 t2 2， t1 , t2 异号.......................................8 分1 2 5
不妨设 | PM | t1 ， | PN | t2 ，
有
1 1 1 1 t1 t2 5 ..................................................................
| PM | | PN | t1 t2 t1 t2 5
........10 分
23．（1）因为 x 1 x 2 x 1 x 2 3，当且仅当 x 2等号成立
所以 x 1 x 2 的最大值为
3．..............................................................................................2 分
因为不等式 f x t 3 有解，所以 t 3 3，解得0 t 6 ，............................................4 分
所以实数 t的最大值
M 6．....................................................................................................5
分
（2）由（1）知， abc 12 3 ，
因为 a b 2 c 2 ≥ 4ab c 2 （当且仅当 a b时，等号成立），....................................... 6 分
2
4ab c 2 2ab 2ab c 2 3 3 2ab 2ab c 2 3 34 abc 2 3 34 1 2 3 36 ，......9 分
当且仅当 2ab c2 ，即 a b 6 ， c 2 3 时，等号成立，
2 2
所以 a b c 的最小值为
36．.......................................................................................10 分
